МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 4 • 2008
УДК 530.31:534.1
© 2008 г. Л.В. НИКИТИН, Е.И. РЫЖАК
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ СЖАТОГО БЛОКА, ПРИЖАТОГО К ГЛАДКОМУ ОСНОВАНИЮ
Изучается задача об устойчивости состояния равновесия сжатого однородного нелинейно-упругого тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда (блока). На всех гранях блока, за исключением одной, принимаются условия свободного проскальзывания вдоль плоскостей граней (с возможностью отрыва). На оставшейся грани задана равномерно распределенная по поверхности нормальная прижимающая "мертвая" нагрузка. Получены строгие оценки сверху и снизу для критических значений сжимающих напряжений, совпадающие по порядку величины с характерными упругими модулями материала в исследуемом равновесном состоянии; эти оценки не зависят от соотношения размеров блока во всем диапазоне возможного изменения последних. Результат косвенно указывает на тот факт, что первичная неустойчивость в рассматриваемой задаче при любом соотношении размеров блока носит поверхностный характер (локализована вблизи кинематически свободной грани с заданной нагрузкой) и характеризуется отсутствием отрыва от основания даже для сколь угодно тонкой пластины. Отсюда же следует, что "балочное приближение" (попытки применения которого к аналогичным задачам представлены в литературе) здесь принципиально непригодно для исследования устойчивости.
1. Введение. Исследование устойчивости и неустойчивости сжатых упругих тел имеет очень давнюю (восходящую к общеизвестной задаче Эйлера) традицию в прикладной механике. Это обусловлено, прежде всего, огромным прикладным значением исследуемого вопроса для самых разных областей технической деятельности - от машиностроения до строительства и разработки полезных ископаемых. Помимо прикладного значения, данный вопрос представлял и продолжает представлять интерес и с точки зрения теории, причем по мере развития механики деформируемого твердого тела этот интерес как расширяется, так и углубляется, приводя к новым задачам, новым постановкам давно известных задач, новым методом решения, а также, что особенно важно, к наполнению новым смыслом ряда основополагающих понятий и принципов.
Несколько десятилетий назад в исследованиях по устойчивости при сжатии выделилось и привлекло немалый интерес (в силу его актуальности прежде всего для механики грунтов, горных пород и снега, но также и для других разделов механики) новое специфическое направление: задачи об устойчивости и неустойчивости сжатых тел, прижатых к гладкому основанию. При этом обнаружилась парадоксальная особенность задач такого типа: анализ, основанный на традиционных, многократно проверенных допущениях, приводит к странному выводу об отсутствии неустойчивости в малом при любых сжимающих усилиях. Такой результат совершенно расходится с результатами исследований по устойчивости сжатых тел, не прижатых к какому-либо основанию в исходном равновесном состоянии: там неустойчивость всегда возникает при достижении и превышении некоторого конечного ("критического") значения сжимающих усилий. С разного рода фактическими данными, относящимися к устойчивости тел, прижатых в равновес-
e
3
e
ном состоянии к некоторому основанию, вывод об отсутствии неустойчивости тоже плохо согласуется (с той оговоркой, что интерпретация таких данных почти всегда неоднозначна).
Попытки преодолеть вышеуказанный парадокс средствами теории, а именно, обнаружить неустойчивость (в том или ином смысле) при конечных сжимающих усилиях, предпринимались неоднократно [1-5], но по сути к успеху так и не привели.
Заметим, что во всех известных авторам работах обсуждаемого направления принималось предположение о том, что тело по своей геометрии является тонким стержнем (пластиной). Наличие такой геометрии расценивалось как несомненная гарантия правомерности использования "балочного приближения" при анализе устойчивости, и результатом анализа был вывод об устойчивости в малом вплоть до бесконечных сжимающих усилий. Поскольку такой вывод для деформируемых тел с любой точки зрения неприемлем, предпринимались попытки найти какой-либо выход из сложившейся тупиковой ситуации, а именно, появилась идея поиска неустойчивости "не в малом". Эта идея была в различных вариантах реализована в работах [1-5]; были действительно обнаружены дополнительные состояния равновесия при конечных сжимающих усилиях, однако зависимость значений таких усилий от амплитуды равновесных отклонений, которым они соответствовали, была такова, что значения усилий стремились к бесконечности при стремлении амплитуды к нулю (что как раз и согласуется с устойчивостью в малом при любых конечных сжимающих усилиях). Таким образом, описанная идея выхода из тупика не дала.
Казалось бы, в такой ситуации должны были возникнуть сомнения в безупречности системы исходных посылок, а посылка, принимаемая здесь на веру, только одна - использование балочного приближения и соответствующих уравнений. Если бы такие сомнения возникли, то следующим шагом, по всей видимости, должен был бы быть отказ от балочного приближения, но вера в его адекватность при подходящей геометрии тела оставалась незыблемой, и ничто (даже весьма сомнительные результаты) не смогло поколебать ее.
Оснований же для сомнений в применимости упомянутого приближения имеется немало. Известны и другие задачи об устойчивости тонких и вытянутых тел, в которых балочное приближение неприменимо: формы потери устойчивости (ФПУ) таковы, что совершенно не совместимы с балочной кинематикой (см., например, [6, 7]), а возмущающие поля смещений "балочного типа" всегда дают положительное приращение полной потенциальной энергии системы. Из этого следует, что та или иная геометрия тела сама по себе не является основанием для применения или неприменения какого-либо приближения, и в задачах рассматриваемого типа балочное приближение непригодно. Найти выход из возникшего логического тупика позволяет именно отказ от балочного приближения, что и реализовано в данной работе.
Конкретно, изучен вопрос об устойчивости равномерно сжатого однородного нелинейно-упругого блока, прижатого постоянными силами к гладкому плоскому основанию (фигура). На всех гранях блока, за исключением той одной, где заданы силы, принимаются условия проскальзывания с возможностью отрыва. Получены как достаточ-
ные условия устойчивости (оценки снизу для критических сжимающих напряжений), так и достаточные условия неустойчивости (оценки сверху для тех же напряжений). Задачи о достаточных условиях устойчивости и неустойчивости совершенно различны по методу их решения. Первая решается методом Холдена [8] с использованием значения константы Корна, найденного как для принятых здесь, так и для некоторых других кинематических граничных условий (ГУ) в работе одного из авторов [9]; здесь константа Корна равна четырем. Вторая решается на основе кинематической гипотезы, но не балочной, а совсем иной: суженный класс возмущающих полей смещений образован поверхностно локализованными осцилляционными полями, представляющими собой экстремали задачи Корна для блока с принятыми кинематическими ГУ [9].
Полученные верхние и нижние оценки для критических сжимающих напряжений равны по порядку величины характерным упругим модулям материала в исследуемом на устойчивость состоянии. Они абсолютно не зависят от соотношения геометрических размеров блока, и такой результат косвенно указывает на поверхностный характер первичной неустойчивости [10] во всех задачах рассматриваемого семейства. Отсюда же следует вывод об абсолютной непригодности балочного приближения даже в случае, казалось бы, подходящей геометрии.
2. Используемые в работе конечные и вытекающие из них инкрементальные определяющие соотношения нелинейной упругости. В работе используется система безындексных тензорных обозначений Гиббса, дополненная знаком тензорного произведения и мультииндексом для обозначения изомеров тензора. Обозначения основных величин механики деформируемого твердого тела совпадают или близки к обозначениям книги [11] и будут кратко определяться по мере их использования; заметим, однако, что в упомянутой книге принята совершенно другая система безындексных тензорных обозначений, из-за чего несколько меняется смысл ряда величин.
При выводе критериев устойчивости и неустойчивости тела будет систематически использоваться отсчетное описание с присущими ему элементами, среди которых упомянем прежде всего тензор напряжений Пиолы и инкрементальное определяющее соотношение для этого тензора напряжений. В представленном ниже анализе будет также использовано и инкрементальное определяющее соотношение для тензора напряжений Коши (хотя последний не является элементом отсчетного описания).
Пусть к - некое фиксированное состояние тела, называемое его отсчетной конфигурацией, а материальные точки тела идентифицируются их радиус-векторами х в этой конфигурации. В каждой из так называемых актуальных конфигураций %(0 (где t - время), радиус-векторы материальных точек задаются взаимно однозначным отображением
которое будем называть "трансформацией" (в отличие от [11], где оно называется "деформацией"). Вектор-функция г(х, 0 считается непрерывной и дифференцируемой как по t, так и по х. Бесконечно малые приращения тех или иных величин при фиксированном х будем называть материальными и обозначать знаком 5 слева от символа; градиенты по х при фиксированном t будем называть отсчетными и обозначать знаком Ук в совокупности со знаком тензорного произведения (а в случае скалярной величины - без знака тензорного произведения) слева от символа, например Ук ® А(х, t), Укф(х, 0.
Градиент трансформации
представляет собой невырожденный тензор второго ранга (т.е. линейный оператор), отображающий окрестность точки х в отсчетной конфигурации в окрестность точки г(х, 0 в актуальной конфигурации:
Г = Г (X, t)
(2.1)
Г(х, t) = Ук® г(х, t)
(2.2)
йг(X, t, йх) = йX ■ Г (X, t)
(2.3)
Таким образом, градиент трансформации Р является главной деформационно-ротационной величиной, а все остальные деформационные и ротационные величины, в том числе инкрем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.