Автоматика и телемеханика, № 1, 2015
© 2015 г. Е.С. ЖУКОВСКИЙ, д-р физ.-мат. наук (zukovskys@mail.ru), Е.А. ПЛУЖНИКОВА (pluznikova_elena@mail.ru) (Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина)
ОБ УПРАВЛЕНИИ ОБЪЕКТАМИ, ДВИЖЕНИЕ КОТОРЫХ ОПИСЫВАЕТСЯ НЕЯВНЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ1
Доказано утверждение о липшицевых возмущениях векторных накрывающих отображений метрических пространств. Методами теории накрывающих отображений проведено исследование управляемых систем, описываемых дифференциальными уравнениями, не разрешенными относительно производной искомой функции.
1. Введение
Выбор математического аппарата для описания явлений, процессов различной природы должен обеспечить изучение основных определяющих свойств объектов. Математическое описание невозможно без идеализации, упрощения, игнорирования менее значимых факторов, чтобы полученные уравнения, неравенства, включения исследовались и решались известными методами. Развитие и создание новых математических методов, совершенствование вычислительной техники сдвигают баланс между полнотой и простотой описания в сторону усложнения моделей, появляется возможность учитывать большее количество факторов, исследовать сложные "нелинейные эффекты".
Законы движения многих управляемых объектов записываются в виде нормальных систем дифференциальных уравнений (т.е. разрешенных относительно производной искомой функции), наиболее часто в виде систем линейных уравнений. Для получения таких линейных моделей приходится пренебрегать тем, что параметры реальных объектов всегда зависят от их состояния и скорости изменения этого состояния. Исследователю, арсенал которого содержит только методы линейного анализа, доступна лишь очень узкая область состояний объекта, в которой процессы могут с удовлетворительной точностью считаться подчиненными линейным законам. Для многих механических, физических, технических систем линеаризация невозможна, так как "теряются" важнейшие характерные свойства объектов. Например, теория простейшего лампового генератора не может быть выведена из линейного дифференциального уравнения; "принципиально нелинейными" являются многие задачи электротехники, акустики (см., например, [1]).
Математический аппарат классической теории нелинейных нормальных дифференциальных уравнений, позволяющий исследовать нелинейные модели, давно создан, широко и эффективно применяется. Существенно большие
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-00877) и Российского научного фонда.
сложности представляет ситуация, когда при описании необходимо учитывать зависимость параметров модели от скорости изменения состояния объектов. В этом случае модель представляет собой нелинейные дифференциальные уравнения неявного вида. Стандартным методом исследования является разрешение уравнений относительно производной. Но это удается не всегда, примерами таких задач являются модели колебательного контура с индуктивностью, снабженной железным сердечником [1, с. 145], или с конденсатором, в котором диэлектрик - сегнетова соль [1, с. 148]. Новые возможности изучения таких систем открывает интенсивно развивающаяся в последнее время теория накрывающих отображений.
Результаты, связанные с липшицевыми возмущениями накрывающих отображений [2-4], позволили получить условия существования, продолжаемости решений, корректности дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной [5, 6], начать изучение задач управления для таких уравнений [7-9]. Задачи управления привели к необходимости исследования векторных накрывающих отображений. В [10] рассмотрены векторные "безусловно" накрывающие отображения, полученные результаты были использованы в [11] при изучении краевых задач для систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. В предлагаемой работе доказывается теорема о возмущениях векторных условно накрывающих отображений и на ее основе исследуется управляемость динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями неявного вида.
Обозначим: М, Ъ, М, М+ - множества соответственно натуральных, целых,
действительных и действительных неотрицательных чисел; М1 - пространство
1-мерных вещественных векторов с нормой | ■ |; dмг(х,Н) = т£ |х — Л,| -
ьеи
расстояние в М1 от точки х € М1 до множества Н С М1.
2. Векторные накрывающие отображения метрических пространств
2.1. Определение накрывающего отображения
Приведем определения понятий, необходимых для формулировки основных результатов.
Для метрического пространства (X, рх) обозначим через Вх(х, г), Ох(х, г) замкнутый и соответственно открытый шар с центром в точке х радиуса г > 0.
Пусть заданы метрические пространства (Х,рх), (У, ру) и число а > 0.
Определение 1 [2, Определение 1]. Отображение Г : X — У называется а-накрывающим, если для любого г > 0 и любого и € X имеет место включение
Г(Вх(и, г)) 5 Ву(Г(и), аг).
Из этого определения прямо следует, что а-накрывающее отображение является сюръективным. Заметим, что отображение Г : X — У будет а-на-крывающим тогда и только тогда, когда для любых и € X, у € У существует х € X, удовлетворяющий уравнению Г(х) = у и оценке
(1) рх (х,и) ^ а-1ру (у, Г (и)).
Определение 2 [5, с. 615]. Отображение ^ : X — У называется условно а-накрывающим, если для любого г > 0 и любого и € X имеет место включение
^(Бх(и, г)) 5 Бу(и), аг) П ^(X).
Очевидно, отображение является а-накрывающим тогда и только тогда, когда оно сюръективно и условно а-накрывающее. Если условно накрывающее отображение ^: X — У рассматривать как отображение ^: X — ^ (X) С У, то оно становится сюръективным и "безусловно" накрывающим. Поэтому, для условного а-накрывания отображения ^: X — У необходимо и достаточно, чтобы для любых и € X, у € ^(X) существовал х € X, удовлетворяющий уравнению ^ (х) = у и оценке (1).
Определение 3. Отображение ^ : X — У будем называть а-накры-вающим в точке ио € X, если для любого г > 0 имеет место включение
^(Вх(ио,г)) 5 Бу(^(ио),аг), и условно а-накрывающим в этой точке, если
^(Вх(ио, г)) 5 Бу(^(ио), аг) П ^(X).
Последнее определение является частым случаем определения накры-вания на заданной системе центров и радиусов шаров, предложенного в [6, с. 1524]. Заметим также, что отображение является (условно) а-накры-вающим тогда и только тогда, когда оно (условно) а-накрывающее в любой точке.
Следующее определение несколько расширяет классическое понятие лип-шицевости. Пусть в ^ 0.
Определение 4. Отображение С : X — У будем называть в-липши-цевым в точке и0 € X, если для любого х € X выполнено неравенство
ру (С(х),С(ио)) ^ врх(х, ио).
В ряде работ, посвященных накрывающим отображениям метрических пространств, исследуются уравнения следующих двух типов:
1) уравнение ^(х) = С(х), где отображение ^ : X — У является накрывающим (в смысле одного из определений этого понятия), а отображение
С : X — У - липшицевым;
2) уравнение Т(х, х) = у, здесь у € У, отображение Т : X2 — У является
накрывающим по первому аргументу и липшицевым по второму,
причем в обоих случаях предполагается, что константа накрывания превышает константу Липшица. В настоящей работе получены условия разрешимости системы уравнений второго вида, что позволяет исследовать задачи управления для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Для линейного метрического пространства У легко проверяется,
2 Автоматика и телемеханика, № 1
33
что уравнение 1) является частным случаем уравнения 2), достаточно записать его в виде Г(х) — С(х) = 0. Если метрическое пространство У нельзя наделить линейными операциями, то уравнение 1) можно записать в виде
ру (Г (х),С(х)) = 0,
но возникает вопрос: будет ли отображение ф : X2 — М,
(2) ф(и,х) = ру (Г(и),С(х)),
липшицевым по второму и накрывающим (в каком-либо определении) по первому аргументу. Для ответа на этот вопрос и установления связи между различными понятиями накрывания приведем
Утверждение 1. Для определенного формулой (2) отображения ф: X 2 - М выполнено следующее.
1. Если отображение С : X — У является в-липшицевым, то при любом и € X отображение ф(и, ■) : X — М также является в-липшицевым.
2. Если отображение Г : X — У является условно а-накрывающим и выполнено С^) С Г(X), то при любом х € X имеет место включение 0 € € ф^, х).
3. Если метрическое пространство У обладает следующим свойством: для любых у € У, г € У, в € С^) существует такой т € У, что выполнены равенства
р(в, т) = р(в, у), р(т, г) = |р(в, т) — р(в, г)|,
то из а-накрывания отображения Г : X — У следует, что при любом х € X отображение ф(-,х) : X — М является условно а-накрывающим в точке х.
2.2. Разрешимость систем операторных уравнений в метрических пространствах
Пусть заданы метрические пространства (X], рх,), (У], ру,), точки у] € Уj, ;) = 1,п, и определены отображения Фi : Хг х П^=1 ^з ~~^ = 1>п- Рассмотрим систему уравнений
(3) Фг(Жг,Ж1, . . . = Уг, 1 = 1,11,
относительно неизвестных х^ € Х^-, j = 1 ,п.
Обозначим X = Пп=1 X]. Для х,и € X, х = (х1,... ,хп), и = (и1,... ,ип) положим
(4) Vх (х, и) = (рхх (х1,и1),...,рх„ (х„,и„)), рх (х, и) = (х,и)|,
причем будем предполагать, что норма | ■ | в Мп является монотонной, т.е. для любых двух векторов й = ..., <1п) € М'\ г = (г\,..., гп) € М'\ если г!г ^ 1'г ^ 0 при всех г = 1,?г, то \с1,\ ^ |г|. При любом выборе монотонной нормы | ■ | в пространстве Мп определенная формулами (4) функция рх : X2 — М+ задает метрику в пространстве X. Аналогично зададим метрику ру =|£У в произведении У = Л™=1 У], где | ■ ^ - монотонная норма в пространстве Мп, возможно отличная от | ■ |.
Теорема 1. Пусть метрические пространства Х^, у = 1 ,п, являются полными. Пусть для некоторых сщ > 0, /3^ ^ О, г,;) = 1 ,п, выполнены условия:
(а) отображения Фг(-,ж) : Х^ —>■ г = 1 ,п, при любом х = (х\,... ,хп) € X являются условно аг-накрывающими в точке жг и справедливо включение
Уг е Фг(Хг,ж);
(b) отображения Фí(uí, Х\,..., Х]-\, ■, ..., хп) : Х^ —> г,;) = 1 ,п, для любых ж = (ж1,..., жп), и = (и1,..., ип) е X являются вг? -липши
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.