ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2004, № 4, с. 30-36
УДК 550.831
ОБ ОЦЕНКЕ ПЛОЩАДИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ДВУХМЕРНЫХ НАМАГНИЧЕННЫХ ИЛИ ГРАВИТИРУЮЩИХ ТЕЛ
© 2004 г. Е. Г. Булах, И. В. Шиншин, Е. П. Лапина
Институт геофизики им. СИ. Субботина НАН Украины, г. Киев Поступила в редакцию 13.08.2002 г.
На основе аппроксимационного построения исходного гравитационного или магнитного полей получено новое алгоритмическое решение задачи А.П. Казанского об определении площади поперечного сечения аномалиеобразующих тел. Решение задачи проиллюстрировано примерами.
1. ВВЕДЕНИЕ
Аппроксимационный подход к решению интерпретационных задач гравиметрии и магнитометрии дал возможность получить практические результаты. Сущность такого подхода наиболее полно была раскрыта В.Н. Страховым [1978; 1999; 2001 и др.] в серии методических работ. Обратим внимание на некоторые стороны этого важного и многогранного вопроса.
Первое. Речь идет о замене информационного базиса - о переходе от карт элементов полей к аналитическим аппроксимациям этих элементов.
Второе. В аппроксимационной конструкции должен быть соблюден принцип геологической содержательности. Задача о замене исходного гравитационного или магнитного поля полем некоторой модели была поставлена давно. По-видимому, впервые она нашла свое решение в работах М.С. Молоденского [1945] - для геодезической гравиметрии, А.К. Маловичко [1956; 1958 и др.] -для гравиразведки. Затем метод построения ап-проксимационных конструкций развивался В.И. Ароновым [1973; 1990 и др.], В.М. Гординым [1973], В.И. Старостенко [1972; 1978 и др.], А.С. Долгалем [1999] и многими другими.
В отмеченных работах не в полной мере соблюдается принцип геологической содержательности аппроксимационной конструкции. Авторами этой работы [2000; 2002] была введена другая аппроксимационная конструкция. Параметры вспомогательной модели имеют геологическое содержание. Естественно, что при этом нужно четко согласовывать вспомогательную модель с тем модельным классом, в котором предполагается вести интерпретационную задачу.
Если аппроксимационная конструкция имеет геологическое содержание, то можно достаточно просто получить решение некоторых интерпретационных задач. Ниже мы рассмотрим оценку площади поперечного сечения двухмерных намагниченных или гравитирующих тел.
Отметим следующее. Рассматривается одна частная интерпретационная задача. Ее результат должен войти составной частью в метод истокообразных аппроксимаций - метод подбора.
2. ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ А.П. КАЗАНСКОГО
Ранее А.П. Казанский [1951] получил соотношения, которые позволяют вычислить площадь поперечного сечения двухмерного намагниченного тела. Для этого необходимо иметь горизонтальную составляющую напряженности аномального магнитного поля. Приведем этот результат.
Пусть вертикально намагниченное двухмерное тело сосредоточено в замкнутой области £. Начало координат выберем в точке на дневной поверхности. Ось 01 направим вертикально вниз. Тогда ось Ох располагается на дневной поверхности, если она горизонтальная.
Горизонтальная составляющая напряженности аномального магнитного поля запишется так
Tx( x) = H( x) = 4/JJ"
(% - x)ZdS
[ ( % - x )2 + Z 2 ] 2'
(1)
На оси абсцисс образуем новую функцию
x x
2(% - x)dx
R(x) = f H(x)dx = 2Iz [k f 2 2 2
-L { -L[(% - x)2+z2]2
dS =
= II,
ff
z
(Z + x) 2 + Z2
dx =
(2)
= 2I
ff
(% - x) 2 + Z2
dS.
S
x
S
S
Проинтегрируем эту функцию по всей оси абсцисс. Имеем
е = | Я (х) йх = 2
йх
(% - х)2 + С2
йБ =
= -21
Л ^
(С - х)
с
йБ = 2 п I
И
В правой части получим площадь поперечного сечения тела. Можно записать
Б =
1
2 п I
е.
(3)
Если задано поле Н = Н(х), то можно построить функцию Я = Я(х) и найти число е. В вычислительном плане эта задача может вызвать некоторые затруднения. Чаще всего интерпретатор не располагает полем горизонтальной составляющей. Основным измеряемым элементом в магниторазведке является модуль полного вектора напряженности аномального поля. Вместе с тем в практику рудной геофизики входит трехкомпо-нентная магнитная съемка. Это существенно облегчает интерпретационный процесс. В конечном итоге в фиксированных точках необходимо получить горизонтальную составляющую. Табличная функция Н = Н(х) должна быть преобразована в функцию Я(х), а затем в скалярную величину е. Нужно хорошо продумать учет асимптотических частей. Вычислительные трудности не были преодолены практиками и работа А.П. Казанского не нашла широкого применения.
3. ЗАДАЧА А.П. КАЗАНСКОГО ДЛЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Записанные выше результаты легко переписать для гравиметрического поля. Пусть гравити-рующее двухмерное тело сосредоточено в замкнутой области Б. Избыточная плотность масс -постоянна. Начало координат выберем в точке на дневной поверхности. Ось Ог направлена вертикально вниз, тогда ось 0х расположится на дневной поверхности, если она горизонтальна.
На оси абсцисс задано поле горизонтального градиента силы тяжести. Запишем
Ухг( х) = 4ка||
( ^ - х ) ^ йs
[( С + х) 2 + с 2 ] 2'
(4)
Сопоставим функции (4) и (1). Нетрудно получить площадь поперечного сечения гравитирую-щего тела
Б =
е
2 пка
(5)
Как и ранее, в этой задаче возникают затруднения вычислительного плана. Обычно задано поле аномалии силы тяжести. Оно представлено либо таблично, либо графически. Его нужно продифференцировать. С этой неустойчивой в вычислительном плане задачей несложно справиться. Сложнее идут последующие шаги. Как магни-торазведочная, так и гравиразведочная задача не нашли широкого применения в практике рудной геофизики.
4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
ИСХОДНОГО АНОМАЛЬНОГО ПОЛЯ
Совсем другое дело, когда исходное поле представлено аналитическим выражением. Многие трудности вычислительного характера легко обходятся. Ранее в работах авторов [Булах, Шин-шин, 2000; Булах, Лапина, 2002] были проведены алгоритмическое и программное решения задачи построения аналитической модели гравитационного и магнитного полей.
5. ГРАВИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
Сейчас потребуется только профильный вариант задачи.
Пусть задано поле
А Яп(х{) = А Яп( г).
(6)
Исходное поле аппроксимируем полем модели. Модель состоит из совокупности элементарных тел. Каждое тело - это две взаимно пересекающиеся пластины. Обе пластины имеют бесконечное простирание, которое совпадает с осью Оу. В плоскости хОг точка пересечения пластин является центром симметрии тела. Одна пластина вертикальная и ее вертикальная мощность равна 2,г. Избыточная плотность масс этой пластины Аг = аА^. Вторая пластина - горизонтальная. Ее размеры - горизонтальная мощность - равна 2,х. Избыточная плотность Ах = аА^.
Теперь местоположение и размеры геологической модели, состоящей из т тел, могут быть описаны таким вектором
Р = {т; (с, Н),; (2,х, 2,г),; (Ах, А),}, г = 1, 2, ..., т.
(7)
Здесь записано количество тел, координаты их центров, длины пластин в сечении координатной плоскостью, избыточные плотности масс в этих пластинах.
+^
х
Б
Б
Б
Б
Нетрудно получить поле элементарной двух-пластинной модели
Ag (x) = к
(c - x) + (h - tz)
* ( c x + t x c x tx + 2 Xx [ arctg-h—i - arctg-^
(8)
Теперь исходное поле (6) может быть представлено в аналитическом виде
Построим такую функцию R = R(x) = | VxZ(P, x)dx = | Vxг(х, Pt)dx. (10)
t = 1_
Рассмотрим одно слагаемое из этой формулы Rt(x) = 2 k^ X
X
c-x
c-x
(c-x)2 + (h-t )2 (c-x)2 + (h + t )2
dx =
Ag (x) = Ag (P, x) = ^Ag (P0 x).
(8.1)
t = i
Vxz( x) =
8 к Xzhtz (c-x)
[(c-x )2 + (h + t2)][(c-x )2 + (h-t2)]
= 2k X„
c-x
c-x
L( c-x )2 + (h-tz )2 (c-x )2 + (h + tz )2-l
(9)
^xz(x) = X yxz(x, P) .
(9.1)
t = 1
Здесь подчеркнуто, что аномальное поле определено вектором параметров P.
= k Xz [-ln [(c-x )2 + (h-tz )2 ] + + ln [(c-x )2 + (h + tz)2 ]] !l =
Здесь подчеркнуто, что функция зависит от параметров модели. Они были записаны под номером (7).
6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ГРАВИТИРУЮЩЕГО ТЕЛА
Пусть задано поле = А#(х). Представим это поле в аналитическом виде. Заменим его полем совокупности элементарных гравитирующих тел. Местоположение и размеры элементарных тел определены параметрами - запись (7).
Может быть вычислено поле горизонтального градиента заданной аномалии на профиле Z = 0. Для упрощения задачи будем считать, что в апп-роксимационном построении поля силы тяжести горизонтальная пластина не содержит избыточных масс и в формуле (8) Хх = 0. Будем далее рассматривать только одно слагаемое в этой формуле.
Нетрудно аппроксимационное представление исходного поля выразить как горизонтальный градиент силы тяжести. Запишем
= kX, ln
(c-x )2 + (h + tz )2
z (c-x )2 + (h-tz )2
Найдем теперь такую величину
a
Q = lim f R (x) dx
Q = кXz lim f ln
(c-x) + (h + tz)
-2- 2 dx = kAz lim А
(c-x) + (h-t) a
А = x ln
(c - x)2 + (h + tz)2
(c - x)2 + (h - tz)2
(c- x) xdx
- 8htz X
^ [(с - х)2 - (Н - ^)2] [(с - х)2 + (Н + ^)2]'
Рассмотрим первое слагаемое этого выражения:
xln
1 +
( h + tz ) 2 - ( h - tz ) 2
(c - x)2 + (h - tz)2
= x ln
1+
4 htz
В правой части сделана тождественная запись. Это позволит упростить дальнейшие преобразования. Теперь, если аномальное поле аппроксимировано полем модели, параметры которой были записаны вектором (7), то будем считать, что на оси абсцисс задана аномалия горизонтального градиента силы тяжести
(c - x)2 + (h -1)2J
4htzx
(c - x)2 + (h - tz)2
- ... = f(a)- f(-a),
если а —► ^ то первое слагаемое равно нулю. Обратимся ко второму слагаемому:
-8Нtz(с - х)х
[(c - x)2 + (h - tz)2][(c -x)2 + (h + tz)2]
= -2
x (c - x)
x (c - x)
L(c - x)2 + (h -1 )2 (c - x)2 + (h + t )2-
x
f
m
a
a
a
a
a
m
= 2
1 -
с (с - х) + (Н - гг) (с - х)2 + (Н - гг)2
- 1 +
Здесь следует помнить, что Аг = аА5 - это линейная избыточная плотность и линейная размерность входят в этот параметр.
с (с - х) + (Н + гг) (с - х)2 + (Н + гг )2
= 2
1 -
с (с - х) + (Н + гг) (с - х)2 + (Н + г )2
с (с - х) + (Н - гг) (с - х)2 + (Н - гг)2
Теперь величина А получает такое значение
А = \ -с 1п((с - х)2 + (Н + г.)2) -
-2 ( Н + ^ ) ^Н+Т +
22 + с 1п((с - х) + (Н - ,г) ) +
+ 2 (Н -гг) агС£
с-х Н - г,
= \ с 1п
22
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.