МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 33, № 5, с. 372-378
МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
УДК 518.61
ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТОМАСА-ФЕРМИ ДЛЯ ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОГО АТОМА
© 2004 г. Н. А. Зайцев, И. В. Матшшкин, Д. В. Шамонов
Научно-исследовательский институт молекулярной электроники и МИКРОН
Поступила в редакцию 12.01.2004 г.
Проанализированы вычислительные аспекты решения уравнения Томаса-Ферми, описывающего сферически симметричный атом в составе твердого тела. Определены границы применимости метода стрельбы для решения краевой задачи. При решении уравнения комбинированным методом прогонки наблюдался случай детерминированного хаоса для итерационного процесса.
ВВЕДЕНИЕ
Математическое моделирование работы нано-приборов требует привлечения новых подходов для описания электрофизических процессов, происходящих в них. Например, это относится к моделированию внутриатомного потенциала, в котором находится носитель заряда (при расчете туннельных характеристик нанотранзистора). Использование мощных квантово-химических методов типа Харт-ри-Фока в современных программах приборного моделирования наталкивается на ограниченность быстродействия компьютеров. Вместо слэтте-ровской многочастичной волновой функции целесообразно рассматривать для многоэлектронных атомов (в частности, 81, ве, Т1 и т.д.) статистически усредненное распределение электронной плотности. В этом заключается идея альтернативного квантово-химического подхода, называемого теорией функционала плотности состояний (ББТ). Истоки этой теории связаны с уравнением Томаса-Ферми, полученного в 30-х годах 20-го века [1, 2]. Это уравнение, в частности, записанное для сферически симметричного трехмерного случая, исследовалось ранее Зоммерфельдом и Мажораной [3-5]. До последнего времени оно использовалось в специальных разделах теоретической физики и астрофизики, в частности, при моделировании нейтронных звезд и поляризации газа, помещенного в магнитное поле [6-8]. Но лишь сравнительно недавно появились сообщения [6] о включении этого уравнения в общую структуру современных приборных симуляторов. Поэтому является актуальной задача исследования численного решения этого уравнения, что и является предметом данной статьи.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Общепринятая модель Томаса-Ферми связывает электронную плотность р и электростатический потенциал ф в каждой точке атома и в системе СИ описывается уравнениями:
Дф =
е (2те(ф - фо)
3 п2 £0
й2
3/2
=__е_ (2 те(ф - фо)
3 п2 ^
й2
3/2
(1)
(2)
Здесь е - элементарный заряд, т - масса покоя свободного электрона, 80 - диэлектрическая постоянная, ф0 - константа, которая в случае нейтрального атома обычно полагается равной нулю. Ядро атома в этой модели считается точечным, а граничные условия на решение (1) ф(г) задаются предельными переходами:
Нш (фг) = Ъе/(4 п80), Нш (фг) = 0.
(3)
Область применимости модели Томаса-Ферми, выводимой в квазиклассическом приближении квантовой механики, ограничена расстояниями до ядра в диапазоне ав/Ъ < г < ав (Ъ - атомный номер, ав = 0.5 х 10-10м - боровский радиус). Поэтому граничные условия (3), в которых граница атома считается бесконечно удаленной, а нижний предел по г не установлен, есть идеализация.
Заменой переменных можно привести уравнение (1) к безразмерному каноническому виду:
р
Г ^
г
Л2x(x) = Р • X 3/2( X) /X X 1/2 '
Р = ^ 6 п
2
тае
3/2
2
^п8ой у
П80 й
0 < X < 1.
(4)
Здесь а - условный размер атома, и, таким образом, Р - единственный безразмерный параметр задачи, имеющий физический смысл. Если задача рассматривается на бесконечном промежутке (0; то ввиду возможности растяжения оси можно положить Р = 1. Однако все особенности уравнения Томаса-Ферми проявляются при наложении на его решение разнообразных краевых и/или граничных условий на конечном ин-
373
тервале, отражающих физическую конкретику задачи (например, наличие внешнего электрического поля).
Ряд авторов [6] рассматривает уравнение Томаса-Ферми (Е) в качестве частного случая генерализованного уравнения Эмдена при X = 0 (нерелятивистский предел) и п = 2/3 (сферическая симметрия в ЗО-пространстве):
dh(nX) (X) dX2
(хПХ)( X)))
X
■n _1
1 + X
X(n\ X) ■ X
(5)
Также уравнение Томаса-Ферми исследовалось в О-мерном случае [7], причем получено, что для О = 2 решение выражается через модифицированные функции Бесселя. При Р = 1 и краевом условии х(+тс) = 0 Зоммерфельд нашел частное решение Томаса-Ферми (4), хотя и не удовлетворяющее второму наложенному физическим смыслом условию х(0) = 1:
144
Х(X) = -т.
(6)
(атом водорода, а = 10-10 м) отвечает значение Р ~ ~ 1.5, а для тяжелых элементов с X = 20-50, Р = 10 (если принять размер атома а = 2ав) и более. Для кремния, например, можно принять Р = 54 (а = = 10ав, X = 14).
Мы будем решать Томаса-Ферми (4) при следующих краевых условиях (7):
х(0) = 1, х'(1) - Х(1) = 0.
(7)
Следует напомнить, что всякое физически значимое решение Томаса-Ферми неотрицательно на всей области определения (далее мы будем считать X е [0;1]). Решая же уравнение (4) численно, мы вправе ставить в его правой части знак модуля перед возведением в степень. Это, однако, может привести к появлению посторонних решений. Обратим также внимание на бесконечность в асимптотике X- > 0 правой части, если только
lim х(X)Ф 0.
X ^ 0
И, разумеется, сложность аналитического решения Томаса-Ферми связана с его нелинейностью. Кроме того, решения краевой задачи может просто не существовать.
Для оценки физической адекватности полученного решения, которое обязано быть единственным, следует помнить, что значению Z = 1
Эти условия обеспечивают отсутствие экранирования вблизи атомного ядра и внутреннего электрического поля на границе атома. Таким образом, мы рассматриваем сферически симметричный электронейтральный конечно-размерный атом, входящий в состав твердого тела.
ОПИСАНИЕ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА
Численная схема метода не претерпит существенных изменений и для более общего случая линейности краевых условий (8):
ах(0) + РсХ'(1) = Ус, «1%(1) + РхХ'(1) = Ух. (8)
Вначале рассмотрим метод стрельбы, который считают простым, но не совсем надежным. Согласно ему, обозначим х/(0) = г и введем сетку шага Н (пН, хП), п = 0, N на отрезке [0;1]. Затем решаем задачу Коши по следующей схеме первого порядка точности:
р| 13/2 Р1 13/2
'-2р Xl\ _ у , ь2 P Xn-l|
n -1 n -
Хо = Х(0), Xi = Х(0) + hх'(0), Х2 = 2Х1_ Хо + h n > 2:x2 = 2xn_i_Xn_2 + (9)
Jh J( n _1) h
После задания начальных приближений для решалось методом секущей (10): левого конца X = 0 уравнения Томаса-Ферми
F( z) = а 1 Xn (z) + ß1
Xn(*)_XN_1(*) h
_ y l, Zi + 1 = Zi _1 + F( Zi _1)
zi _ 1 _ zi
F(Zi) _ F(Zi _1 )'
(10)
10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
из примененного перед ним метода последовательных приближений для задачи (4)-(8). Строилась последовательность функций каждая из которых удовлетворяла (7), по следующей схеме (11):
( 2 у(5) (л |у(5 -1)3/2
«Х-. + А%(.5) = р (IX2 „¡X
+ А X
(5 -1)
(11)
Рис. 1. Решение уравнения Томаса-Ферми при Р = 0.1 ("стрельба", к = 0.01, [г0, г1] =п [0.1]).
Метод стрельбы считался удачным, если, начиная с некоторого
т < М = 30, |^(гт)| < 8, при 8 = к2.
Чувствительность к шагу определялась через сравнение решений по бесконечной норме Я(к1, к2) = Я12 (см. (12)).
Альтернативным методом является метод прогонки. Он естественным образом вытекал
Для 5 > 0 правая часть уравнения легко находится из известного, а левая часть есть линейный оператор. Таким образом, задача сведена к "прогонке" трехдиагональной матрицы с непустым свободным членом. В качестве нулевого приближения (5 = 0) мы брали функцию либо х(0) = (1 - *)2, либо х(0) = (1 + *)2. Наряду с параметром Р в вычислительной задаче возникает параметр А, отвечающий за сходимость, если выполнены условия теоремы Брауэра, итерационного процесса в пространстве функций С2 ([0, 1]). Введение параметра А Ф 0 позволяет нам также снять вырожденность конечно-разностной задачи.
Полученная в ходе функция X* считалась решением задачи, если невязка В (х = X*), заданная (12), становилась меньше 8. Формулы (13), (14) описывают конкретную реализацию метода прогонки для нашей задачи:
Я(к 1, к2) = шах IX(к1) - X(к2)|, В(X) = шах
X = 1к1 к, > к?
1 = 1, N-1
X ,■ + 1 - 2 X.- + X.-- 1 _ 3/2
к2 4!к
(12)
f = Р |у(5-1) 3/2 + А -1) Г =
/. - д]X 1 + АX ' Г0 = а0к - в0
р0 п У 0к > В0 =
а0к - Р0'
Шгее!;, 0 < , < N: Г, =
1
(13)
Ак -2- Г 1-1
В, = Г,■ (/к- В, -1),
(5) У1к + Р1DN-1 • Д7 (5) ~ „ (5)
^ = СХ1 к + (31 ( 1 + Г^ 1 Ге¥еГ8е' ■< N: ^ = В,- 1 ^ +) 1.
(14)
Вырожденность задачи при А = 0 связана с тем, что последовательность Г, = -■/( ■ + 1) стремится к (-1), и в силу выбора коэффициентов ах= -Рх = 1
( 5)
и того, что к = 1/^ знаменатель XN в (14) приближается к нулю.
С математической точки зрения представляет интерес весь ход итерационного процесса (независимого от шага к), а именно: а) влияние начального приближения X*'0'1 на конечное решение; б) скорость сходимости, т.е. зависимость числа итераций ЩР, А) от 8; в) наличие и длина периода Т(Р, А) внутри последовательности {х(s)}.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА И ИХ АНАЛИЗ
Результаты расчета по методу стрельбы приведены в табл. 1. Скорость сходимости падает с ростом Р, а при Р > 10 вычислительный процесс становится расходящимся. Для успешности нахождения корней уравнения и соответственно решения имеет значение интервал [г0, 1\], взятый в качестве начального приближения для метода касательных. При неудачном выборе такого интервала возникают ложные решения, уходящие в отрицательную область.
При формально взятом отрицательном Р = -1 имеется расходимость, и, как показывает качественный анализ уравнения, краевая задача реше-
Таблица 1. Решение Томаса-Ферми методом стрельбы
р Интеграл по 2 Шаг Н1 = 0.01 Шаг Н2 = 0.001
Ы, * В Я01 Ы, * В Я12
-1 Решений не найдено
0.1 1 4, - 8.2е-12 20.6 4, - 8.9е-10 0.88
2 5, - 8.8е-12 15.5 5, - 8.8е-10 0.89
3 6, а 8.0е-12 2.3 7, а 8.8е-10 0.29
4 5, а 7.9е-12 2.2 7, а 8.8е-10 0.29
5 4, а 8.2е-12 2.5 5, а 8.9е-10 0.29
6 4, а 8.8е-12 2.0 5, а 8.9е-10 0.29
1 1 5
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.