МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <5 • 2008
УДК 532.546
© 2008 г. А. Н. ГОЛУБЯТНИКОВ, Н. Н. СМИРНОВ, В. Р. ТАГИРОВА
ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЕ ПОЛОСТИ ДЛЯ СБОРА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ,
НАСЫЩАЮЩЕЙ ГРУНТ
Исследуются процесс притока нефтесодержащей жидкости из бесконечной области пористого грунта в полость (коллектор) и последующее выкачивание ее в скважину, расположенную в центре коллектора. Полость выбирается из класса сплюснутых эллипсоидов вращения. Таким образом, рассматривается совместная задача оптимизации формы полости заданного объема, на которой достигается максимум фильтрационного потока, и приближенного определения дополнительных ограничений на размеры полости для обеспечения оттока из нее нефтесодержащей жидкости.
Ключевые слова: оптимизационная задача, полость, вязкая жидкость, фильтрация.
Для повышения эффективности добычи часто используется техника создания гидравлического разрыва с целью увеличения площади нефтяного коллектора. Исследованию задачи о распространении радиальной трещины гидроразрыва в породах посвящены работы [1-4]. В них форма сечения трещины определяется в процессе построения решения. Однако, согласно существующим моделям, трещина гидроразрыва в упругой среде может быть аппроксимирована эллипсоидом [5].
Примеры решения оптимизационных задач фильтрации на плоскости рассмотрены в книге [6]. В статье [7] исследована задача об оптимальной форме области фиксированного объема с частично непроницаемой границей, на которой достигается экстремум фильтрационного потока. Задача ограничивается решением в плоской области фильтрации, предлагается метод нахождения класса точных решений.
В данной работе рассматривается трехмерная задача оптимизации формы эллипсоидальной полости фиксированного объема, реализующей максимум фильтрационного потока, и определения ограничений на размеры полости (трещины) для обеспечения выкачивания из нее жидкости. Размеры трещины и максимальный расход выкачиваемой жидкости определяются аналитически при заданных объеме трещины и перепаде давления.
1. Оптимизация формы полости. Рассмотрим фильтрацию жидкости в эллипсоид вращения заданного объема Ж Объем эллипсоида - коллектора, который образован по технологии гидравлического разрыва, обычно определяется объемом закачиваемой жидкости, а форма может варьироваться в зависимости от хода процесса гидроразрыва и напряженно-деформированного состояния массива.
Уравнения неразрывности и безынерционного движения несжимаемой ньютоновской жидкости в пористом грунте имеют вид
Шу V = 0, V = -~%ха&Р Ц
Здесь У(х, у, г) - скорость фильтрации жидкости; Р(х, у, г) - давление жидкости в грунте; к - проницаемость грунта; ц - динамическая вязкость жидкости.
Градиент давления при фильтрации жидкости в пористой среде пропорционален величине цУ/к и тем больше, чем меньше проницаемость среды. Течение жидкости внут-
ри полости, служащей нефтяным коллектором, также происходит под действием перепада давления, который обратно пропорционален проницаемости полости к0. Таким образом, отношение модулей градиентов давления в пористой среде и непосредственно в полости пропорционально обратному отношению проницаемостей к^к, что при характерной толщине полости 1 см в песчанике составляет к0/к ~ 107 [8], поэтому при решении задачи фильтрации вне полости можно пренебречь изменением давления внутри полости.
Пусть РГ - известное давление жидкости на бесконечности, Р0 - давление жидкости в полости. Полагая к и ц константами, получим, что движение жидкости в пористой среде потенциально. Потенциал течения определяется как ф(х, у, г) = -кР/ц с точностью до аддитивной константы. Скорость направлена в сторону роста потенциала, на бесконечности V = 0, тогда ф = к(РГ - Р)/ц > 0. Из уравнения неразрывности получим уравнение Лапласа
Дф = 0
Рассмотрим задачу о притоке жидкости из пористой среды в эллипсоидальную полость, в которой поддерживается пониженное давление. Решение уравнения Лапласа для трехосного эллипсоида в декартовой системе координат с полуосями а, Ь, с имеет вид [9, с. 132]
ф( М) = ф|
1 -
2 2 2 х у г
2 ,2 2 а + £ Ь + £ с + £
222 х +-4-+ г
I 2 2 2
л/( а + £)(Ь + £)(с + £) (11)
2 л 7 2 Л 2 л
а + Л Ь + Л с + Л
где Л - эллипсоидальная координата внешней точки М(Л), Ф - постоянная, характеризующая потенциал ф. Введем обозначения
» ч Г
ад = | т, л (л) =!
л( а2 + £ )3/27 (Ь2 + £)(с2 + £)
т . г
12(Л) = [-.а!> -, 13(Л) = [ ,_
^ J 2 3/2 2 2 J 2 3/2 2 2
Л( Ь + £) л/( а + £)(с + £) Л( с + £) л/( а + £)(Ь + £)
Скорость притока жидкости в проекциях на оси координат имеет вид
V1 = дф = -2Фх1 (Л), V2 = ^ = -2Фу12(Л), V3 = дф = -2Фг13 (Л) (1.2) ох оу дг
На границе с полостью Л = 0 полагаем равенство давлений Р(М(0)) = Р0, потенциал ф0 = к(РГ - Р0)/ц > 0. Отсюда и из (1.1) определим неизвестную константу Ф:
Ф = -2-^-^--(1.3)
10(0) - х211(0) - у212(0) - г213(0)
Скорость притока жидкости V = {V!, V2, V3] в полость определяется на границе Л = 0. Тогда с помощью (1.3) находим компоненты скорости (1.2).
1
Градиент направлен перпендикулярно поверхности уровня, тогда линии тока жидкости перпендикулярны поверхности. Следовательно, если n - внешняя к полости нормаль, модуль скорости есть
|V| = Jv 1 + V 2 + V2 = -V-, V- = -2 Ф,
J x 2 Ii ( 0 ) 2 + у2 12 (0 ) 2 + z21 ъ( 0) 2 0 i - x21 i ( 0 ) - у212 ( 0) - z21з( 0)
В общем случае трехосных эллипсоидов расход жидкости через поверхность эллипсоида находится в квадратурах
Q = -J Vnda (1.4)
В данной работе ограничимся рассмотрением полости из класса сплюснутых эллипсоидов вращения, когда a = b в формуле (1.1). Так может быть описано большинство трещин гидроразрыва, возникающих по нормали к скважине. Введем эллипсоидальные координаты r, 0, %:
V2 2 f~2 2 r + d sin 0 cos %, y = л/r + d sin 0 sin %, z = r cos 0
где d - радиус фокальной окружности. Полость отвечает координате r = R = const, 0 < 0 < п, 0 < % < 2п.
Фиксируем объем коллектора W = 4nR(R2 + d2)/3. Следовательно,
R0 2 i 3W^1/3
d(R) = ЛIR0-R , R0 = [3WJ (1.5)
Варьируя переменную 0 < R < R0, получим следующий класс эллипсоидов. При максимальном значении R эллипсоид имеет форму сферы радиуса R0. При стремлении R к нулю эллипсоид вырождается в плоскость, а именно в круг бесконечного радиуса. Ненулевые компоненты метрического тензора и оператор Лапласа примут вид
2 ,2 2 А
r + d cos 0 2 2 2 2 2 2
grr = -2-2—, g00 = r + d cos 0, = (r + d ) sin 0
r + d
J~g = (r + d2cos2 0) sin 0; Дф = ^ —. {j~gg,j —= 0
Jg д x v д xJl
Ищем решение в виде ф = ф(г). Тогда
((r2 + d2)фг)r = 0, Фг = -2Г~1, ф(r) = ^arctg d + С2, Ci, C2 = const
На поверхности эллипсоида r = R потенциал принимает значение ф0, на бесконечности ф = 0. Следовательно,
пс1 2 ф0 d
с
2 2 d' 1 п - 2arctg (R / d)
V- = Т= = - 2 2 C1 2 2 (1-6)
*JSrr J(r + d )(r + d cos 0) do = Jg00g%%d0 d% = V( r2 + d2)(r2 + d2cos2 0) sin 0 d 0 dx
Q0 ю-9
1 i i i\
\ i \ \ \
\ Ч __ —
о
R/R0 104
Фиг. 1. Безразмерная зависимость расхода фильтрационного притока Q0 = в сплюснутый эллипсоид объема Ж = 100 м3 от его полутолщины R/R0 при Р0/Р^ = 10-4; 0.25; 0.5 кривые (1-3)
8
6
4
2
Найдем расход фильтрационного потока (1.4)
и
Q = -2 q JJ sin 9 d95% = -4п c1
00
Используя (1.5) и (1.6), получим
Q(*Po) = 4пфо(Ро)^Д^-«*(R(R-(R)T)] ' C.7)
Для нахождения R, реализующего максимум расхода при заданных значениях ф0 и W, исследуем (1.7) на экстремум. Из фиг. 1 видно, что функция Q(R, P0) монотонно убывает по R. Максимальное значение (бесконечность) расход принимает при R ^ 0, т.е. когда эллипсоид вырождается в плоскость. Асимптотически приближенное решение в окрестности R = 0 имеет вид
Q(R, Ро)» 8фо(Ро)Rojf (1.8)
Минимум достигается на сфере радиуса R0, при этом расход равен
Q = 4пфоRo.
Если рассмотреть класс вытянутых эллипсоидов вращения с фиксированным объемом R > R0, то расход опять растет (но с увеличением R), однако медленнее, чем для сплюснутых эллипсоидов.
2. Минимизация сопротивления движению жидкости внутри полости. В рассмотренной выше оптимизационной задаче о фильтрационном притоке жидкости необходимо поддерживать определенное давление в полости. В реальных процессах нефтедобывающей технологии это реализуется, например, посредством выкачивания жидкости из
скважины в центре коллектора за счет перепада давления Рм - Р^ , где Pp - давление в
скважине. Для этого толщина полости 2R не может быть малой, так как это будет создавать большое сопротивление. Форма эллипсоидальной полости будет иметь вид тонкой радиальной трещины. Следовательно, необходимо определить минимум толщины полости 2Я*, а вместе с тем и максимум ее радиуса ?*, при которых реализуется наибольший расход 0 выкачиваемой жидкости.
Рассмотрим радиальную трещину толщиной 2Я, радиуса V. Через центр трещины перпендикулярно ее плоскости проходит скважина с радиусом р0. Движение жидкости в трещине полагаем ламинарным и безынерционным, давление в каждом поперечном сечении - постоянным и осредненным по толщине 2Я. Полагаем, что радиус трещины много больше ее толщины V > 2Я. Сложные процессы вблизи края трещины не учитываем. Радиус трещины есть большая полуось сплюснутого эллипсоида. Из (1.5) получаем ,_ ^/2
V = «]Я2 + «2 = -0- (2.1)
-Д
Теперь при рассмотрении движения жидкости внутри полости перепадом давления пренебрегать нельзя. Тогда уравнение движения вязкой жидкости в узкой щели имеет вид
Я2
и = Р* (2.2)
где и(р) - осредненная по толщине скорость жидкости, gradP* - перепад давления, обеспечивающий откачку жидкости из полости. Здесь пренебрегаем горизонтальным притоком количества движения за счет небольшой кривизны стенок. Из закона сохранения массы расход жидкости равен
Я, Р0) = -4прЯи (2.3)
где р - цилиндрический радиус. Из (2.2), (2.3) следует
Р * = (2.4)
4прЯ
Проинтегрируем уравнение (2.4) и найдем Р*(р) = Рр Р.
р0 4п Я Ро
Приблизительно определим Р0 как осредненную величину Р* следующим образом:
Р0 = $ ] РР* «р = рро((?)2)+% (1П ?-ы (?3
ро
Полагая р0/? достаточно малой величиной, получим
Ро = рро+4П0 (" ро-2)
Подставив (2.5)в выражение (1.8), получим уравнение 0 = МЯ1'2(л л 3(л_ ? 1)
8R Гр - р -3Q
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.