МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2015
УДК 593.3
© 2015 г. К. Б. УСТИНОВ
ОБ ОТСЛОЕНИИ СЛОЯ ОТ ПОЛУПЛОСКОСТИ;
УСЛОВИЯ УПРУГОЙ ЗАДЕЛКИ ДЛЯ ПЛАСТИНЫ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СЛОЮ
Получено и исследовано решение однородной задачи о полубесконечной трещине, проходящей вдоль границы, отделяющей тонкий упругий слой от упругой полуплоскости из материала с отличающимися свойствами. Следуя [1—4] путем применения двухстороннего преобразования Лапласа задача сведена к матричной задаче Римана. Выделен класс сочетаний упругих постоянных материалов, для которых возможно осуществить факторизацию матричного коэффициента способом [1—4]. Данная факторизация проведена, что привело к обобщению задачи [1—4] на случай различных упругих постоянных слоя и полуплоскости (хотя и подчиняющихся дополнительному условию). Получены асимптотические выражения для смещений берегов трещины вдали от ее вершины. Показано, что ведущие члены асимптотики смещений берегов трещины соответствуют смещениям балки (пластины) при граничных условиях типа обобщенной упругой заделки, т.е условиям пропорциональности смещений и угла поворота в точке заделки действующим компонентам главного вектора и изгибающего момента нагрузки. Получены выражения для компонент матрицы коэффициентов упругой заделки.
Ключевые слова: отслоение, интерфейсная трещина, факторизация, упругая заделка.
Введение. Задача отрыва полосы от полуплоскости решалась многими авторами, напр. [5—7], при этом в основном, интерес был сосредоточен на поведении решения вблизи вершины трещины. Однако, в ряде задач, например при исследовании потери устойчивости отслаивающимися покрытиями, значение имеет поведение поля смещения вдали от вершины трещины.
Эффективное и элегантное решение задачи для случая одинаковых упругих свойств слоя и полуплоскости путем применения преобразования Лапласа и сведения ее к матричной задаче Римана было дано в работах [1—4]. Ключевым моментом решения являлась факторизация матричного коэффициента. В результате получены асимптотические представления для трансформант поля напряжений на линии продолжения трещины и, в конечном счете, вычислены коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) в зависимости от главных вектора и момента напряжений, действующих на продолжении трещины. Однако, интерес к задаче не ограничивается вычислением КИН. В частности, из указанного решения можно извлечь асимптотику смещений берегов трещины вдали от ее вершины. При этом, при наличии ненулевых главных вектора и момента действующих нагрузок, ведущие члены асимптотики смещений берегов трещины будут, очевидно, соответствовать смещением балки (пластины), подверженной действию указанных главных вектора и момента при некоторых граничных условиях. Следует подчеркнуть, что эти граничные условия отнюдь не будут условиями жесткой заделки в месте кончика трещины. Они будут представлять собой, как это
У = 1 У
V® ахх(х), аХу(х)
х
v(1)
Фиг. 1
будет продемонстрировано ниже, условия обобщенной упругой заделки, т.е условия пропорциональности смещений и угла поворота в точке заделки действующим компонентам главных вектора и момента нагрузки. Вычисление коэффициентов матрицы упругой заделки для рассматриваемой конфигурации и является основной целью настоящей работы.
1. Постановка задачи. Рассматривается однородная изотропная упругая полуплоскость у < 0, к которой вдоль линии у = 0, х > 0 (фиг. 1) присоединена полоса 0 < у < 1 из другого материала. В постановке плоской деформации рассматривается однородная задача: все поверхности предполагаются свободными от напряжений
суу = аху = 0, при у = 1, и у = 0, х < 0
(1.1)
а нагрузка с эквивалентными главными силой (Т, Ы) и моментом М приложена на бесконечности, так что
М = -1 ха ууоХ, N = | с уу^х, Т = | а хуйх
(1.2)
Величины, относящиеся к полуплоскости у < 0 будут обозначаться индексом 1; величины, относящиеся к полосе 0 < у < 1, — индексом 2. Модули Юнга и коэффициенты Пуассона материалов полуплоскости и полосы для условий плоской деформации
обозначим Е(г), у(г), г = 1,2, соответственно. С обычными модулями Юнга Е0г) и коэффициентами Пуассона Voí) они связаны соотношениями
Е(г) =
Е « Е0
(1 ^0г))(1
V« =
х0
1
(1.3)
Условия сопряжения на границе имеют вид
.(1) _ „(2) „(1) _ _(2)
_ (1) _ (2) ® ху = ® ху, и = и ,
(1) (2) и = и
при у = 0, х > 0
(1.4)
Здесь и, и, охх, оуу, оху — компоненты вектора смещения и тензора напряжений. В окрестности нуля поле напряжений имеет корневую особенность
1
I а I л/2лх [К,,
ху J ^
К,
0(4%)
(1.5)
В случае различных значений упругих постоянных здесь могут появиться также осциллирующие члены. Однако характер осцилляции для нас имеет второстепенное
значение, а первостепенное — то, что он не меняет показателя 1/2 в (1.5). Данное соотношение будет использовано в дальнейшем.
Воспользуемся результатами работы [4], в которой дается связь между образами двустороннего преобразования Лапласа от производной компонент вектора смещения на мнимой оси (р е Ь, Ь — мнимая ось)
да да
еЧ(р) = \-ди<А(*>0>'р%ах' «у (р)= \ т(*>0>~р%ах (1.6)
' дх ^ дх
—да —да
и напряжениями
да да
Чх (р) = I ^ху (х,0урхйх, Чу (р) = | суу (х, 0урхёх (1.7)
—да —да
для полуплоскости у < 0:
^ (р) = I «ЕП (р) ЧХ (р) + ^ чу (р)
«У (р) = -^-у- Чх (р) +1 «ЕП (р), р
(1.8)
е Ь
2
и для полосы 0 < у < 1 (при поставленных граничных условиях свободной внешней границы ауу = аху = 0, при у = 1):
Е- (р) =р 7р - р Чх (р)+а ь (р)+^ Чу (р)
Е22) (р) = - ^ Чх (р) - Чх (р) + р р + р Чу (р) , р . Ь 2 2 а а
(1.9)
а = «т2 р - р2 (1.10)
Рассмотрим преобразование Лапласа от следующих величин: /ч Е(2) 0 д\и(2) (х,0) - и(1) (х,0)1 рх
Р (р) = — — \ т \е~рхах (1.11)
2 | дх [и(2) (х,0) - «(1) (х,0)^| Р+ (р) = ]{Суу (х,0){ -рхах (1.12)
0 ху (х,0)
На основании (1.4) подынтегральное выражение (1.11) тождественно равно нулю для х > 0, и, следовательно, Е_ (р) аналитична в левой полуплоскости Яе р < 0. Аналогично, согласно (1.1) подынтегральное выражение (1.12) равно нулю для х < 0, и, следовательно, (р) аналитична в правой полуплоскости Яе р > 0. Здесь аналогично [1—4] предполагается выполнение условия убывания напряжений на бесконечности для по-
2 2
луплоскости у < 0 при х + у ^ ж и полосы 0 < у < 1 при х ^ +<ю . В окрестности нуля выполняются условия (1.5). При х ^ -да смещения могут расти как полином третей степени (что соответствует ненулевой поперечной силе на бесконечности), следовательно в Лаплас-образе (р) возможно появление полюса в нуле до третьего порядка включительно.
Комбинируя (1.6)—(1.12) получаем уравнение матричной задачи Римана, аналогичное [1-4]:
F-(p) = K(p)F+ (p), K(p) = ffl11 M, p e X (.13)
Va21 a22 J
a11 = (sin p cos p + p) /d - in sgn (p/i)
ai2 =-a21 =-p2/d - n' /2 (1.14)
a22 = (sin p cos p - p)/d - in sgn (p/i)
П = E(2)/E(1), n' = 1 -v(2) - n(1 -v(1)) (.15)
Здесь p принадлежит мнимой оси.
Основная сложность задачи состоит в факторизации матричного коэффициента K (p), т.е. представление его в виде
к (p) = X-1 (p)X + (p) (1.16)
где матрицы-функции X± (p) аналитичны в правой и левой полуплоскости комплексного переменного p, и detX± (p) ^ 0 в соответствующих плоскостях вплоть до границы. В настоящее время общее решение указанной задачи неизвестно. Факторизация может быть осуществлена лишь для матриц частного вида [9-17]. Одной из форм представления матриц данного вида является следующая
км=»О -t!) <■■">
где b(p), c(p) — произвольные функции, l (p),m(p), n(p) — полиномы, а на функцию ln K (p) накладываются некоторые ограничения. В частности в [1—4] была решена задача для п = 1, П' = 0, что соответствует совпадению упругих свойств полуплоскости и полосы.
Выполнение условия
П' = 1 -V(2) -n(1 -V(1)) = 0 (1.18)
существенно для сохранения вида матричного коэффициента задачи Римана, необходимого для разрешимости задачи методами [9—17]. Вместе с тем, обобщение для п отличных от единицы, не приводит к нарушению необходимого вида матричного коэффициента, а лишь усложняет выкладки.
Заметим, что условие (1.18) не является столь уж обременительным, поскольку для плоской деформации, во все формулы входят модифицированные (1.3) модули Юнга
и коэффициенты Пуассона (изменяющиеся в пределах 0 < v(,) < 1), и для любых отношений модулей п всегда можно подобрать соотношение коэффициентов Пуассона, удовлетворяющих (1.18), причем неединственным образом. Для мягких подложек (n ^ <») условие (1.18) выполняется, в частности, для несжимаемых материалов
V(2) = v(1) = 1, или с учетом (1.3): v02) = v01) = 1/2. Для жестких подложек (n ^ 0) — достаточно несжимаемости материала полосы.
Решение задачи для п' = 0 может рассматриваться как приближенное решение задачи для произвольных соотношений упругих модулей, и произвольных коэффициентов Пуассона полуплоскости и полосы. Причем рассматриваемое приближение не слишком плохо. Действительно, согласно определению (1.15) условие п' = 0 (1.18)
есть не что иное, как равенство нулю второго параметра Дундурса, определяемого как [18]:
1 д(1)(1 - 2 v(2)) -д(2)(1 - 2 v(1))
в D = 1 Ц(1) J Ц(2) 2V rn (1.19)
2 ц(1)(1 - 2 v(2)) -ц(2)(1 - 2 v(1))
Здесь ц(г) — модули сдвига полуплоскости и полосы. Авторы [19] полагают, что для рассматриваемых задач влияние pD обычно пренебрежимо, и для практических расчетов полагается равным нулю, ibidem.
После нахождения X± (p), окончательное решение задачи дается с помощью теоремы Лиувилля
(1.20)
Р+ (р) = X-1 (р)П (р), Яе (р) > 0
Р (р) = X-1 (р)П (р), Яе (р) < 0
Здесь П(р) — векторный полином, подлежащий определению.
Условия (1.2), (1.5) после трансформации принимают, соответственно, вид
. . [Ы + Мр + о (р)!
Р+ (р) = {Г + о(1) |' Яер ^ 0 + (1.21)
1 1 , п/ -3/2\
(2.1)
B(p) = Ф-1 (p)P _p\ Ф(p) = A/TV (.2)
F+ (Р) = j= + O{p-3/2), Rep ^ (1.22)
Данные условия будут использованы для определения П(р).
2. Решение задачи Римана для п' = 0. Матрицы X i1 (t) могут быть представлены в виде аналогичном [1—4] (в [1—4] имеется опечатка — пропущены степени у Л± (p)):
X? (p) = Л? (p) [Ich (ppß+) ± B (p) sh (ppß+)] XИ (p) = Л-1 (p) [I ch (ppß-) ± B (p) sh (cpß_)] Здесь I — единичная матри
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.