ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 2, с. 295-301
УДК 519.634
ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ТЕЧЕНИЯ
ПУАЗЕЙЛЯ-КУЭТТА МЕЖДУ КОНЦЕНТРИЧЕСКИМИ ЦИЛИНДРАМИ ПРИ ВЫСОКИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА1)
© 2015 г. И. В. Савенков
(119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: isavenkov@mail.ru Поступила в редакцию 28.05.2014 г. Переработанный вариант 05.08.2014 г.
В рамках асимптотической теории свободного взаимодействия изучена линейная неустойчивость напорного течения в кольцевом канале со стенкой, движущейся в осевом направлении, по отношению к осесимметричным возмущениям при высоких числах Рейнольдса. Показано, что при достаточно малой ширине зазора между цилиндрами (относительно радиусов цилиндров) может происходить раздвоение возмущений на два волновых пакета, первый из которых растет быстрее и движется с большей скоростью. Библ. 11. Фиг. 5.
Ключевые слова: течение Пуазейля—Куэтта, концентрические цилиндры, неустойчивость, волны Толлмина—Шлихтинга, осесимметричные возмущения, волновые пакеты, асимптотические разложения, теория свободного взаимодействия, уравнения Навье—Стокса, высокие числа Рейнольдса.
DOI: 10.7868/S0044466915020179
ВВЕДЕНИЕ
Осесимметричная устойчивость течения Пуазейля—Куэтта между концентрическими цилиндрами изучалась в [1]. Однако основное внимание в ней было уделено расчету нейтральных параметров, характеризующих потерю устойчивости течения.
В данной работе на базе асимптотической теории свободного взаимодействия (см. [2]—[4]), справедливой при высоких числах Рейнольдса, изучаются полные дисперсионные зависимости неустойчивых возмущений течения Пуазейля—Куэтта. При этом основное внимание уделяется наиболее неустойчивым волнам, определяющим характеристики волновых пакетов неустойчивых возмущений. Данная работа является дальнейшим развитием работы [5], в которой оба цилиндра считались неподвижными.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим течение вязкой несжимаемой жидкости под действием постоянного градиента давления g *в кольцевом зазоре между двумя концентрическими круговыми цилиндрами, движущимися относительно друг друга в осевом направлении со скоростью и*. Пусть г0* — радиус внешнего цилиндра, г0* • Ь — радиус внутреннего цилиндра (безразмерный параметр 0 < Ь< 1), р*— плотность и V* — кинематическая вязкость жидкости. Определим по этим параметрам число Рейнольдса Я = g *г0*3 / р*у *2 и характерную скорость и* = g *г0*2/р*у- *.
Введем цилиндрическую систему координат (х*, г*, 0) с осью х *, совпадающей с осью цилиндров и направленной в сторону уменьшения давления. Пусть (и*, V*, — компоненты вектора скорости в этой системе координат, тогда для течения в рассматриваемом кольцевом зазоре имеем
u* = u*(r *) = U *
(1 - r2) - (1 - b2)Jnr ln bJ
(1.1)
ln b
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 11-01-00842).
Пусть в это течение вносится осесимметричное возмущение, вызванное локальной неоднородностью течения (например, деформацией стенки или вдувом через отверстие). Будем считать, что характерные размеры возмущенного течения таковы, что оно описывается трехпалубной теорией свободного взаимодействия, развитой применительно к течению Пуазейля в плоском канале (см. [6]—[9]). Тогда в пределе Я ^ да вся область течения распадается на три характерные подобласти: основное ядро потока (где г * ~ г0*) и два узких пристеночных слоя толщины Дг* ~ г0*Я~2/7. Рассмотрим течение в каждой из подобластей.
1.1. Вязкие пристеночные слои
Согласно [6],[9], в пристеночных областях справедливы следующие асимптотические разложения (при Я ^ да) для функций течения:
и* = ио* [а1/3Я-2/7и± + ...1, и* = ио* Га ~1/3Я-5/7и± + ...1,
1 J [ J (1.2) р* = р* - 4g*г*ах + р*и*2 [а2/3Я-4/7р± +...],
где функции с индексами ±, относящиеся, соответственно, к слоям возле внутреннего и внешнего цилиндров, зависят от безразмерных координат х, у± и времени t, введенных следующим образом:
? * = 1* а 2/3Я3/7?, х * = г0*аЯ1/7х, у * = г0* (1 + а1/3Я-2/7у+),
и*+
и0*
у * = г0* (Ь + а1/3Я-2/7у_).
Численное значение постоянного параметра а будет определено ниже.
Подстановка разложений (1.2) в уравнения Навье—Стокса ведет к системе уравнений Прандт-ля для пограничного слоя в каждой из пристеночных областей. В верхней области возле внешнего цилиндра имеем
ди+ ди+ „ др+ „ ди+ ди+ ди+ др+ д2и+ ч
—+ + —+ = 0, = 0, —+ + и+—+ + и +—+ = —— + —2+. (1.3а)
дх ду+ ду+ д? дх ду+ дх ду+
В нижней области возле внутреннего цилиндра имеем
ди_ ди_ „ др_ „ ди_ ди_ ди_ др_ д2и_
-+-= 0, —- = 0, -+ и_-+ и_-= —— + —2". (1.3б)
дх ду" ду__ д? дх ду" дх ду_
Однако в отличие от классической постановки Прандтля давление р± является самоиндуцированным и определяется наряду с прочими функциями течения.
1.2. Основное ядро потока
В этой области на основное течение (1.1) накладываются малые возмущения, определяемые следующими асимптотическими разложениями (см. [6], [9]):
тт / \ , 1/3т> -2/7 1п г 1/3т> -2/7 ,
и0(г) + а Я и„--+ а Я и +...
1п Ь
= и0* Га -2/3Я-3/7и + ...1,
1 1 (1.4)
р* = р* - 4g*г0*ах + р*и0*2 [а2/3Я-4/7р + ...]
2 2 1п. г
с функциями, зависящими от переменных t, х и г = г * /г0*, где и0(г) = (1 - г ) - (1 - Ь )-описыва-
1п Ь
ет основное невозмущенное течение, а скорость стенки выбрана такой, чтобы по порядку величины совпадала с осевой скоростью в вязких пристеночных слоях: и* = и0*а1/3Я ~2//ик. Подстановка разложений (1.4) ведет к следующей системе уравнений:
ди +1^ = 0, и 0(г) д-и + ии = 0, д-Р = -а-'"и (г)д-». (1.5)
дх г дг дх йг дг дх
ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНОИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ТЕЧЕНИЯ ПУАЗЕИЛЯ-КУЭТТА 297 Интегрирование первых двух уравнений (1.5) дает решение
И = Ait,x,z)1U, 0 = -^ d-A (1.6)
r dr r dx
с неопределенной пока функцией A(t, x, z), описывающей мгновенное смещение линий тока в основном ядре потока. Подстановка решения (1.6) в третье уравнение (1.5) позволяет найти выражение для давления:
2 r 2
p = p(t, x, b) + а -7/3 f^ d
dx2 J ^
b
из которого можно вычислить перепад давлений на внешнем и внутреннем цилиндрах:
p(t, x, 1) - p(t,x, b) = а-yiJ(b)^, (1.7)
dx
где
1 г2/ ч „ i 2Ч2
J(b) = dr = -1(1 + b2 + b4)lnb - 3(1 - b4) - i(1-b-)- (1.8)
J r 3 4 2 ln b
b
является постоянной, зависящей от безразмерного радиуса внутреннего цилиндра b.
1.3. Сращивание решений
Сращивание асимптотических разложений (1.2) и (1.4) с учетом (1.6) и (1.7) ведет к следующим граничным условиям (см. [6], [9]):
р+((,х) - р_((,х) = а^/(Ь)^,
дх
и+ + Х +у+ ^-X+Л((,х,г) при у+ ^-да, (1.9)
и_ - X _у_ - ип ^ X _Л(,х,т)/Ь при у_ ^ +да
с постоянными
dU« = 2 + и Х_= U (b) = -2b + ^
+ _ (1) = 2 + ^ " ' и X _ = (Ь) = -2Ь + у ', (1.10)
dr 1п Ь dr Ь 1п Ь
также зависящими от Ь как от параметра.
Если выставить еще начальные условия и задать граничные условия на стенках, то получается замкнутая задача (1.3), (1.9), позволяющая определить все функции течения.
2. ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ
Изучим собственные малые колебания течения, задав однородные граничные условия и± = и± = 0 при у± = 0 и линеаризовав систему (1.3), (1.8) по малом параметру 5 ^ 0:
(и+ + X+у+, и- - X_у_ - ик, и±, р±, Л) = 5(и+, и-, и±,р±, Л'). (2.1)
Выделив в явном виде гармоническую зависимость
(и±, и±, р±, Л±) = (и±, и±, р±, Л)ехр(ю? + 1кх), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, сводящуюся к уравнению Эйри (см. [6], [9]). Из ее решения получаем дисперсионное соотношение
X 5+/3Ф(^+) + Х_/3Ф(0 _)/b = a J (b)(ik)1/3k2,
ФР) = ^
dZ
JAi(Z)dZ
-i (2 2) , Q + = a(ikX+)_2/3, Q _ = (ю + ikuw)(ikX _)_2/3,
_о
связывающее комплексную частоту ю с волновым числом к собственных колебаний течения. Здесь Ai(Z) — функция Эйри, экспоненциально затухающая в секторе |arg Z| < п/3, а параметры J, и Х_, зависящие от безразмерного радиуса внутреннего цилиндра b, вычисляется по приведенным выше формулам (1.8) и (1.10). Нетрудно показать, что параметр J всегда положителен при 0 < b < 1, причем J ^ да при b ^ 0 и J ^ 0 при b ^ 1.
Начнем анализ дисперсионного соотношения (2.2) с предельного случая b ^ 1. Положим b = 1 -ЛЬ, ЛЬ < 1. Тогда в первом приближении имеем Х+ ~ ~ 2Л b, J ~ ^Л^5. Если теперь положить к = ЛЬ_10/7к', ю = 22/3ЛЬ"2/V, uw = 22/3Лb%/1u'w и выбрать константу а = 5-3/72-2/7, то дисперсионное соотношение (2.2) примет вид
Ф(0') + Ф(0' + (ik')1/3uW) = 2(гк')1/3к'2, Q' = ю'(гк') _2/3, (2.3)
совпадающий с видом дисперсионного соотношения для плоского течения Пуазейля—Куэтта, изученного в [10], [11].
Как было показано в [10], [11], дисперсионное соотношение (2.3) имеет счетный набор корней ю'„, неустойчивым из которых является только первый: а'(к';uw) = Re©1(к';uw) > 0 в некотором диапазоне волновых чисел к. Дальнейший анализ неустойчивости в [11] показал, что при небольших uw функция а' (к'; uw = const) имеет один максимум, а затем, по мере роста uw появляется второй положительный максимум (с а' > 0), ответственный за раздвоение пакета волн.
Такая качественная картина сохраняется не только в предельном случае b ^ 1, но и при b = 0.7 (и выше), как показали результаты численных расчетов (2.2), приведенные на фиг. 1 (для uw = 0, 1, 2, 3 и 4). На этом рисунке отчетливо виден второй максимум ст(к;uw = const) = = Re ю1(к; uw = const) при к = kmax2 = 2.36 для кривой, соответствующей uw = 2. Что касается первого максимума ст(при к = к^д = 4.29 для uw = 0), то из этого же рисунка видно, что с ростом uw он смещается в область все больших к, причем поначалу ст^^д; uw) несколько падает, а затем начинает медленно нарастать, что в качественном отношении полностью соответствует случаю плоского течения Пуазейля—Куэтта из [11].
С дальнейшим уменьшением b второй максимум становится все менее выраженным, пока не уходит в отрицательную область (с а < 0), при b > b* ~ 0.40 (см. фиг. 2 для uw = 0, 2.3, 3, 5 и 8, где ст^^; uw) = 0.002 при uw = 2.3). Что касается первого максимума, то он по-прежнему смещается в область все больших к при увеличении uw.
3. ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ
Рассмотрим генерацию возмущений от импульсно действующего источника. В качестве источника возмущения выберем вдув через щель во внешнем цилиндре. Тогда гра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.