ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 145, № 3 декабрь, 2005
© 2005 г.
Г.Н. Губаль*, М. А. Сташенко*
ОБ УЛУЧШЕНИИ ОЦЕНКИ ГЛОБАЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ БОГОЛЮБОВА
Для одномерной системы частиц, взаимодействующих как упругие шары, улучшена оценка теоремы существования глобального решения задачи Коши для уравнений Боголюбова с начальными данными из пространства последовательностей измеримых функций.
Ключевые слова: уравнения Боголюбова, несимметричная система.
Глобальное решение начальной задачи для цепочки уравнений Боголюбова [1] с начальными данными из пространства последовательностей измеримых функций впервые построено в работах [2], [3]. В данной работе улучшена оценка теоремы существования глобального решения работы [2] для случая односортной системы.
1. Уравнения Боголюбова. Рассмотрим одномерную несимметричную систему тождественных частиц с массой ш = 1 и диаметром а > 0, которые взаимодействуют как упругие шары (стержни). Частицы в такой системе занимают только допустимые конфигурации> qг+сг,г £ 21\{0}. КонфигурацииШа — ... ,д31) £ |
Qi+l < + сг хотя бы для одной пары (г, г + 1) £ {(-вг, —32 + 1), ■ ■ ■, (-1,1), •.., (в1 — 1,в1)}} называются запрещенными.
Состояние этой системы описывается последовательностью функций распределения F(t) = {К, (£, ... ,х31)}3=31+а2-^о, которые при £ ^ 0 удовлетворяют уравнениям Боголюбова:
* Волынский государственный университет им. Леси Украинки, г. Луцк, Украина. E-mail: hhm@lt.ulcrtel.net, smo@univer.lutsk.ua
ob улучшении оценки глобальной теоремы существования
421
гои
ВА
>ы, улучше-уравнений измеримых
любова [1] с на-\ нкций впервые существования
ичную систему взаимодействуют ко допустимые qSl) € I ..,(-1,1),...,
распределения ют уравнениям
iK.v))-
оша.
-Fa+1{t,x-32,...,xsi;qsí+a,vs 1-V)) +
roo
+ / dVV(Fs+1(t,vl(S2+1)(v-S2,V),q-S2-
Jo , :'.,,),
- a;wÍ32(í;_s2,F),q_S2;x_(S2_i),. ..
- F3+i(t,V-S2 + V,q-32 - cr;x-S2,.. .,xaj)), s = si + s2 ^ 1, где H - оператор Лиувилля:
«1 Q
-S21 • • ■ 1 ) — / vi Fs (t-, X — s2 5 • • •, si)
(1)
•.»1
('НР(г))3(х-32,...,хЯ1) = V ^ —
0(¡i г=-з 2
V) = V, + V, у*+1{У{, V) = ы. -
2. Глобальное решение задачи Коши для уравнений Боголюбова. Решение задачи Коши для уравнений (1) в виде ряда итераций [2] имеет вид
°° п-1
F{t) = и= V / dt1■■■ <Й„ 5(<1 - «)[Я, а+ + сГ]5(«2 - Ь) х • • •
п=о о -/о
■ • ■ X 5(<„ - а+ + а-]5(-<п)^°, (2)
где 5(«) = ©~„
/3(Х-32(г),...,Х31(1)), если (¡г-,,,...,®,!) € М* х (Н' \ IV,), О, если (д_32,...,д31) € Ш3,
Хг{1) = ,з2,..., ^¿ц ), г = —вг,..., в!, - решение начальной задачи для уравне-
ний Гамильтона системы я частиц с начальными данными Х1(0,х~32,... ,х31) = =
-32,..., 81, / ' / ,ь .
(a +/)s(x_s2,. ,.,xSl) = J dxsi+ifsi+1+s2{x-s2,...
(n~/)ä(x_ä2,... ,xai) = J dx_(S2+1)fsl+32+i(x_(S2+1),... ,xSl), {[H,a+ + a-]f)s{x-32,...,xsi) =
= / dvSl+i(vSí+i -vsi)fs+i(x-32,...,xsi)qsi +o,vai+i) + Vri
4 Mmu«.*tqnt)
JK1
Рассмотрим начальные данные F0 из пространства L^0^ двойных последовательностей/ = {fs(x
— S2, • • -»)}s=si+«2 ^о измеримых функции fs (;c_S2,..., xSj), равных нулю на множестве Ws с нормой
11/11 = sup sup |/e(ar_S2,...,xs,)|exp(/3 V Ц- J,
s^O s x_32,...,xSl \ i= Z /
422
г.н. губаль, м. а. сташенко нмнашрчпч а о
где /3 > 0 - числа. +(("■#-- ,» . -г
Запишем формулу (2) покомпонентно. Для этого введем следующие операторы:
т
[Я,а++а"]=Я(0)-Я(0),
я(о) = я+(о) + я-(о), я(о) = я+(о) + я-(о),
......— дш лдапо ■ Н »й
где
(Я+(0)/)а(®—2,-.-,хв1) =
г ОС
= / с1УУ/3+1(х
1; Чз!, (ь31, V); д31 + а, + , V)),
¿о
ГОО г п
' (Я+(0)/)3(х_32,...,х31) = / йУУ}3+ 1(х-32,...,х31;д31+а,ь31 -V), 1 2
J о
» Гоо
(Я-(0)/)в(*-в2,..-,*.!)= / <1УУ/3+1(у-_{з2+1)(у-32,У),д-32- (3)
j о
г ОС
— 32 ¿7, £ — 32 ) • • • ) З'«!
Определим также
а±(т{) = 5(Тг)Я±(0), а±(п) = 5(^)^(0), где Тг = ¿г — ti-1- Таким образом, выражение для ряда итераций (2) примет вид
ОС гЬ п п
Р^,х-32,...,х31) = £ / Л1-" / £ Е
х (Я(71)...Я(гл_1)Я(гл-1)Я(гл-1+1)...Я(гл_1)х
— 52 ' • • • '
)• (4)
Определим эволюционный оператор (2) в Ь^д- Справедлива следующая
Теорема. ЕслиР0 £ то последовательность (2) существует, ряд (4) для функций Х-32,..., х31) сходится равномерно по (х~32, ■ ■ ■, х31) на каждом компакте при £ € (—оо,+оо) и справедлива оценка
»= — 82
где ¿о = (1/3)/3(23\/27г£) 1. Функции являются слабыми решениями уравне-
ний Боголюбова (1). ,
об улучшении оценки глобальной теоремы существования
423
Доказательство. Построим оценку типичного слагаемого п-го члена ряда (4), например
(Я+(п)... 21+(гп)5(-<п)^°)Ла:-а2, • • •, ).
Перейдем к новым переменным интегрирования Уг = у31 +г_1 — +1, где г — 1,..., п.
Подынтегральная функция из выражения (Я+(т1)... Я+(гп)5(—1п)Р°)3(х-32,... ,х31)
примет вид „ .
I ТОВ№ ЯТООвЧ4 ЭЬГНИЭ.» } . ?кшм»знвЕ »8
п
- и-1,...) - у31+^+п(Х-32(-1п,...),.. • ,Х81+„(-*„,...)), (6)
¿=1
где функции V31+i-l(ti — t.i-l,...), Xj(—tn,...) зависят от соответствующих начальных данных согласно формуле (4) и определениям (3).
Для произвольных £ , используя закон сохранения энергии, выражение (6) можно оценить согласно неравенству
51 + п 'Ы
¿= — 52
и следующей лемме.
Лемма. Справедливо неравенство
1=1 з=~з 2 .ш» ст&аь»
Докажем лемму. Используя неравенство Коши и закон сохранения энергии, получаем
п ¿=1
/1 " \п ^ ( п -'«--ь•••)! + К+<1)) ^
^ ¿=1 '
^ ( Т,(У31+г^(и - • • ■ ))2 + ^ Ё < + < ) ^
^ ((1- ^-ь • • • ))2 + ^ Е ) ^
«1+П ч. £
п/2 / «1 + п ч. п/2
«I4
3 = ~Я2
Вычисляя значение
..... ,7,(я) Щ"*) "4"°..? = Е •
3=-82 3=-32
424
ггг"ш?го г.н. губаль, м.а. сташенко
ол^чпч ао
« ' / si+n ч "/2
приходим к неравенству (7). ~
Аналогично оцениваются слагаемые, определяющиеся операторами 21+(г^), 2t+(rj)
и%-(П),Щп)и Щп).
Положим а = /3/6, тогда каждый интеграл по скорости в (4) оценим величиной л/7Га-1. В итоге получаем оценку (5). Теорема доказана. -г.дап т
3. Замечание. Отметим, что полученные в работе [2] оценки имеют вид <Я '
ч * <•
«1+4 \ /0\п/2 £
i=l х j=-s2
4 г= —«2 n=0 v ' 4 Из того, что
/on «/2 , /?\"/2 т"1к *!
(I) eW2<(!)
11^Г«р(-| £ f)e</^><||Forexp(_i £
4 i= — 3 2 i= —s 2 71=0 v ' 4 '
получаем улучшение оценки теоремы существования глобальных решений, которые описывают эволюцию произвольных неравновесных состояний одномерной системы бесконечного числа частиц.
Список литературы
[1] Н. Н. Боголюбов. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.: Гостехиздат, 1946.
[2] В. И. Герасименко. ТМФ. 1992. Т. 91. № 1. С. 120-128.
[3] С. Cercignani, V. I. Gerasimenko, D. Ya. Petrina. Many-Particle Dynamics and Kinetic Equations. Dordrecht: Kluwer, 1997.
Поступила в редакцию 8.II.2005 г., после доработки 23.111.2005 г.
ий
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.