Автоматика и телемеханика, № 9, 2010
Дискретные системы
© 2010 г. И. А. БАШКИРЦЕВА, канд. физ.-мат. наук,
Л. Б. РЯШКО, д-р физ.-мат. наук (Уральский государственный университет, Екатеринбург)
ОБ УПРАВЛЕНИИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬЮ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ1
Для дискретной нелинейной управляемой стохастической системы исследуется разброс случайных состояний вокруг положения равновесия. Рассматривается задача построения регулятора, позволяющего сформировать вокруг этого равновесия устойчивое стационарное вероятностное распределение с заданной ковариацией. В случае малых случайных возмущений предлагается аппроксимировать разброс траекторий в окрестности устойчивого равновесия с помощью матрицы стохастической чувствительности. Ставится задача синтеза регулятора, формирующего в управляемой системе желаемую матрицу стохастической чувствительности. Для рассматриваемой задачи синтеза вводится понятие множества достижимости и дается его конструктивное описание. Эффективность предложенного подхода демонстрируется на примере управления стационарным распределением случайных состояний стохастически возмущенных моделей Ферхюльста и Эно.
1. Введение
Исследование задачи стабилизации стохастических систем было начато в [1] и продолжено в большом числе работ (см., например, [2-9] и библиографию в них). Основное внимание уделялось задаче построения регуляторов, обеспечивающих устойчивость равновесия в среднем квадратичном. Решение задачи стабилизации, как правило, неединственно, и однозначный выбор регулятора традиционно связывают с оптимизацией некоторого критерия.
В системе со стабилизирующим регулятором вокруг устойчивого равновесия под действием случайных возмущений формируется некоторое множество состояний с соответствующим вероятностным распределением. Для установившихся режимов функционирования это распределение не зависит от времени. Во многих прикладных задачах возникает необходимость синтеза регулятора, который не только обеспечивает устойчивость равновесия, но и формирует у этого распределения заданные вероятностные характеристики (например, вторые моменты отклонений), гарантирующие надежное функционирование проектируемых систем в условиях неизбежных случайных возмущений.
Вероятностные характеристики соответствующих стохастически возмущенных равновесий исчерпывающим образом описываются стационарной плотностью распределения.
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№09-01-00026, 09-08-00048, 10-01-96022урал), Федерального агентства по образованию (грант 2.1.1/2571) и Федеральной Целевой Программы (грант 02.740.11.0202).
Для функции плотности стационарного распределения динамических систем, задаваемых стохастическими дифференциальными уравнениями, можно записать уравнение Фоккера - Планка - Колмогорова. Однако отыскание точного решения этого уравнения в интересующей авторов задаче управления для систем размерности два и выше вызывает серьезные затруднения.
В случае малых шумов, когда случайные состояния локализуются вблизи равновесия, искомую стационарную плотность можно аппроксимировать подходящим гауссовским распределением, связанным с системой первого приближения. Такой подход использовался в [10,11] для решения задачи синтеза регулятора, формирующего требуемое вероятностное распределение отклика нелинейной динамической системы на случайные возмущения малой интенсивности. При этом в качестве основного инструмента анализа использовалась техника матричных функций стохастической чувствительности. Функции стохастической чувствительности позволяют получать конструктивное описание размеров и вероятностных характеристик особенностей пространственного расположения стохастических аттракторов (равновесий, циклов, торов) многомерных нелинейных динамических систем, находящихся под воздействием случайных возмущений [12,13].
В последнее время в русле исследований, посвященных разработке теории управления нелинейными системами, сформировалось направление, связанное с задачами управления хаосом [9,14,15]. Многие нелинейные системы даже при незначительном изменении параметров могут качественным образом менять режим функционирования, переходя как от порядка к хаосу, так и от хаоса к порядку. Подобные области параметров с отчетливо выраженной структурной неустойчивостью могут оказаться в рабочих зонах управляемых систем. В этих обстоятельствах конструируемые регуляторы должны обеспечивать формируемым динамическим режимам должную структурную устойчивость. Задачи построения регуляторов, гарантирующих для рабочих режимов соответствующую структурную стабилизацию, являются актуальными как для подавления, так и при генерации хаоса. Конструктивные возможности метода функции стохастической чувствительности в решении задачи управления хаосом для модели стохастически и периодически возмущенного брюс-селятора представлены в [16].
Данная работа посвящена задаче управления стохастически возмущенными равновесиями дискретных нелинейных систем.
В разделе 2 исследуется стохастическая чувствительность равновесия нелинейной дискретной системы, находящейся под воздействием случайных возмущений. В качестве основного инструмента анализа здесь вводится матрица стохастической чувствительности и дается необходимое теоретическое обоснование (теорема 1).
В разделе 3 приводится постановка задачи управления стохастической чувствительностью, вводятся понятия достижимого элемента и множества достижимости. Для множества достижимости дается конструктивное описание (теорема 2, леммы 1 и 2).
В разделе 4 на примерах стохастических моделей Ферхюльста и Эно иллюстрируются теоретические результаты и демонстрируется работоспособность предложенного метода управления в решении задачи структурной стабилизации нелинейных динамических систем при подавлении нежелательных как регулярных, так и хаотических колебаний большой амплитуды.
2. Стохастическая чувствительность равновесия
Рассмотрим дискретную динамическую систему (2.1) ж+1 = /(ж), х,/ е м™,
задаваемую достаточно гладкой вектор-функцией /(ж). Будем исходить из того, что система (2.1) имеет равновесие xt = ж. Предполагается, что равновесие ж является экспоненциально устойчивым.
Пусть - решение (2.1) с начальным условием
(2.2) ж0 = ж + ег0,
где е - скаляр, г0 - n-вектор. Произведение z0 = ег0 задает малое начальное отклонение от равновесия ж в направлении го. Рассмотрим отклонения z¿ = — ж состояний системы (2.1) от равновесия ж в последующие моменты времени и отношение
При малых £ чувствительность равновесия х системы (2.1) к возмущению начальных данных (2.2) определяется величиной
Для ví справедлива линейная система (уравнение в вариациях):
Неравенство р(-А) < 1 (р(-А) - спектральный радиус матрицы —) является необходимым и достаточным условием экспоненциальной устойчивости равновесия X. Рассмотрим теперь соответствующую (2.1) стохастически возмущенную систему:
(2.3) хт = /(х4) + £СТ(х4)^(, х,/ е мп, е е ^ е мпхт,
полученную добавлением в (2.1) малых случайных возмущений. Здесь а(х) - достаточно гладкая (п х т)-матричная функция, - некоррелированный дискретный случайный процесс с параметрами
е& = о, е^ = 1, = о (* = л),
где I - единичная (т х т)-матрица, Е - знак математического ожидания, £ - скалярный параметр, характеризующий интенсивность шума.
Под действием случайных возмущений решения системы (2.3) покидают равновесие х, формируя вокруг него множество случайных состояний. Разброс случайных состояний зависит от интенсивности шума. При малых шумах благодаря экспоненциальной устойчивости х случайные состояния локализуются в окрестности х, их вероятностное распределение стабилизируется и в системе формируется стохастический аттрактор - стохастическое 'равновесие. Вероятностное описание стохастического равновесия дается соответствующим стационарным распределением.
Полное описание вероятностных распределений для нелинейных стохастических систем требует решения соответствующих функциональных уравнений, что является весьма сложной задачей даже в одномерном случае. Здесь, наряду с известными проблемами численного решения, возникает необходимость в знании закона распределения действующих случайных возмущений. Такая подробная вероятностная информация, как правило, недоступна. Типичной является ситуация, когда известными являются лишь оценки для первых двух моментов. В этих обстоятельствах представляет интерес задача получения асимптотических характеристик для первых двух моментов стохастических аттракторов. Действительно, при малых шумах,
когда случайные состояния стохастических аттракторов локализуются вблизи соответствующих детерминированных, отклонения случайных состояний от невозмущенных детерминированных решений можно описать линейными приближениями. Для систем с непрерывным временем, задаваемых стохастическими дифференциальными уравнениями, такой подход реализован на основе теории квазипотенциала с последующей аппроксимацией с помощью функции стохастической чувствительности [12,13]. В данной работе метод функции стохастической чувствительности распространяется на дискретные системы.
Пусть xf - решение (2.3) с начальным условием (2.2). Здесь переменная vt характеризует чувствительность равновесия х к возмущению как начальных условий (2.2), так и правых частей системы (2.3). Для vt справедлива система
(2.4) vt+i = Avt + G&, G = а(х).
Динамика первых двух моментов mt = Evt, Vt = EvtvJ решения vt системы (2.4) задается уравнениями:
(2.5) mt+i = Amt,
(2.6) Vt+i = AVtAT + S, S = GGT.
Рассмотрим наряду с (2.4) уравнение
(2.7) W = AWAT + S.
Теорема 1. Пусть p(A) < 1. Тогда
а) уравнение (2.7) имеет единственное 'решение W;
б) при любых m0 и Vo решения mt и Vt систем (2.5), (2.6) стабилизируются:
(2.8) lim mt = 0, lim Vt = W;
t^w t^w
в) система (2.4) имеет стационарно распределенное решение vt:
(2.9) Evt = 0, EvtvT = W;
г) любое решение vt системы (2.4) сходится в среднем квадратичном к vt:
(2.10) lim E||vt - vt||2 =0.
t^w
Доказательство. Для доказательства а) и б) представим уравнения (2.6) и (2.7) в виде
Vt+i =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.