ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 4, с. 555-557
УДК 519.61
ОБ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ
X DX + AX + X B + C = 0
© 2015 г. Ю. О. Воронцов
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, ВМК) e-mail: vv@cs.msu.su Поступила в редакцию 17.04.2014 г. Переработанный вариант 11.11.2014 г.
Найдены условия разрешимости квадратичного матричного уравнения XIDX + AX + XIB + C = 0 при некоторых ограничениях, наложенных на его матричные коэффициенты. Установлена связь этого уравнения с матричным уравнением XAX = B. Указаны некоторые конкретные типы матричных коэффициентов, для которых применимы найденные условия разрешимости. Библ. 2.
Ключевые слова: квадратичное матричное уравнение, симметричная матрица, квадратный корень из матрицы, разрешимость матричного уравнения.
DOI: 10.7868/S0044466915040183
1. Рассмотрим квадратичное матричное уравнение
XTDX + AX + ХтВ + C = 0, (1)
где коэффициенты A, B, C, D и искомое решение Xявляются комплексными (n х п)-матрицами. Нас будут интересовать условия разрешимости уравнения (1). В разд. 2 устанавливаются необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (1) при некоторых ограничениях, наложенных на его коэффициенты. В разд. 3 указаны конкретные типы матричных коэффициентов, для которых применимы найденные условия разрешимости.
2. Отметим вначале частный тривиальный случай разрешимости уравнения (1):
Утверждение 1. Если в уравнении (1) сумма всех матричных коэффициентов равна нулю, то оно разрешимо, и единичная матрица является его решением.
В дальнейшем будем предполагать, что матрица D невырожденна.
Утверждение 2. Если матрица D невырожденна, то (1) эквивалентно уравнению
X + AD-1)D(X + D-1B) = AD-1B - C. (2)
Утверждение 3. Если матрица D невырожденна и симметрична, то (1) эквивалентно уравнению
Y1 DY + (A - Bт)7 = AD-1B - C, (3)
где
Y = X + D-1B. (4)
Рассмотрим случай, когда правые части уравнений (2) и (3) являются симметричными матрицами. Симметричность правых частей этих уравнений при заданных матрицах A, B и D эквивалентна принадлежности матрицы C множеству C = AD lB — S, где S — произвольная симметричная матрица. Пользуясь представлением (2), отметим еще один частный случай разрешимости уравнения (1).
Утверждение 4. Если в уравнении (1) матрица D невырожденна и C = AD-1В, то это уравнение разрешимо. В частности, решениями являются матрицы X = —DlB и X = — D-TAT.
556
ВОРОНЦОВ
В свою очередь, представление (3) позволяет установить связь между уравнением (1) и уравнением
WMW = N (5)
в котором матричные коэффициенты M, N и неизвестная матрица W симметричны, а матрица М невырожденна.
Теорема 1. Пусть в уравнении (1) матрицы D и A - Bт невырожденны, матрицы D и AD-1B — C симметричны. Тогда разрешимость уравнения (1) эквивалентна наличию симметричных решений W уравнения
W(A - Bт)-тD(A - Bт)-1 W = AD-1B - C + - (A - Bт)D-1(A - Bт)т. (6)
Если решение W существует, то матрица X = ^ - Bт)-1 W- - D-1(Aт + B) является решением урав-
4
~ 2
нения (1).
Доказательство. Рассмотрим представление (3) уравнения (1). Учитывая симметричность правой части, приравняем левую часть представления (3) к транспонированной левой части и получаем уравнение
(Л - BT)Y = (^ - Bт)7)т,
которое эквивалентно уравнению
(Л - Bт)Y = P, (7)
где P - произвольная симметричная матрица. Выражая из (7) матрицу Y
Y = (A - B т)-1P (8)
и подставляя (8) в (3), получаем следующее уравнение, в котором нас будут интересовать симметричные решения P:
P(A - B- Bт)-1P + P = AD-1B - C. (9)
Введем матрицу Z = (A - B т)-тD(A - Bт)-1 (очевидно, она симметрична) и выполним замену
Ж = Р + 1 . (10)
Тогда уравнению (9) можно придать вид уравнения (5):
Ж - 1 ^ ^ Ж - 1 + Ж - 1 Г1 = ЛБ- В - С,
ЖГЖ = ЛБ1 В - С + -Г1, (11)
4
Ж(Л - Вт)"Б(Л - ВтЖ = ЛБ-В - С + -(Л - Вт)Б'1 (Л - Вт)т.
Таким образом, разрешимость уравнения (1) при выполнении условий теоремы эквивалентна существованию симметричного решения уравнения (11). Если уравнение (11) имеет симметричное решение Ж, то уравнение (1) имеет решение, однозначно вычисляемое по формулам (4), (8), (10). Теорема доказана.
Любому уравнению вида (1), для которого выполнены условия теоремы 1, ставится в соответствие уравнение вида (5). С другой стороны, очевидно, что для любых двух симметричных матриц M и N (где матрица M невырожденна) составленное из этих матриц уравнение (5) отвечает некоторому уравнению вида (1) (для поиска такого уравнения можно, например, в формуле (11) положить матрицу A - Bт, равной единичной матрице). Следующая теорема описывает необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (5).
Теорема 2. Уравнение (5), в котором матрицы M и N симметричны, а M невырожденна, имеет симметричное решение тогда и только тогда, когда из матрицы MN можно извлечь квадратный корень.
Доказательство. Из любой невырожденной матрицы можно извлечь квадратный корень. Возможность извлечь квадратный корень из вырожденной матрицы зависит от согласованности
ОБ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ
557
размеров жордановых клеток /(0), входящих в жорданову форму этой матрицы (подробнее об этом см. [1, разд. 6.4]). Поскольку жордановы формы матриц ММи Т = ЛМи^М совпадают (действительно, / = О'ТО = О1 О = (О-1 1 ) „/Мл/М-^/М О = (4ш ОУ'МЩ^М О)), то существование квадратного корня из матрицы ММ равносильно существованию квадратного корня из Т. Матрица Мсимметрична, поэтому будем в дальнейшем считать квадратный корень 4М симметричным (см. [1, разд. 6.4, задача 23]). В этом случае симметричной будет и матрица Т. Перепишем уравнение (5) в виде
л/М^М/М^М =
из которого при ж = М 4т 4М , где квадратный корень из матрицы Т также выбран симметричным, очевидным образом следует утверждение теоремы.
3. Как предложено в [2], уравнению (1) сопоставим (2n х 2п)-матрицу
M =
( \ C A
В Б У
Предположим, что уравнение (1) разрешимо, и пусть Х0 — некоторое его решение:
Х0тDX0 + AX0 + Х0тВ + C = 0.
(12)
Положим
Л =
X J
Тогда (12) можно переписать в виде
z0Mz0 = 0.
(13)
Уравнение (13) изучалось в [2] в предположении о симметрии матрицы М. Матричные коэффициенты уравнения (1) в этом случае подчинены соотношениям
В = Лт, С = Ст, Б = Бт.
Изменив первое из этих соотношений на В = —Лт и добавив требование невырожденности матриц Л и Б, мы приходим к классу матриц, для которых применимы необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (1), указанные в теоремах 1 и 2.
Автор выражает благодарность Х.Д. Икрамову за постановку задачи и консультации при ее решении.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Horn R.A., Johnson C.R. Topics in matrix analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
2. Икрамов X..Д. О разрешимости одного класса квадратичных матричных уравнений // Докл. АН. 2014. Т. 455. № 2. С. 135-137.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.