МЕХАНИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2014
УДК 539.3:534.1
© 2014 г. А. И. МОШИНСКИЙ
ОБ УРАВНЕНИИ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ, ПЕРИОДИЧЕСКИ ЗАВИСЯЩИМИ ОТ КООРДИНАТЫ
Рассматривается уравнение малых продольных колебаний стержня, когда периодически меняющиеся коэффициенты имеют "провалы" (резкие уменьшения величины) в некоторой пространственной точке внутри интервала периодичности. В области минимума коэффициентов предлагается локальное описание процесса уравнением приближения пограничного слоя. Основное внимание уделяется анализу этого уравнения. Устанавливается иерархия по времени упрощенных моделей для описания данного процесса.
Ключевые слова: осреднение, асимптотика, иерархия моделей, эффективные коэффициенты.
1. Введение. В широком круге областей науки и техники применяются материалы с переменными по координатам свойствами. Это различные виды природных композиционных материалов, а также искусственно созданные сплошные среды, изменения свойств которых происходит на расстояниях, заметно превышающих размеры молекулярной решетки. Естественно, что подобные (слоистые) среды достаточно интенсивно исследовались при различных предположениях об их структуре [1—3]. Рассматриваемый здесь вариант среды, с одной стороны, может трактоваться как частный случай общей структуры с периодическими по координате параметрами [1], позволяющий упростить результирующие формулы. С другой стороны, при этом возникают новые возможности описания слоистой среды на "промежуточных" уровнях в плане пространственно-временных масштабов.
Когда контактируют две (или более) среды с разными механическими параметрами, то чаще всего на поверхности контакта ставят необходимые граничные условия [1] и фактически рассматривают уравнения процесса в двух (или более) областях. Здесь предполагается, что коэффициенты уравнений в зоне контакта представляют собой функции, дифференцируемые необходимое для анализа число раз.
Основной интерес представляет изучение свойств неоднородных сред и происходящих в них процессов, главным образом построение макроуравнений, определение эффективных характеристик среды [1—3]. При этом от выводимых уравнений требуется более простая структура по сравнению с исходными (фундаментальными) в плане их анализа как аналитическими, так и численными методами. Знание механических свойств сред с неоднородной структурой на макроуровне позволяет конструировать материалы с заданными параметрами и проводить выбор оптимальных характеристик гетерогенной среды.
В данной работе речь пойдет об упрощенных моделях для одномерного по координате уравнения малых продольных колебаний стержня [4]:
дг
(1.1)
К
Фиг. 1
где = x/l. Здесь R — плотность стержня, — коэффициент диссипации, K — модуль Юнга, Дх, t) — заданное распределение внешней силы, направленной вдоль стержня, U(x, t) — смещение точки, имевшей в положении равновесия абсциссу x. Считаем функции R, и K периодическими с пространственным периодом l < 1. Координату x считаем безразмерной, нормированной на характерную длину L области (макропеременная), время t — на характерное значение T1 = (Rm/Km)1/2L, а величину ^ на KmT1/L2, где Rm и ^ — масштабы переменных R и K.
Уравнение (1.1) с учетом соотношений на разрывах (переходе от одной гомогенной среды к другой) анализировалось в работе [1], где показано, что осредненное уравнение в пределе l ^ 0 имеет следующий вид:
д 2и о
дг дг дхг причем эффективные коэффициенты г, s и k определяются по формулам:
г = (к), s = k = (K-1)-1
где средняя величина некоторой функции g введена естественным образом:
дио - к8_и° = г {х,г)
(1.2)
(1.3)
(0 = | с (¡5,...)^ 5
(1.4)
а точками обозначены возможно присутствующие кроме переменные. Новая независимая переменная и0 является главным асимптотическим приближением величины смещения U.
В данной работе анализируются следствия из уравнения (1.1), когда функция K(^) имеет резкое отличие своего минимального значения ^ от среднего (K) или максимального Ш* в некоторой (для конкретности единственной) точке внутри интервала периодичности. Более точно ситуацию поясняет фиг. 1, где схематично (с некоторым искажением масштаба по абсциссе) представлен характер изменения коэффициента K(^). При малом значении величины а (области резкого изменения коэффициента K(^)) по сравнению с периодом, который принят равным единице, ясно, что среднее по периоду значение коэффициента (K) будет мало отличаться от "амплитудного" значения K. Рассматриваемый здесь случай предполагает, что имеют место два предельных неравенства а < 1 и K* ^ ^ = 0(1), причем порядок малости величин а и K^/K* разный:
а ^ K^/K*. В таком случае при вычислении осредненного коэффициента Юнга (K-1)-1 основной вклад в интеграл будет вносить точка минимума коэффициента K. В такой
а
С
о
(данной) трактовке (разбитие на зоны периодичности зависимости К(^)) таких точек будет две в каждой зоне, например, x = 0 и x = 1 для первой зоны (ячейки). Для простоты полагаем, что функция К(^) симметрична относительно "провалов", поэтому вклад от обеих точек в интеграл (К-1)-1 будет одинаков. Для конкретности возьмем точку x = 0.
Поскольку наименее изученным является локальное уравнение в окрестности "провалов" параметров среды, основное внимание здесь уделено исследованию уравнения приближения пограничного слоя.
Дальнейшие выкладки зависят от поведения коэффициента К(^) в окрестности точки x = 0. При аналитическом поведении модуля Юнга в упомянутой окрестности наиболее простой (типичной) будет квадратичная зависимость: К(^) = К* + т£,2, ^ 0;
т = К"(0)/2 = const = 0(1). Упрощая примем, что функция К(^) симметрична относительно точки 1/2, т.е. К(^) = К(1 — £,). При этом можно рассматривать только одну точку минимума этой функции при расчете параметра (К-1)-1 по (1.3) и удвоить результат. В таком варианте имеем равенство:
12 ^ 12 ^ 12tr , е2 ivtM
(K-1> = 2 Г^ = 2 Г^^ + 2 f * + " - d
0 K (i) 0 K* + Ч2 0 K (i) (K* + mi2)
При К* ^ 0 второй интеграл менее сингулярен, чем первый, в типичной ситуации (в частности, он может сходиться). Значение первого вычисляется аналитически. Он имеет следующую асимптотику при К* ^ 0 : n(K*m)-1/2 - 2/m + 0(К*). Таким образом, имеем асимптотическое выражение для осредненного, согласно (1.4), модуля Юнга: k-1 = (К-1) = тс(Кт)-1/2, К* ^ 0 (1.5)
которое сохранится и в более общем случае К(^) ф К(1 - £,).
В рассматриваемых предположениях интерес представляют только эффекты, связанные с модулем Юнга К, поскольку аналогичные "провалы" (фиг. 1) для параметров
R и S мало влияют на соответствующие средние значения1. Большое, согласно (1.5), значение величины k приводит к определенным трудностям при интегрировании осредненного уравнения типа (1.2), связанным с пограничными слоями, эффектами жесткости [1, 5] и так далее. Отметим, однако, что данное обстоятельство связано также с адекватным выбором временного масштаба, который при больших значениях k должен быть соответствующим образом растянут, чтобы по крайней мере одно слагаемое левой части (1.2) сравнялось по порядку величины с kd2U0/dx2.
Основное внимание, в связи со сказанным, в данной работе уделим локальному описанию деформации стержня в окрестности "провалов" функции К(^) и построению системы уравнений дискретной (ячеечной)2 модели как своеобразного дополнения к уравнению (1.2) в определенном временном интервале. Периодичность функций R, S и К носит в данной работе вспомогательный характер. Без этого предположения (точнее, при неодинаковых расстояниях между "провалами" графиков отмеченных функций) также выводятся уравнения ячеечной модели, но с неодинаковыми ячейками. Дальнейшее асимптотическое преобразование системы уравнений для перемещения ячеек, в общем случае, не приводит к уравнению (1.2) с постоянными коэффициентами.
1 Конечно, можно исследовать среды с резкими всплесками величин R и S в некоторой точке внутри интервала периодичности и анализировать различные (возможные) варианты описания подобных сред. Здесь этих вопросов касаться не будем.
2 Термин "ячейка" имеет неоднозначную трактовку в литературе. Здесь под ячеечным описанием понимаем разбиение всей области деформируемого тела на конечные части, характеризуемые средними значениями основных параметров в них.
Далее, во избежание непринципиальных осложнений будем считать функции R и S постоянными. В частности, при выборе Rm масштабом плотности можно считать R = 1.
Методы асимптотического анализа применительно к проблеме распространения вещества в неодномерных потоках описаны в работах [6, 7], поэтому в силу аналогичности рассуждений описание некоторых предельных ситуаций здесь проведем фрагментарно.
2. Задача приближения пограничного слоя для уравнения (1.1). В данном параграфе рассмотрим локальное уравнение колебаний стержня, когда коэффициент K может быть аппроксимирован зависимостью: K(^) = ^ + т^2. Соответственно, временной
масштаб выберем таким образом, чтобы получить наиболее содержательные результаты. Безразмерная форма основного уравнения приближения пограничного слоя будет иметь вид:
а щ + в = а
дт2 дт ее,
12) еи
12
+ -/ (2.1)
т
С = х/1, I = (^/т)1/2, т = t(m/R)1/2/l, В = 1Ъ X = S/(mR)1/2 (2.2)
В соотношениях (2.1), (2.2) обезразмеривание произведено таким образом, что А = 1. Подобная запись уравнения приведена для того, чтобы иметь возможность простого перехода к уравнению теплопроводности, что реализуется при А = 0. Здесь и далее параметр I (2.2) выполняет роль безразмерного пространственного масштаба для уравнения (2.1). Формулы (2.2) показывают, что пространственная координата при m > ^
растянута относительно микропеременной £,, а временная — относительно t. Областью изменения £ как переменной пограничного слоя будет £ е (—да, +да).
Далее при всех деформациях координат будем рассматривать только основные приближения, поэтому асимптотические ряды, соответствующие им, выписывать не будем. При этом можно опустить и нулевые индексы в формулах, аналогичных (1.2).
Уравнение (2.1) в выписанном виде при I ^ 0 допускает очевидные упрощения. Для задач упругих колебаний типичным вариантом будет ма
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.