Акустические методы
УДК 620.179.16
ОБ УЧЕТЕ ВЛИЯНИЯ КРИТИЧЕСКОГО УГЛА НА ПАРАМЕТРЫ СМЕЩЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ УПРУГИХ ВОЛН, ВОЗБУЖДАЕМЫХ СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ
В.Н. Данилов, АЛ. Самокрутов
В дальней зоне получены асимптотические выражения смещений поперечных волн, возбуждаемых источниками типа "сосредоточенная вертикальная и горизонтальная сила на поверхности упругого полупространства", учитывающие особенности излучения таких волн под углами, близкими к третьему критическому. При достаточной удаленности от критического угла эти выражения переходят в полученные ранее асимптотические оценки.
Одним из направлений развития эхометода у. з. контроля является применение преобразователей малых волновых размеров с сухим точечным контактом, излучение которых моделируется излучением точечных колебательных сил [1]. В работе [2] получены представления смещений продольных и поперечных волн, возбуждаемых подобными источниками с поверхности упругого полупространства. В дальней зоне получены асимптотические выражения смещений в первом приближении метода перевала. При этом отмечалось, что для поперечных волн полученные выражения могут быть не точны, если расчеты проводятся в окрестности третьего критического угла [3] 03 = ап^г^с^с,), где с, Т — скорости продольной / и поперечной т волн. Ниже приводится расчет уточненных значений компонент вектора смещения поперечной волны, возбуждаемой в упругом полупространстве вертикальным и горизонтальным источниками типа "сосредоточенная сила", учитывающих особенности влияния этого критического угла.
Из результатов работы [2] получаем, что для источника типа вертикальная сосредоточенная сила (^Гг), находящегося в начале системы координат, ось 02 которой ортогональна поверхности г = О упругого полупространства (г > 0), выражения в виде интегралов Фурье—Бесселя цилиндрических г и г компонент вектора смещения поперечной волны имеют вид:
Fr,
ОО _ ( О
J W(k\ 1V '
2Wj0 W(k)
ux _ iFjz г ,, 2k v, t
f dk (kr); (1)
271JH J W(k) oV '
W(k) = (Je2 - 2k2)2 + 4Fv,vT, v/it = V kl - k2,
где kh kx — волновые числа продольных и поперечных волн; |1 — параметр Ламэ; /0, — цилиндрические функции Бесселя нулевого и первого порядка; к — параметр интегральных разложений.
При замене функций Бесселя J0tl{kr)->^ + ], где
//o ](i).(2) —функции Ханкеля 1-го и 2-го рода, преобразования пределов
интегрирования
м- \
J \о 2 J
-а У
с учетом четности функций Ханкеля [4],
использования асимптотических представлений Я0(|)(х) —» I —е'(х~к/4)
их
Я,(1)(д:) -> ГХе<(*-3*/4) [5] в дальней зоне кхЯ » \,Я= л! х2 +г2 из (1)
тех
получаем следующие соотношения:
_.3к
г2те ^
2яц £ V г Ж (Л)
СЛ
^ 7\; —
_ Г I * 2/:2Л/у!Л/ к1 + к Г пГЧг УГ(к) ' (2)
2тец /2те { Ч г ]¥ (к)
Для источника типа горизонтальная сосредоточенная сила (РТх) интегральные представления тех же компонент вектора смещения (поляризация см. [2]) имеют вид:
- - 1 (3)
Преобразуя формулы (3) аналогично тому, как это делалось при переходе от выражений (1) к (2) с удержанием первых членов разложений функций Ханкеля и их производных, получаем выражения:
2тец /2л -1 V г У? (к)
.Зп
"г,» Ш*-2*)^
^ ~ 2тер /2я г № (Л)
= соз <р [ с1кк* - . (4)
те V г ИЧ*)
Избавляясь от радикала / к2 - к2 в знаменателях подынтегральных
выражений в (2) и (4) путем умножения числителя и знаменателя на соотношение [(&т2 - 2£2)2 - 4АгУ/Ут] (см. подобное преобразование в [6], п. 12.2), получаем следующие представления компонент смещения. Для вертикальной силы (^Гг):
гут =
ГУ —
/V, е"4
~ _(/ +/ >
.п
тп - е 4
7 ГТ клГк7+к (к2 -2к2)2 V. ,__..
Л„ = 2/ Г Л - ^ ' т ,;;.-{ГТ,^ ; (5)
1 V Г Щ*)
7 ГХ к3(к*-к2) (к!-к2) . ..
Л™
= (&т2 - 2&2)4 - 1 бк4^2 - £2)(£,2 - £2). Для горизонтальной силы
кк^к2-к2 [к2-к2).^1кг_
РТх е 4 со8 ф г _ ,
.Згс
Л., £ 4 совф г . 1
^т^т" {'-♦'■Л
[1гг
^ Лг ВД е ' (6)
/2Г8= Уг
1\2Ц= \<1к
МГ2{к)
\3
-е
кк{к2-2к2) ^ Г
^ = I с1к
Л V г ^
Интегралы /2п), /2л), /1гх, могут быть оценены в первом приближении метода перевала. В остальных интегралах особенность, связанная с интегрированием в окрестности точки ветвления к = к1, выделена в явном
виде и обусловлена наличием множителя — радикала ^ к- к,. Эти интегралы в общем виде могут быть записаны как:
/ =
= \clkF
q{k) = kr + ^J k2-k2z, z > 0, г > 0. (7)
Седловая точка подынтегрального выражения в (7) определяется из уравнения
q\ks) - г —. = 0, откуда следует:
А2"*,2
ks= £T-^ + £Tsin0; -J к2 - к2 = кх~ = кх cos 0;
<пы=--М=тR=J(8)
fkf^kf М ^ cos- е
В окрестности точки ветвления к = к, фазовая функция q(k) может быть представлена в виде суммы первых членов разложения в степенной ряд, при этом с учетом (8) получаем, что
q(k)= q(ks) + ±q"(ks)(k-ks)\ где q(ks) = kxR, поэтому интеграл J (7) может быть представлен в виде
~ __-<-^-(к-к, )2
J = eik*R jdkF {k)ltTT,e cos e . (9)
Согласно результатам работы [6] (см. п. 11) интеграл (9) может быть равномерно асимптотически оценен с использованием функций параболического цилиндра от параметра
kxR
COS0
—— sin0
К
л
\ .я
-I— , 4
(10)
Такая оценка имеет следующий вид:
(к V/4
J= e'k*Rj2n I-^-j cosQ-fcosBe
. Rk%
4 cos2 е и ■
V .5,
X i^7 (*,) A/2 (") +- (*t sin e) - F (A,) ] D3/2 (и)}, (11)
где Dm(u), Z)3/2(m) — функции параболического цилиндра (Вебера) со значками 1/2 и 3/2.
х
При М » 1 (седловая точка достаточно удалена от точки ветвления) Ощ(и) —> е 4 /и, Dm{u) —> е 4 и/и (коротковолновая асимптотика) [5], поэтому из (11) получаем значение интеграла
J -» e'kxR"4 j cos 9^ ¿T sin 9 -ktF (kx sin 9), (12)
соответствующее его оценке в первом приближении метода перевала.
Из формул (5)—(11) получаем следующие асимптотические оценки смещений поперечных волн с учетом особенностей в окрестности третьего критического угла (точки ветвления). Для вертикальной силы:
ik,R
Ft, е' 2 тф. R
„Д/ cose ■ cos9
/М?
■ í k¡ ■ Л -1k
¡-V- —-sine -1-
4cos2eU, ) 8
X
2/2
/ , \3/2
К
к2 1-2 — к2
*5 , . i
2-A/2W+-
U
(
х /
2 sin 9 cos 9
i
^ + sin9 (l-2sin29)2
k-r
W2(kx sin9)/¿x8
2/2
/ , Л3/2 V^x /
*2
1-2
£>3/2 («)
8 sin 9 cos 9
+ -
Ч2
-y-sin2 9
k;
W2(kx smQ)/k*
(13)
__ _
2лц Л
coseV^/'4cos2eU-:-Sil
/м
-sin H +i
2/2
/ . N5/2
ч^х /
1-2^
А/2(") +
х /
/ 2 sin2 9 1^ + sinO l-2sin29)2 2/2 V l^xj 5/2 Л Dm{u)
V W2(kxsmQ)/k* Г 1-2 — к2 \ x > 2 J
4 Дефектоскопия, № 10, 2003
Бет4 9СОБ2 6
\
ь1
\Кг_У
\У2(кх8тв)/к8х
Для горизонтальной силы:
их - —--
~ /г
совф
со82 9 (1-28Ш39)3
/ \ / о ииЬ" I- с
:
4^2
/ , Л5/2/ у
У
2%
£
1-
1/2
II
48Ш20СО82е М- + 8Ш0 (1-28Ш20)
\У2(кх8тв)/к*
4/2
1 . О
1-2— V "и
03/2(м)
(14)
Р с
¡к, Я
= 2л|д, Л
г« '
-СОвф
втбсовб (1-25Ш2 б)3 \¥2(кх5Ш)/к1
+
+ С05 0
д/ СОЭ©
4со52е1 Л
1_2 —
к2 К-С У
— А/г(") +
4вт3 ОСОБ+ (1-28т2 9)
4дД
/, л7/2 к
у
' к2 Л 1 - 2 —
к2
V "х;
£>3/2 00
В формулах (13), (14) угол 9 отсчитывается в направлении орта п0 от положительного направления оси 02, а угол ср — положительного направления оси ОХ.
Для вертикально ориентированной силы полное смещение поперечной волны (в направлении, ортогональном направлению распространения) (п0) равно £Д,Т = £/т0у = 1/хпсонв - СЛ^тЭ, где компоненты Vх их„ определяются по формулам (13). Для горизонтальной силы полное смещение поперечной волны (в направлении, ортогональном направлению
распространения) равно {// = д/ Щ2 + \]х2, ихв5 = 1ЛГ8совЭ - С/^пЭ, где
компоненты их,.в, их1& определяются по формулам (14), а компонента ифт отвечает смещению волны с поляризацией БН [2]
■н
и
г т т _ _ 'гТх
——вШф -
2*И
Ы/:
В первом приближении метода перевала IIах =--— БШф
2п[1
/ЬК
я
Следует отметить, что уравнение (к2 - 2 к2)2 - 4Ру,ут = 9 имеет в зависимости от отношения ст/с, два комплексных (сопряженных) или действительных корня [7]. Если какой-либо из этих корней (полюсов) оказывается в окрестности седловой точки, а та сама недостаточно удалена от точки ветвления (Ы »1, и нельзя использовать коротковолновую асимптотику функций Вебера), то абсолютная погрешность оценок по формулам (13), (14), имеющих асимптотику ~ кхЯ, может оказаться значительной (сопоставимой с получаемой оценкой), но будет убывать при возрастании параметра кхЯ » 1.
На рис. 1—4 приведены зависимости от угла направления распространения 9 (в диапазоне 9,5°—85,5° с шагом 9,5°) модуля нормированного значения смещения поперечной волны для вертикальной сосредоточенной силы
иху/у -
11271 Я
для нескольких значений отношения с,/ст при возрастании параметра равного 100 для рис. 1, 200 — рис. 2, 500 — рис. 3 и 5000 — рис. 4. Зави-
Рис. 1. Зависимость модуля нормированного Рис. 2. Зависимость модуля нормированно-
смещения для вертикальной сосредоточен- го смещеши для вертикальной сосредото-
ной силы 1]\ы от угла направления распрост- ченной силы (У\л, от угла направления рас-ранения 0 при к% /? = 100: пространения 6 при кх /? = 200: 1 — ф, = 1,85; 2 — 1,9; 3 — 1,95. 1 — фх = 1,85; 2 — 1,9; 3 — 1,95.
симости на рис. 4 практически не отличается от получаемых в первом приближении метода перевала.
Рим. 3. Зависимость модуля нормирование- Рис. 4. Зависимость модуля нормирован-
го смещения для вертикальной сосредото- ного смещения для вертикальной сосредо-
ченной силы и\м от угла направления рас- точенной нагрузки и\ы от угла направле-
пространения 9 при кхИ = 500: ния распространения 0 при к, Я = 5000:
1 — ф, = 1,85; 2 — 1,9; 3 — 1,95. Ф, = 1,85; 2 — 1,9; 3 — 1,95.
На рис. 5—8 приведены аналогичные зависимости модуля нормированного значения смещения для горизонтальной сосредоточенной силы
и\ы -
г г ¡ья Л рТх в
ц2п Я
для нескольких значений отношения с/ст, угла (р = 0 и возрастания параметра кхИ. от 100 (рис. 5) до 5000 (рис. 8). Зависимости на рис. 8 практически не
2,18
1,76 1,33
0,91 0,49
0,06
д
л 2\\
1 м
1 Мг
0,50
28,83
57,17
ияМ 1,41
1ДЗ 0,85 0,57 0,58
0,00
0,50
28,83
57,17
9°
Рис. 5. Зависимость модуля нормированного смещения для горизонтальной сосредоточенной силы Ц'ф от угла направления распространения 9 при кхЯ = 100:
1 — с,/с, = 1,85; 2 — 1,9; 3 — 1,95.
Рис. 6.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.