ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2014, № 1, с. 129-138
УДК 550.831
ОБ ОЦЕНКЕ ТОЧНОСТИ ГЛОБАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ
© 2014 г. В. Н. Конешов1, В. Б. Непоклонов2, Р. А. Сермягин3, Е. А. Лидовская2
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва 2Московский государственный университет геодезии и картографии, г. Москва 3Центральный научно-исследовательский институт геодезии, аэросъемки и картографии, г. Москва
Поступила в редакцию 25.02.2013 г.
Представлен анализ методов и технологии оценивания точности глобальных моделей гравитационного поля Земли в виде сферических гармоник геопотенциала. Рассмотрены и классифицированы различные методы получения априорных и апостериорных оценок точности. Использование различных методов проиллюстрировано численными примерами для девяти моделей, в том числе моделей, созданных в последние годы с помощью новых методов космической геодезии. Определены основные требования к базе данных и программному обеспечению для оценки точности.
Ключевые слова: гравитационное поле Земли, модель, сферические гармоники, высота квазигеоида, аномалия силы тяжести, оценка точности.
БО1: 10.7868/80002333713060070
Для описания внешнего гравитационного поля Земли (ГПЗ) широко используются глобальные модели ГПЗ в виде разложения геопотенциала по сферическим функциям (далее — модели ГПЗ) [Конешов и др., 2012]. На точность моделей ГПЗ влияют погрешности определения коэффициентов разложения (гармонических коэффициентов геопотенциала), которые в свою очередь обусловлены погрешностями исходной измерительной информации и методов ее обработки. Еще одним источником погрешности является ограничение степени учитываемых сферических гармоник геопотенциала некоторым предельным значением степени птах (погрешность усечения).
Требования к моделям ГПЗ постоянно повышаются. Как следствие, не теряют актуальность вопросы оценки их точности. В статье рассматриваются методы и технология решения этой задачи с учетом последних достижений в области создания моделей ГПЗ.
Модели рассматриваемого класса базируются на представлении потенциала силы тяжести в виде суммы нормального потенциала, в качестве которого используется потенциал общеземного эллипсоида (ОЗЭ), и возмущающего (аномального) потенциала
t ( а, г ) = m я"
J-Hf'™"*/ \« + 1
а \г
n=2
Х Я (Cnm C0S + Snm sin ml))m(sin ф),
(1)
где a — большая полуось ОЗЭ; ф, X, r — сферические геоцентрические координаты (широта, долгота, радиус-вектор) точки; fM — произведение
гравитационной постоянной на массу Земли; Pnm — полностью нормированные функции Лежандра;
Cnm, Snm — полностью нормированные коэффициенты разложения [Мориц, 1983].
О точности моделей вида (1) обычно судят по точностным характеристикам определения наиболее распространенных трансформант возмущающего потенциала, в том числе высоты квазигеоида (ВКГ) Z, аномалии силы тяжести (АСТ) Ag, составляющие уклонений отвесных линий (УОЛ) в меридиане и первом вертикале £,, п:
, "max , , ,,
Z = f Я (") х
УГ \г'
' n=2
х Я Pnm (sin ф) (Cnm cos ml + Snm sin mk);
9
129
n
m=0
n
m=0
Таблица 1. Аналитические оценки погрешностей глобальных моделей ГПЗ
Погрешность Параметр
Z, N Ag 9 = к2 + n2
S2 nmax R2 X 8 n nmax y 0 Z (n -1)2 5 n nmax Zn (n+1)sn
n=2 n=2 n=2
Б2 да R2 Z с" да Y 0 Z (n -1)2 c« да Z n (n + 1)c2
n=nmax +1 n=nmax +1 n=nmax +1
* = f I (;)"(»-■)«
n=2
n
Х I Pnm(sin ф) (Cnm COS mk + Snm sin mX)
m=0
,,, r nmax , . n
t-f I (a)-
yr , \r)
' n=2
n — .
X I dPnm(fn Ф) (Cnm COS mk + Snm Sin mk),
^ d m
И7-П '
(3)
(4)
fM
nmax I \ n
-I (-)
r
n =
yr COS ф —
n
X I mPnm(sin ф) (Snm COS mk - Cnm Sin mk),
(5)
где у — нормальное значение ускорения силы тяжести в расчетной точке, редуцированное на поверхность теллуроида.
Также в число этих трансформант входит высота геоида
гл г nmax /
N = M I | a
У еГе n=2 VГ
(6)
x I Pnm(Sin Ф) (Cnm cos mk + Snm Sin mk),
I
m=0
N-Z
h =
(7)
редукция Буге; р — плотность слоя Буге (стандартное значение р = 2.67 г/см3).
Оценки точности моделей ГПЗ делятся на две основные группы — априорные и апостериорные.
В основе априорных оценок лежат статистические зависимости между погрешностями коэффициентов Спт, Бпт и погрешностями выходных данных. Считая указанные выше источники погрешностей моделей ГПЗ статистически независимыми, априорные оценки получают по формуле:
nmax ) + 6 («max ) ,
(8)
где а — средняя квадратичная погрешность (СКП) модели; 8 и е — средние квадратичные значения соответственно суммарного вклада погрешностей определения коэффициентов Спт, Бпт и погрешности усечения.
Величины 8 и е оценивают путем формального перехода к СКП в выражениях (1)—(6) и соответствующих им выражениях для остаточного члена разложения. Обычно используют усредненные оценки по земному шару, на геосфере радиуса Я, равного среднему радиусу Земли. В аналитическом виде такие оценки приведены в табл. 1, где
2 о2
сп и о п — так называемые степенные дисперсии, соответственно, коэффициентов Спт, Бпт и их погрешностей (СКП) 5Сит, ЬБпт, определяемые с использованием выражений [Мориц, 1983; Непоклонов, 1998]:
где ге — радиус-вектор точки с координатами ф, к на поверхности ОЗЭ; уе — нормальное ускорения силы тяжести в точке (ф, к, ге) [Мориц, 1983].
Различие между высотой геоида и высотой квазигеоида может учитываться с использованием соотношения [8]6Ъег§, 1995]
_ I (Cnm + Snm),
m=0
S« = I ("m +
m=0
(9)
(10)
У о У о
где к — высота над уровнем моря; у0 — среднее значение нормального ускорения силы тяжести на ОЗЭ; AgB — простая аномалия Буге; дgB = 2п/р к —
Погрешность усечения оценивают с помощью подходящей аналитической модели степенных дисперсий при n е [nmax +1, да]. Обычно задаются
степенные дисперсии АСТ Agl и используется соотношение
m=0
n
n
Таблица 2. Модели степенных дисперсий АСТ
№№ п/п Автор(ы) Зависимость Ag^ от n
1 Каула (1966) 96 (n -1)2 (2n +1) 4 n
2 Пеллинен (1970) 166n-112
3 Пеллинен (1992) J34(n -1)2 n~2'68 n < 180 [1559 (n -1)2 n~3'409 n > 180
4 Чернинг, Рапп (1974) 425.28sn+2 (n -1) v s = 0.999617, n > 2 (n - 2) (n + 24)
5 Мориц (1976) , J3.405sf+2 140.03s2n+2 ^ (n -1) -+--—1, ^ Я n +1 n2 -4 J s1 = 0.998006, s2 = 0.914232, n > 2
6 Джекели (1990) ЛС.М 1\2 -2.898 161(n -1) n
Таблица 3. Зависимость погрешностей усечения ВКГ и АСТ от nm
Модель Ag„2 м Едр мГал
360 720 1440 1800 2160 360 720 1440 1800 2160
1 0.18 0.09 0.04 0.04 0.03 25.2 22.5 19.3 18.1 17.1
2 0.11 0.05 0.03 0.02 0.02 26.1 25.1 24.0 23.7 23.5
3 0.14 0.06 0.03 0.02 0.02 18.5 16.1 13.9 13.3 12.8
4 0.22 0.10 0.04 0.03 0.02 25.2 20.1 14.5 12.7 11.2
5 0.30 0.12 0.04 0.02 0.01 28.7 20.1 9.8 6.8 4.8
6 0.22 0.11 0.06 0.05 0.04 34.0 30.8 26.9 25.4 24.2
Среднее 0.20 0.09 0.04 0.03 0.02 26.3 22.4 18.1 16.7 15.6
el = Ag2Jу0 (n -1)2. (11)
Предложены различные модели степенных дисперсий АСТ (табл. 2) [Мориц, 1983; Каула, 1970; Pellinen, 1970; Пеллинен, 1992; Moritz, 1976; Jeke-li, 2009]. Соответствующие им априорные оценки погрешностей усечения ВКГ и АСТ приведены в табл. 3 в зависимости от характерных значений nmax с учетом актуальности моделей с nmax > 360.
На основании анализа формул (9)—(11) и табл. 1— табл. 3 можно отметить следующее:
1) погрешности определения коэффициентов Cnm, Snm и погрешность усечения меняются разнонаправленно — с увеличением nmax величина 8 возрастает, а величина s убывает, и наоборот. Основной вклад в общую погрешность вносят: для АСТ, вне зависимости от nmax, а также для ВКГ при относительно низких значениях nmax — погрешности усечения сферических гармоник; для
ВКГ, получаемых с использованием ультравысо-костепенных моделей — погрешности определения коэффициентов Cnm, Snm,
2) зависимости, приведенные в табл. 2, сходны между собой по асимптотике. Тем не менее, оценки б (nmax), при одном и том же значении nmax, могут достаточно сильно различаться между собой, особенно для низких степеней. Поэтому в качестве окончательной оценки погрешности усечения, наиболее достоверной, возможно использование среднего значения по нескольким моделям (нижняя строка табл. 3);
3) оценка погрешности усечения зависит от вида степенных дисперсий АСТ. Характеристики оцениваемой модели ГПЗ на нее не влияют. В отличие от этого, вклад погрешностей определения коэффициентов Cnm, Snm является индивидуальным для каждой конкретной реализации, даже при фиксированном значении nmax, что иллюстри-
Таблица 4. Влияние погрешностей гармонических коэффициентов геопотенциала на точность модельных значений ВКГ и АСТ
Модель ГПЗ Страна Год выпуска nmax 5
вы:; м ACT, мГал
EGM-96 США 1996 360 0.36 8.5
ПЗ-2002 Россия 2002 360 0.45 10.8
EIGEN-GLO4C ФРГ, Франция 2006 360 0.15 4.4
ГАО-2008 Россия 2008 360 1.11 1.9
EIGEN-5C ФРГ, Франция 2008 360 0.13 3.8
EGM-2008 США 2008 2160 0.08 4.2
GIF48 США 2011 360 0.08 2.4
EIGEN-6C ФРГ, Франция 2011 1420 0.10 3.6
EIGEN-6C2 ФРГ, Франция 2012 1949 0.08 3.3
руется оценками, полученными на примере ряда современных комбинированных моделей ГПЗ, в том числе новейших ультравысокостепенных моделей EIGEN-6C и EIGEN-6C2 (табл. 4). Cудя по этим оценкам, с середины 2000-х годов точность определения гармонических коэффициентов геопотенциала была существенно повышена. По сравнению с моделями второй половины 1990-х— начала 2000-х годов обеспечено повышение точности по ВКГ в 4—5 раз, по ACT в 2—3 раза. В значительной мере все это стало результатом использования новых методов космической геодезии в зарубежных проектах, в том числе траекторного слежения по линии "спутник—спутник" (проекты CHAMP и GRACE) и низкоорбитальной спутниковой гравитационной градиентометрии (проект GOCE).
Основным достоинством априорных оценок является то, что они позволяют получить представление о точностных характеристиках модели ГПЗ в целом по земному шару достаточно оперативно и практически без привлечения дополнительной информации. Вместе с этим, как показывает практика, такие оценки могут быть не вполне адекватными (излишне оптимистичными), особенно когда требуется оценить точность модели в конкретном районе. Отедовательно, окончательные выводы о точност
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.