МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2015
УДК 533.95
ОБ УСКОРЕНИИ СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН
© 2015 г. А. Н. ГОЛУБЯТНИКОВ, С. Д. КОВАЛЕВСКАЯ
МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, Москва
e-mail: golubiat@mail.ru
Поступила в редакцию 05.02.2015 г.
Точные решения показывают, как могут вести себя решения уравнений газовой динамики при падении плотности среды, первоначально находящейся в равновесии. В данной работе в рамках акустического приближения развивается метод решения волнового уравнения с переменной скоростью звука путем разложения в ряд по характеристической переменной. Показано, что на каждом шаге существует интеграл уравнений движения, позволяющий выразить решение в конечном виде. Движение вызывается воздействием поршня, создающего слабую ускоряющуюся ударную волну. Учитывается наличие однородного гравитационного поля.
Ключевые слова: ударная волна, ускорение, гравитационное поле, асимптотическое поведение.
Процессы ускорения ударных волн за счет падения начальной плотности могут иметь место в атмосферах как звезд, так и планет, подвергающихся локальному нагреву или ионизации. Этот эффект в рамках газовой динамики был обнаружен еще Л.И. Седовым [1] при решении задачи о сильном взрыве в среде с переменной плотностью в отсутствие противодавления. С другой стороны, с учетом начального постоянного давления падение плотности автоматически приводит к повышению скорости звука и, следовательно, скорости ударной волны, т.е. создаются условия к потере инерционности среды, неустойчивости и развитию различных динамических процессов.
Можно привести простейший пример точного решения задачи о поршне, начинающем двигаться с постоянной скоростью в газе без противодавления, который создает ускоряющуюся ударную волну при определенном законе падения равновесной начальной плотности [2, задача 25.37]. В более реальной ситуации необходимо учитывать эффекты влияния противодавления, электромагнитного и гравитационного полей, а также теорию относительности. Точные решения такой задачи в рамках специальной и общей теории относительности, но без противодавления даны в [3]; с противодавлением в специальной теории, но без гравитации — анонсированы в [4]; с учетом вмороженного поперечного магнитного поля и противодавления в ньютоновской механике, но без гравитации — в [5, 6], а в гравитационном поле — в [7]. Полное исследование класса автомодельных задач с однородным гравитационным полем при степенном падении начальной плотности дано в [8]. Общий обзор более ранних работ можно найти в [9].
1. Уравнения и условия на разрыве. Рассматривается класс решений уравнений одномерного адиабатического движения совершенного газа с плоскими волнами в однородном гравитационном поле g в рамках ньютоновской механики. Используется массовая лагранжева координата т.
Пусть x(m, t) — закон движения среды, и = xt — скорость, р = 1/xm — плотность,
p = f (m)pY — давление, y — постоянный показатель адиабаты. Нижние индексы t, m означают частные производные.
Полное уравнение движения в этих переменных имеет вид
U + Pm + g = 0 (1.1) Здесь ось x направлена против действия силы тяжести. Условия на разрыве m = ms(t) дают
[x]0 = 0, [ums - p]0 = 0 (1.2) = 0
J"+(PS1 m
0
где нулем отмечено начальное равновесное состояние, единицеи — состояние за разрывом.
В силу уравнения равновесия р0 = g(m0 - т), где т0 — полная масса слоя газа (в расчете на единицу площади поперечного сечения). Функция х0(т) произвольна.
Линеаризация уравнения движения (1.1) относительно равновесного состояния по переменной и(т, г) = х - х0 с предположением непрерывности энтропийной функции
/(т), что выполняется с точностью до (р1 - р0) включительно [10], дает уравнение и« - (ъ1(т)ит)т = 0 (1.3)
г.2
где Ъ0 = ур0р0 — квадрат невозмущеннои скорости звука по массе, который непрерывен. Начальная плотность р0 = 1/хт. Обычная скорость звука а0 = Ъ0/р0. На разрыве
и = 0, и,тí - Ъ02ит = 0 (1.4)
Здесь рассматривается волна, идущая вправо, величина т положительна. Второе условие с учетом и = 0 показывает, что скорость слабой ударной волны по массе равна
т = ъ0.
Кроме того, надо задать закон движения поршня при т = 0, а именно и(0, г) = ир(г). Последнюю функцию будем предполагать аналитической. Таким образом, имеется типичная характеристически краевая задача для уравнения (1.3), которую можно было бы решить для ряда специальных функций Ъ0(т) построением функции Римана, но ниже будет применен метод разложения в ряд Тейлора по характеристической переменной, который позволяет явно решить обыкновенные дифференциальные уравнения для коэффициентов и исследовать сходимость при больших значениях х. 2. Метод решения. Удобно перейти к переменным
т
т = г - ц, ц = г(т) = 14-
ъ0
0 0
Функция г5(т) обратна функции т5(г). Пусть т = 0 — характеристика, вдоль которой движется ударная волна. Тогда на этой характеристике
и = 0, иц = 0, ... (2.1)
Ясно, что иц = 0 приближенно есть закон сохранения потока импульса (1.4). Аналогично выполняется и закон сохранения энергии (последнее из условий (1.2)). Условие на поршне при ц = 0 есть и = ир(т). В этих переменных
Ф0и%)^ = (Ь0иц V (2.2)
При т = 0 с учетом (2.1) из уравнения (2.2) следует интеграл на характеристике
С
щ = и(0,м) т = -ск (2.3)
#0
что определяет величину скачка скорости на ударной волне при любом Ь0(т). При Ь0 ^ 0 скорость ц ^ ад.
С использованием (2.3) решение ищется в виде ряда
Ю п , ч и = X ^иТп)(0,ц) п=1 П!
Дифференцируя (2.2) п - 1 раз по т, получим
(л/Ьй^ ^г^(Ь0иТПц1))м У Ь0
В частности, скачок ускорения
( ц Л
«1 = и„ = С2 + [—^(Ьм)' ^ц
у1ь0 [ 0 2У1 ь0 у
Для степенных функций р0 ~ х 1 . Сз
-Ш
« IС2+Тх.
и т.д.
При больших
и ' и^
>/Ь0 (М-)
Таким образом, краевые условия на поршне восстанавливаются при х ^ да с умножением на известную функцию ^.
Следует отметить, что здесь не рассматривается следующее приближение, в котором учитывается малая поправка к скорости ударной волны Б = а0 + и1(у + 1)/4, приводящая к затуханию скачка скорости ц ~ 1/л/? [1, 10].
Данная поправка фактически основана на приближении к точному решению уравнений газовой динамики со слабым разрывом: и = 2(х/г - а0)/(у + 1) при постоянном а0 без гравитации. На переменном фоне вопрос резко усложняется и, по-видимому, пока не изучен.
Применимость линейного приближения определяется неравенством а0 > и или, с учетом уравнения равновесия,
Ро ^ constp0
В этом случае для р0 ~ x № при x ^ да должны выполняться неравенства 1 < ю < 3/2. При больших ю надо применять нелинейную теорию. Тем более, при экспоненциальных распределениях типа р0 ~ exp(-kx), что обычно принимается в литературе по акустике атмосферы в силу b'0/b0 = const.
Однако имеются точные нелинейные решения (см., например, [5, 6]), в которых выполняется асимптотика (2.3). В частности, при g = 0, постоянном p0 и решении с разделением переменных x = v(Qt, где ^ = x0, имеет место при £ ^ ж
•с-4 -с2 -с
Р0 ~ a0 ~ и ~ £ при конечном времени ухода ударной волны на бесконечность.
Следует также отметить, что уравнение (2.2) при всяком произвольном Ь0(ц) имеет решение в виде полиномов по т заданной степени.
3. Одна нелинейная задача. Можно привести еще один простой пример решения нелинейных уравнений (1.1) с той же асимптотикой на бесконечности. Пусть поршень движется с постоянным ускорением A, создавая твердотельное движение газа
x = At- + w(m), p = = (A + g)(m - m)
2 wm
Условия сохранения импульса и энергии (1.2) дают ts = C/(m0 -m), где C = const, и скорость ударной волны
D = (A + yg
Следует отметить, что при A ^ 0 скорость D ^ ygt.
Из непрерывности закона движения следует
/у + \ C2
= A + Yg)-2
\ 2 / 2(m0 - m)
При этом начальная плотность р0 = \/х°т ~ х 3/2. Таким образом, на ударной волне
выполняется тот же асимптотический закон (2.3) и2а0р0 ~ 1.
4. Пространственные задачи. Приведенный выше метод обобщается и на пространственные задачи.
Векторные уравнения адиабатического движения совершенного газа, записанные в лагранжевой форме, в однородном поле тяжести g = (0,0, -g) имеют вид
Р0©Х;;« +|хг.|^Ра -P0(^)g/ = 0 (4.1)
= №, (Х^^Г)а ^ 0
где х' = х'(Е,а, {) — закон движения в декартовой системе координат, х'(£,, 0) = Е,' —
лагранжевы координаты, \х^\ — детерминант матрицы (дх'/3Е,а), (^(а) — обратная ей матрица,', а = 1,2,3. Равновесный фон дает
р0(^3) = -Р0^3к
Линеаризация (4.1)
X = 5 + u'fe t), p = Po + q(5, t), f© = fo приводит к уравнениям
q = -ypoV'U , al = ypo/po
uutt - a2Vkv/ + g(53(y - 1)Vkuk + V;u3) = 0 (4.2)
Характеристики т = t - ф© = const определяются общим решением гамильтоновой системы (семейством бихарактеристик) с гамильтонианом H = 0
2H = |p|2 --^, pt = V'-ф ao (£> )
которая имеет вид
di = p', ^ = o, a = 1,2 ds ds
dpj = - ap(^3)
ds a3 а также соотношением
dm d E' — = pi —
ds ds
после исключения параметра s и двух произвольных постоянных. В результате получается
53
<Р = 1-2^2-П/2 + Co(Cc) + °
o ao(1 - ao2(Ci2 + C22))1/2
5ф / dCa = o
Кроме того, определяются лагранжевы координаты семейства бихарактеристик V a = £ a - C as
aod Z
л 2 ^ (1 — a„
= i;
s
'(1 - ao2( Ci2 + C22))1/2
Для степенных функций р0 ~ (^3) ш, когда скорость звука пропорциональна а0 ~ , интегралы берутся. При этом можно даже считать, что выполняется закон теплопроводности для начальной температуры Т0, пропорциональной а0 = уЛТ0.
Далее используются координаты т, Еа, нормаль к характеристике п = а0Уф и касательная скорость Vгап. Точка означает производную по т. Тогда уравнения (4.2) приобретают вид
о'шп + кфик) + У'фУкик - VtVкиК) + (4 3)
+ gi(Y - 1))Vкфик + gk^mк - g¡(у - 1)Укик - gkviuk = 0 .
На характеристике т = 0 вектор перемещений и = 0, а также, в силу V (ап = 0, полный вектор скорости и = п 'ип.
Уравнение (4.3), спроектированное на нормаль, с использованием производной
й/йъ = У'фУ, дает линейное уравнение
+ 1(Аф-уgV зф|Уф|2)и п = 0 аъ 2
Его интеграл имеет вид
( ъ \
ип = а)ехР
-11 (Аф-уgVзф|V^2)ds
0
(4.4)
Это соотношение служит обобщением интеграла (2.3).
Проекция уравнения (4.3) на касательное направление к разрыву приводит к уравнению для кас
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.