МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2014
УДК 539.373, 539.6, 532.613.1
© 2014 г. Р. В. ГОЛЬДШТЕЙН, К. Б. УСТИНОВ
ОБ УЧЕТЕ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Получено значение поправки за счет сил Ван-дер-Ваальса при определении изгибной жесткости слоя. Рассмотрены варианты монослоя и пленки, состоящей из нескольких монослоев. Получено значение поправки на ван-дер-ваальсово взаимодействие при расчете силы, действующей на инден-тор. Рассмотрены два варианта определения упругих сил на микроуровне. Даны численные оценки параметров, при которых поправка существенна.
1. Введение. С уменьшением размеров тел возрастает доля приповерхностных атомов, и, следовательно, становятся существенными различные эффекты, связанные с поверхностью. Их относительная роль меняется в зависимости от рассматриваемых задач. Так при росте кристаллов важен вклад поверхностной энергии [1, 2]; при деформации тонких структур — поверхностной упругости [1—5], при росте кристаллов в условиях сложного напряженного состояния — оба эти эффекта. Ван-дер-ваальсовы взаимодействия проявляются при контактном взаимодействии на микро- и наноуров-нях [6, 7].
Внутри твердых тел взаимодействия между атомами весьма разнообразны и осуществляются за счет различных типов взаимодействия (ковалентного, ионного, металлического), среди которых всегда присутствующее ван-дер-ваальсово не является преобладающим. В то же время взаимодействие контактирующих тел обуславливается в основном ван-дер-ваальсовым взаимодействием (ситуация может осложняться наличием поверхностных зарядов).
При исследовании объектов в микро- и нанометровом диапазоне вклады, вызываемые поверхностными явлениями, неоднократно оценивались. В то же время, за исключением исследования работы атомно-силовых микроскопов (например, [8]), вкладу ван-дер-ваальсового взаимодействия, априорно важного для таких масштабов, уделялось меньшее внимание. Далее будут рассмотрены некоторые явления, связанные с учетом ван-дер-ваальсовых сил в задачах механики деформируемого твердого тела, решаемых методами континуальной механики.
2. Применение к задаче наноиндентирования. Наноиндентирование является важным методом определения свойств материала (см. [9]). На необходимость учета ван-дер-ваальсового взаимодействия при наноиндентировании указывалось рядом авторов, например, [10], однако строгая теория, учитывающая все аспекты при наноин-дентировании, к настоящему моменту еще не существует.
Рассмотрим более подробно индентор, представляющий собой вблизи области контакта усеченную пирамиду с основанием в форме многоугольника (например, треугольника ABC), лежащего в плоскости, параллельной границе y полупространства, и наклонными гранями, имеющими угол а с нормалью DD' к плоскости (фиг. 1).
В частности, данную модель можно применить при рассмотрении стандартного ин-дентора Берковича, острие которого представляет собой усеченную пирамиду. Поскольку реализация идеально острого угла на практике невозможна, при моделирова-
B'
Фиг. 1
нии вершину обычно рассматривают как участок сферы малого радиуса, напр., [6]; в настоящей работе вершина моделируется плоским участком. На рисунке угол а это угол между лучом DD' и каждой из граней ACC'A', CBB'C', ABB'A'. Кроме того, введем следующие обозначения: DA = zo,DD' = z, D ey,D' e A'B'C'; y|| ABC||A'B'C'. Ввиду достаточно быстрого убывания функции, описывающей потенциал взаимодействия между атомом, находящимся на некотором расстоянии от полупространства, и полупространством [11] с ростом z существенной является величина угла а (в случае его непостоянства) вблизи прилегающей поверхности (ABC). Для рассматриваемой усеченной пирамиды изменение площади сечения с увеличением расстояния z до плоскости у будет иметь вид
dS = S (z) - S (zo) = PR2 (z) - вR2 (z) = 2pRodR + O(dR2) (2.1)
Здесь R (z) — какой-либо характерный размер сечения, в — некоторая константа, сокращающаяся при последующих выкладках (например, для кругового сечения Р = п). Откуда с учетом того, что (dR/dz) = tg а:
dS(z)(, ч 2pRodR,
/
S (z) = So (z - zo ) = So + So^2 dR (z - zo ) = So 1 (z - zo)
dz pR2 dz \
2tga/
Ro ) (2.2)
Яо = Я (го)
Рассмотрим взаимодействие индентора с поверхностью. Потенциал ван-дер-вааль-сового взаимодействия т между двумя частицами имеет вид [11].
* = -С/г6 (2.3) Здесь г — расстояние между частицами, С — константа межатомного взаимодействия для различных атомов и групп атомов имеет порядок С ~ 10-78^10-75 Дж • м6.
Потенциал взаимодействия между полупространством и атомом, отстоящим от него на расстоянии г, вычисляется как сумма всех парных взаимодействий данного атома со всеми атомами полупространства. Заменяя в силу большого числа атомов суммирование интегрированием, с учетом г2 = р2 + г,2 имеем [11]:
да да
* = -¡dz |^р^^ = -пСр! (2.4)
г о (Р2 + г )3
Здесь — объемная плотность атомов в полупространстве, z — расстояние от атома до полупространства.
Если пренебречь изменением формы полупространства при воздействии на него индентором, то потенциал взаимодействия определяется как интеграл от взаимодействия (2.4) атомов индентора с полупространством по всей области, занимаемой телом. Поскольку потенциал (2.4) не зависит от положения атома в плоскости, а только от расстояния до нее, потенциал взаимодействия можно получить как интеграл от произведения (2.4) на площадь сечения индентора S(z), параллельного поверхности полупространства
да
* = - \^^^ (г)йг (2.5)
л 6г
Здесь р2 — объемная плотность атомов в теле, D — расстояние между контактирующими поверхностями, точнее — расстояние между центрами ближайших атомов контактирующих поверхностей. Вводя обозначение
А = л2Ср!Р2 (2.6)
перепишем формулу (2.5):
да , ,
* = -п-1А [Щйг (2.7)
— 6г3
Здесь A имеет смысл константы взаимодействия двух материалов. Для одинаковых материалов A — константа Гамакера данного материала. Для большинства материалов и пар материалов A есть величина более или менее постоянная и примерно равная 10 -19 Дж (0.5-1.5 ■ 10-19 Дж) для графита 4.7 ■ 10-19 Дж. Подстановка (2.2) в (2.7) дает
* = (1 + к) (2.8)
12п—2
где введено обозначение
к = 2 — гБа= —— (2.9)
^ йг
Результат не зависит от конкретной формы сечения индентора.
Для индентора Берковича радиус контакта может составлять менее 30 нм, а угол наклона грани составляет ~65° [12], что при — = 0.4 нм дает к = 0.06. Данная поправка может учитываться при точных расчетах.
При относительно большой по сравнению с зазором D площади контакта S0 величиной k можно пренебречь по сравнению с единицей. Тогда, согласно (2.8), для единицы площади взаимодействующих поверхностей потенциал взаимодействия равен
-А/(12п— ), что соответствует величине, полученной в [111]. Для противоположного случая (острия толщиной в молекулу) можно пренебречь единицей по сравнению с k, и формула (2.8) преобразуется к виду
* =--—— (2.10)
12п— йг.
Очевидно, данные формулы перестают работать при стремлении суммарного угла раствора индентора к развернутому.
Дополнительная сила, действующая на индентор вследствие сил Ван-дер-Ваальса, получается дифференцированием соответствующего потенциала по координате. Для (2.8) это даст
р = _АЯ03 ( + к/2) (2.11)
Для (2.10) аналогичные вычисления дают
р =--(2.12)
12пБ2 dz
Подставив характерные значения для входящих в формулу (2.11) параметров, можно оценить их величины, при которых учет данной силы становится существенным.
Для указанных параметров (А = 2 • 10-19 Дж,Я0 « лг02 « 3 • 10-15т2, Б = 0.4 • 10~9т, k = = 0.06) величина добавочного давления (силы, отнесенной к площади S0) — 10 МПа. Однако при вычислении контактного напряжения сила взаимодействия, пропорциональная площади контакта обычно не учитывается [6, 13]. Учитывается лишь дополнительная сила, возникающая благодаря ван-дер-ваальсовому взаимодействию вне площадки контакта, т.е. сила, обусловленная лишь членом, содержащим k в (2.11), что составляет 0.3 МПа и может быть существенно лишь при исследовании относительно слабых материалов. Роль указанной поправки будет возрастать с уменьшением радиуса контакта.
В приведенном рассмотрении использован подход, в первом случае близкий к подходу [14], во втором — к подходу [6, 13]. Для твердых материалов данный подход, по-видимому, обеспечивает достаточную точность. Для уточнения решения необходимо учесть следующие эффекты: изменение площади контакта Я0 в зависимости от взаимопроникновения индентора и исследуемой поверхности; искривление границы исследуемой поверхности; возможное изначальное искривление исследуемой поверхности. В настоящее время существует ряд теорий, учитывающий эти факторы (см., напр., [15, 16]), обзор которых выходит за рамки настоящей работы.
3. Учет сил Ван-дер-Ваальса при определении изгибной жесткости монослоя. Рассмотрим изменение суммарной энергии ван-дер-ваальсового взаимодействия монослоя при сворачивании его в цилиндрическую поверхность, т.е. при изменении кривизны. Ввиду достаточно быстрого убывания потенциала сил Ван-дер-Ваальса, значение имеет кривизна в непосредственной близости рассматриваемой точки, и, следовательно, при вычислении интегралов можно с большой степенью точности заменить реальные формы цилиндрического искривления слоя цилиндрическими поверхностями постоянной кривизны.
Рассмотрим сечение, нормальное к образующей цилиндрической поверхности. Введем систему координат с началом в рассматриваемой точке поверхности, осью х, направленной по касательной к поверхности по нормали к образующей, осьу — вдоль образующей, ось г — по нормали к поверхности (фиг. 2).
Полагая в (2.3) г2 = г2 + у2 и интегрируя вдоль у, получим потенциал взаимодействия атома, находящегося в точке O с линией атомов, находящихся на образующей, отстоящей от O на расстояние Л
Фиг. 2
* = - йу = - ^ (3.1)
(? + у )3 8?5
Здесь р^ — число атомов на единицу длины. Для нахождения потенциала взаимодействия атома, расположенного в точке O со всеми атомами монослоя (за исключением полосы вдоль образующей, толщиной в один атом), необходимо проинтегрировать потенциал (3.1) по ?
* = -2}^р¿Яйф = -^^ )—^-щ (3.2)
8?5 4
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.