МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2014
УДК 539.374
© 2014 г. В. А. КОВАЛЕВ, Ю. Н. РАДАЕВ
ОБ ОЦЕНКЕ АЗИМУТАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, АССОЦИИРОВАННЫХ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ВОЛНОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
В работе рассматриваются вопросы, связанные с построением 2п-периодических по угловой переменной решений дифференциального уравнения Матье для окружных гармоник эллиптического цилиндра, ассоциированных характеристических значений и азимутальных чисел, необходимых для формирования элементарных волновых функций эллиптического цилиндра. Суперпозиция последних является одной из форм представления аналитического решения проблемы распространения термоупругих волн в длинном волноводе с эллиптическим контуром поперечного сечения. Классическая задача Штурма—Лиувилля для уравнения Матье приводится к спектральной задаче для линейного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве бесконечных квадратично суммируемых двусторонних последовательностей. Предлагается подход, позволяющий дать весьма простые алгоритмы вычисления характеристических значений углового уравнения Матье с вещественными параметрами и соответствующих собственных функций. Приоритет при этом отдается применению наиболее симметричных форм и уравнений, не находивших ранее применения в теории уравнения Матье. Указанные алгоритмы сводятся к построению матрицы, диагонализирующей одну бесконечную симметричную пентадиагональную матрицу. Рассматривается проблема обобщения на случай эллиптической геометрии понятия азимутального числа волны, распространяющейся в цилиндрическом волноводе. Построены уточняющие друг друга двусторонние оценки для спектральных значений дифференциального оператора Матье с периодическими и полупериодическими (антипериодическими) граничными условиями.
Ключевые слова: эллиптический цилиндр, термоупругое поле, уравнение Матье, собственное значение, азимутальное число, спектральная задача, волновое число, волновая функция, диагонализация, круг Гершгорина, овал Кассини.
1. Представление связанных уравнений линейной термоупругости в координатах эллиптического цилиндра. Ниже приводится полная система соотношений термоупругости третьего типа ООТП (см., например, монографию [1], где имеются дальнейшие указания на библиографические источники).
В линейной теории термоупругости третьего типа определяющий закон имеет вид
о = 2ц£ + (^г £ -а(9-9о)) I (1.1)
где о — тензор напряжений, £ — тензор малых деформаций, I — единичный тензор; X, ц — упругие постоянные Ламе; а = 1/3(3А, + 2ц)Р* — термомеханическая постоянная;
Р* — коэффициент объемного теплового расширения; 0 — абсолютная температура; 9о — отсчетная (равновесная) температура. Отметим, что при температуре, равной 0О, отсутствуют деформации и напряжения.
Вектор потока тепла И линейно зависит как от градиента температуры, так и от градиента температурного смещения:
Ь = -Л 0-Л V В (1.2)
где 9 (9 = 9) — температурное смещение, Л — характерная скорость теплопроводности, V — трехмерный оператор Гамильтона.
Кроме того, полная система соотношений термоупругости третьего типа включает: уравнения движения
^у о -ри = 0 (1.3)
уравнение баланса энтропии
5 + V . ] = а + ^ (1.4)
уравнение баланса энергии в приведенной форме
- ( + 50) + 1г (о • ¿)-Ь • ^ = 0£, (1.5)
0
где и — вектор перемещений, р — плотность, 5 — плотность (на единицу объема) энтропии, \ — вектор потока энтропии, а — внешнее производство энтропии, £ > 0 — внутреннее производство энтропии, ^ — плотность (на единицу объема) свободной энергии Гельмгольца.
Вектор потока тепла и вектор потока энтропии связаны уравнением Ь = 9] (1.6)
а для внутреннего производства энтропии справедливо соотношение
В рамках линейной теории следует предполагать линейную зависимость между термодинамическим потоком
- (] +
и термодинамической силой V Э.
Приведем также соотношения Коши, связывающие тензор малых деформаций е и градиент вектора перемещения V ® и:
2е = V ® и + (V ® и)Т (1.8)
Для сокращения записи уравнений в дальнейшем через 0 будем обозначать превышение температуры над отсчетной (равновесной) температурой 90, т.е. символ 0 в последующем изложении следует понимать как разность 9 - 90.
Линейные связанные уравнения движения и теплопроводности термоупругости третьего типа могут быть сформулированы в перемещениях
цДи + (к + • и - аУ9 - ри = 0
ЛД9 + Л*Д9 - к9 -а90У • и = 0 ( . )
Здесь А — трехмерный оператор Лапласа, к — теплоемкость (на единицу объема) при отсутствии деформации. Поскольку рассматривается линейная теория, теплоемкость к не зависит от температуры для ее значений в окрестности референциальной температуры 90.
Разделим второе уравнение системы (1.9) на Л и 90. В дальнейшем, постоянные Л, Л* и к будут считаться отнесенными к отсчетной температуре 90. Таким образом можно минимизировать число постоянных, необходимых для формулировки связанных уравнений. Окончательно приходим к следующей системе дифференциальных уравнений:
цДи + (к + • u - aV9 - pü = 0
A* • v a (1.10)
Д9 + — Д9-K19-aV • U = 0 Л Л Л
Введем ортогональные криволинейные координаты эллиптического цилиндра (2c — расстояние между фокусами эллипса, u — радиальная координата, и — угловая координата): x* = c chu cos и, x2 = c shu sin и, x3 = z. Единичные локальные базисные орты обозначим через , iц,), i(z). Физические компоненты векторных и тензорных полей относительно рассматриваемой координатной системы будут указываться соответствующими координатными переменными, заключенными в треугольные скобки.
Здесь и в дальнейшем для сокращения записи уравнений используется следующее обозначение:
VF = sh2u + sin2 и = ÍVch2u - cos2u (1.11)
V2
Пространственный оператор Гамильтона определяется в форме
у = <112)
Дивергенция пространственного векторного поля A находится согласно формуле
у.A = * № + + ^ + ShuC^A^ + sinvçosu a (1.13)
cVr^ du du ) dz cVf3 u ^Vr3
Для ротора пространственного векторного поля A можно получить следующее выражение:
V л 1 (dA{z) ГРдЛ ») V 1 (dA{z
v х A = CVfUT - c& J - CXi-t-™1 "Г J (114)
1
cVf
yf dA(u) + shuchu a \ - sinucosu
du du Vf ^ Vf
-dAt
\ 1
dz J
Ч z)
Оператор Лапласа в координатах эллиптического цилиндра, как показывают простые вычисления, имеет вид:
с 2-1г2 (ди2 ди2 ] дг2
Физические компоненты тензора деформации и тензора напряжений в координатах эллиптического цилиндра определяются следующими формулами:
1 ди/
и) .
1 ди/
и) . .
Е/ии\ =—1=-— + , Sln и COSU, £/пЛ =—7=-— + ' ', SnUCnU
{ии) с^Г ди с,/г3 ^Vf ди суг3
duZ)
6<«> = Я
(1.16)
2f, v-duá+дм 2р<4-л.дм,duu
Ы сл/г ди dz ' И сл/г ди dz
2s(uU = | + | - -1=3sin и cos и - shuchu ' ' сл/f ^ du д и J с^/г ^Vf3
°<uu) = + 2^s<uu) - а0> °М = + - а6
ü(zz> = + - а0> a(uv) = 2^S(uu) (1.17) = 2М-£( uz) > =
£ = £<uu) + £Ы + £( zz) (1.18)
2. Связанное термоупругое поле в цилиндрическом волноводе эллиптического поперечного сечения. Будем рассматривать гармоническую зависимость перемещений и температуры от времени: u = Ue т', 9 = 0e т', где ю — циклическая частота; U, 0 — комплексные амплитуды. Зависимость комплексных амплитуд от переменной z также
имеет форму гармонической экспоненты e ±kz, где к — волновое число. Для повторного дифференцирования по вертикальной координате, следовательно, имеем
д 2/dz 2 = -k 2
Представим вектор комплексной амплитуды U в виде разложения Гельмгольца на безвихревую и вихревую составляющие
U = V Ф + V X ¥ (2.1)
где Ф — скалярный потенциал, ¥ — векторный потенциал. При этом векторный потенциал подчиним условию калибровки
V ■ ¥ = 0 (2.2)
Векторный потенциал ¥ удовлетворяет независимому уравнению, векторному уравнению Гельмгольца
А* + kÍY = 0 (2.3)
где k2 — квадрат волнового числа чисто упругой поперечной волны.
Скалярный потенциал Ф и комплексная амплитуда температуры 0 в силу (1.10) связаны и выражаются через новый скалярный потенциал Q согласно
Ф = аП, 0 = Ш (2.4)
при этом постоянные a и b могут принимать в точности два различных значения
aj = p2 - g2, bj = h^y2 (j = 1,2) (2.5)
A*
Введем следующие, согласующиеся с монографией [1], обозначения: 26
2 I 2 2 2 I 2 1 121 —2» 2
Р] = к -у], Я = к -Нъ к
к = , й2 = ^ % = —, =К 31 + к34 /2 Л Л
где постоянные у] (] = 1,2) имеют смысл волновых чисел и определяются ниже, к^ — квадрат волнового числа чисто упругой продольной волны. Потенциал ^ удовлетворяет скалярному уравнению Гельмгольца
ДП + у2П = 0 (У = У1,У2) (2.6)
Как показано в [1], для нахождения волновых чисел у] (] = 1,2) получается биквадратное уравнение
4 2 2
Х_ (/Лз2 -1) + Ц (к\ - 1к!) - к! = 0, Й12 = 1 + к! (2.7)
к4 к2 РЛ
Квадраты указанных волновых чисел, следовательно, вычисляются в виде
2у2 _ /к32 - к12 + д/(к12 - /к32)2 + 4к2 (к - 1) к|2 /к32 -1
Извлекая квадратный корень, приходим к выражению
у2 /к2 - к]2 + Я] 2 + /Ь 2 2^ = --к! (2.8)
кц /к3 -1
Я1,2 = - кз4 - 4к22 ^(к4 - к34 - 4к22)2 + 4к3(2к22 - к^]
,2^,2 ,2ч
Я1,2;3,4 = ±^5'2 + Ь1,2кз2 - я^ + ^(52 + Ьцк^ - ац)2 + (Т2 - а^ - Ь^)2]
(2.9)
ь _ кз (2к7 - к1 )
ь1,2 _ а1,2
Выражения для самих волновых чисел у будут следующими:
^2(кз4 + 1) = а1,2;3,4 + /¿!,2;3,4 (2.10)
к||
где, следуя монографии [1], введены обозначения
(2.11)
_ Т 2 - а1,2 к32 - Ь1,2
ь1,2;3,4 =---
2а1,2;3,4
при этом ^ и Т2 выражаются как
52 = к34 + к2, Т2 = к32(к12 -1) (2.12)
Следует отметить, что у^2 — квадраты волновых чисел плоской связанной термоупругой волны третьего типа.
Таким образом, связанные поля Ф и в определяются как линейные комбинации
= С
а1
О |у=у1 + С2
а2
О
1=12
(2.13)
где С1, С2 — произвольные постоянные.
Векторный потенциал Т определяется через два скалярных потенциала у и х согласно [2]:
Чм =
1
Ч ^ = ^Г
= -
С2 д X
2 Л
С^ +
ди к, дидг
-С С2 д2хЛ д и к, дид г у (ъ2 -,2 ^
д X + д X
\ди2 ди2 у
(2.14)
с 2>/г2к±
Потенциалы у и х удовлетворяют скалярному уравнению Гельмгольца
+ к 2
2 (V
= 0
(2.15)
и; и,
Условие калибровки векторного потенциала (2.2), как нетрудно проверить, выполняется.
После ряда преобразований физические компоненты поля перемещений могут быть выражены в следующем виде:
ии = ^ Ы ^ и + С2а2 ^О |У=У2 ±кС1 ^ + кС Iх)
у Ы Г
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.