МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2013
УДК 539
© 2013 г. А. Д. ЧЕРНЫШОВ ОБ УСЛОВИЯХ СХОДА СНЕЖНЫХ ЛАВИН И ГРУНТОВЫХ ОПОЛЗНЕЙ
В трехмерной постановке рассмотрена задача об упругом равновесии грунтового или снежного массива клиновидной формы, находящегося на жесткой наклонной плоскости под действием силы тяжести и постоянной силы на его внешней поверхности. Получено точное решение в конечном виде, которое позволяет определить перемещения, деформации и напряжения в каждой точке массива. Анализ показывает, что существуют некоторые критические соотношения между входными параметрами задачи, при достижении которых равновесие массива на наклонной плоскости невозможно. В этом случае грунт или снег срываются со склона и превращаются в опасную лавину. Данный результат в частности может быть использован для прогноза образования грунтовых оползней и схода снежных лавин в горных условиях.
Ключевые слова: угловая форма, снежная лавина, грунтовые оползни, упругое равновесие, критерии схождения.
1. Введение. Математическая модель схода снежных лавин и грунтовых оползней до сих пор остается неразработанной. Ниже предлагается простейшая подобная модель. До образования лавины будем считать, что массив угловой формы находится в статическом упругом состоянии на плоском склоне горы. В этой связи можно обратиться к работам с исследованиями различных нагружений упругого тела угловой формы. В данном направлении известно достаточно большое количество работ. Так, в [1] рассмотрены задачи для клина с жестко защемленной гранью, в [2] клин погружается в пластическое полупространство, в [3] изучается деформирование клина с гладкими гранями, в [4] на гранях клина задаются граничные условия смешанного типа, в [5] исследуется упругий клин в трехмерной постановке. Исследования с сосредоточенными силами или моментами не отмечаем, так как подобное распределение внешних сил в случае лавины невозможно. В перечисленных научных трудах и многих других вопрос об условиях схода лавин не обсуждался.
2. Постановка задачи. Полагаем, что до момента схода грунтового оползня или снежной лавины (в дальнейшем массива) массив находится в равновесном упругом состоянии. Условие его схода будем трактовать как невозможность упругого равновесия. В связи с изменением погодных условий входные параметры могут измениться так, что равновесие станет невозможным и начнется сход грунтового оползня или снежной лавины.
До тех пор, пока массив находится в статическом состоянии, он подчиняется законам теории упругости. Если нарушаются условия упругого равновесия массива только в одной точке, то весь массив не будет вовлечен в движение, так как вся остальная его часть будет сдерживать небольшую часть, где нарушены условия упругого равновесия, и потому сход лавины будет невозможным. Если же условия упругого равновесия нарушены на достаточно протяженном участке длиною АХ, то часть массива на этом участке придет в движение и увлечет за собою всю остальную его часть, т.е. начнется
сход лавины. Эти соображения приводят к выводу, что в случае плоского склона горы условием схода лавины является нарушение условий упругого равновесия на участке протяженностью не меньше некоторого критического значения АХ, определяемого экспериментально.
Данная простейшая модель может быть применена к горной местности, когда угловые массы находятся в статическом положении, их свойства можно считать упругими, однородными и изотермическими, участки склона горы в первом приближении плоскими, нагрузку на внешнюю границу массива равномерно распределенной.
Обозначим через х = Ь* координату точки, где впервые нарушаются условия упругого равновесия, и через Х0 — длину склона горы. Из точного решения, которое будет получено ниже, видно, что все компоненты тензора напряжений по линейному закону возрастают при удалении от передней кромки массива. Поэтому во всех точках склона горы при х > Ь* условия упругого равновесия будут также нарушены. Тогда условие схода лавины можно представить неравенством
Ь0 - Ь* > А Ь
(2.1)
В простейшей постановке задачи будем считать, что ребро плоского склона горы расположено горизонтально, сама же опорная наклонная плоскость горы Г1, на которой находится массив грунта или снега, составляет с горизонталью угол 91 (фигура), массив имеет клиновидную форму с углом раствора 92, наружная поверхность массива Г2 плоская.
Для решения задачи ось х совместим с опорной плоскостью Г1 горного склона перпендикулярно к его ребру, ось у — вверх перпендикулярно к опорной плоскости, ось % вдоль ребра перпендикулярно к плоскости фигуры, начало координат расположим в вершине упругого клина, т.е. на ребре. На угловой массив действуют массовые силы тяжести С, направленные вертикально вниз, и заданная постоянная поверхностная нагрузка Q, действующая на внешнюю плоскость Г2 массива. Нагрузка Q на наружную плоскость Г2 может быть обусловлена воздействием атмосферного давления, ветра, внезапно выпавшей большой массой снега или другими причинами. Для данного расположения осей координат силы С и Q будут иметь проекции
с = (-Р£ sin 9ь -Р£ 008 91,0), о = (дх, Чу, )
(2.2)
Уравнения внешней наклонной плоскости углового массива Г2 и опорной наклонной плоскости Г1 можно представить равенствами
Г1: у = 0, Г2: х 8Ш 92 - у 008 92 = 0
(2.3)
У
Дифференциальные уравнения равновесия упругого массива с учетом силы тяжести запишем в виде
да УХ даУУ даУ7
_ а ух , уу , У£ „„„.-.„п _ п
д°хх + д°ху + хг
дх ду дг
дОгх + д®гу + д°гг
дх ду дг
дх ду & (24)
= 0
На границе опорной наклонной плоскости Г: с упругим массивом вследствие жесткого сцепления перемещения (U, V, W) равны нулю
U (X, у, г )| Г = 0, V (X, у, г )| Г = 0, W (X, у, г )| Г = 0 (2.5)
На внешнюю плоскую поверхность массива Г2 действует постоянная нагрузка Q, поэтому
(ü xxnx + ü хуПу + ü хгпг )| г = qx, ухпх + ü ууПу +о угпг )| г = qy
Í М (2.6)
(ü гхпх + ü гупу + ü ггпг ) = qг
где <5¡j - тензор напряжений, пх, пу, nz - проекции единичной нормали к Г2, направленной внутрь области массива Q. Из (2.3) для компонент (пх, пу, ) вектора единичной нормали к Г2 найдем значения
пх = sin 92, пу = - cos 92, пг = 0 (2.7)
Внутренние напряжения a¡j выражаются через перемещения материальных частиц массива по линейному закону Гука.
Задача (2.2)—(2.7) относительно перемещений U,V,W ставится так: для области упругого массива Q найти решение системы дифференциальных уравнений в частных производных (2.3), удовлетворяющее граничным условиям (2.5), (2.6) из класса непрерывных функций C(2)(Q) до вторых производных от U, V, W включительно.
Для решения поставленной задачи воспользуемся методом угловых суперпозиций [6], согласно которому следует ввести две новые геометрические переменные по формулам
£1 = У, £2 = х sin 82 - у cos 92 (2.8)
Зависимости для переменных подобраны так, что внутри Q выполняются следующие неравенства, а на границах области массива Г: и Г2 соответственные равенства
%1 > 0, %2 > 0, если (х,у) ей
%1 = 0, если (х, у) е Г1; % 2 = 0, если (х, у )еГ 2
В задаче (2.2)—(2.7) от переменных (х,у,г) перейдем к новым переменным г),
т.е. от декартовой прямоугольной системы координат (х, у, г) перейдем к косоугольной системе (^1, г) по формулам
d = sine2-^, JL = JL-cose^-^, -
dx d't,2 dy d^2 dx dy
c\2 ^¡2
— = sine,--sine,cose, —-
2 5^2 2 5^2
52 -v2 -v2 -v2 -v2
• 2 n d d d т n d
—T = sin e2 2 , —7 =-2 - 2cose2
dx
■5^2' 3y2
+ cos2 e2 -^-t ^ 3^2 2 5^2
(2.10)
Частные производные по переменной г в старой и новой системах координат совпадают. Тензор напряжений с учетом (2.10) выражается через частные производные от перемещений в косоугольной системе по формулам
стxx = XI sin е2 ^ + ^ - cosе2 ^ + ^ 1 + 2цsin е2
1 2 3^2 2 5^2 dz) к 2 5^2
X i • е dU ,3V е dV , DW) , 0 fdV е dV ayy = XI sinе2--+--cosе2--+-I + 2 цI--cosе2-
yy 1 2 3^2 ^ 2 5^2 dz) Ls^i 2 5^2
■ n dU , dV a dV , dW ] , 0 dW sin 9т--1---cos 9т--1--I + 2ц-
. 2 5^2 a^i 2 5^2 dz J * dz
(2.11)
d U
dU
d V
a xy = ц I--cos 9 2--+ sin 92-
d^i
d^2
i dU • Q dW1 fdV , dW a dW
axz = +sln02dbJ' ayz = 4&-cos92зь
Хотя в условиях (2.6) и присутствует составляющая по координате г, тем не менее будем считать: перемещения и, V, Ш независимыми от г, а компоненты напряжений о, оУг постоянными, т.е.
(U, V, W, су) - £2), ^xz = const, сyz = const
(2.12)
Сделанное в (2.12) предположение существенно упрощает получение решения задачи (2.2)—(2.7). Так, граничные условия (2.5), (2.6) в координатах г) для данной задачи с учетом (2.7), (2.8) и (2.11) преобразуются к более удобной форме
U (5i, 52)|. =о = 0, V (5i, 52)|. =о = 0, W (5i, 52)< =о = 0
(2.13)
X [ sin 92 ^ + ^ - cos 92 ^ I + 2ц sin 92
. I 2 5^2 ^ 2 5^2J 5^2 J
sin 92 -
[dU ^ d U • dV I fl - ц|--cos 92--+ sin 92-| cos 92
l^i 2 5^2 2 5^2 1 2
= qx
Ь=0
dU - cos92 dU + sin 92 dV ]sin 92 -
.^i 2 5^2 2 5^2 J 2
sin 92 ^ + ^ - cos 92-
'dU_
кдг '
dW
Ч2
dV - cos 92 Is^i 2 5V Y
5^2 J.
'dV + dW - cos 92 dWN 2 5^2 cos9
dz
008 9
= qy
=0 = qz
Ъ=0
(2.14)
Из предположений (2.12) также следует, что третье уравнение равновесия из (2.4) обращается в тождество, а первые два принимают вид
(Х + 2ц) sin2 02 ^ + (Х + ц)
2 2 Л
д V д V sin 02^--sin 92 cos 62—2
d^i д^
д^2
+ ц
Гд2U 0 0 д2U , 2 0 дU - 2cos02--+ cos 02
2
(Х + 2ц) + (Х + ц)
'д$1 д^2
- 2 cos "~2 2 д$1 д^2
д^2
= pg sin 01
2
^п д 2V
(2.15)
д^2
+ cos 02--
д^2
д 2U
д 2U
sin 02 ^ ^„— sin 02 cos 02—2
'д^1д^2
+ ц sin2 02 = pg cos 01
д^2
Решение системы (2.15) с граничными условиями (2.13), (2.14) будем строить в классе полиномов второй степени по переменным ):
U = Л& + 2 + Аз^!2 + Л4 + Л£ 2 + Л£22
V = B&1 + В&&2 + Вз^2 + B4 + 2 + ад 2 W = C&1 + С 2^1^ 2 + Сз^2 + C4 + 2 + 2
(2.16)
где постоянные коэффициенты Л1 + Лб, В1 + Вб, С1 + Сб найдем из граничных условий (2.13), (2.14) и двух уравнений равновесия (2.15). После подстановки выражений (2.16) в (2.13) получим равенства
Á4 + Л5^2 + Л6^2 = В 4 + В&2 + В6£ = С4 + С5^2 + С6^2 = 0, которые должны выполняться при любых > 0. Отсюда имеем
Л4 = Л5 = Лб = В4 = В5 = Вб = С4 = С5 = Сб = 0 Поэтому выраже
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.