ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН, Том 1 ,№ 3, 2005, стр. 11-21
- ФИЗИКА И РАДИОТЕХНИКА :
УДК 621.38.06
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И СХОДИМОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ПО ЧАСТЯМ
© 2005 г. В.П. Попов1, М.Н. Максимов1, Н.И. Мережин1
В статье предлагается способ улучшения устойчивости и сходимости моделирования систем по частям. Задача анализа свойств моделирования по частям исходной системы сводится к анализу свойств модифицированной системы, состоящей из двух частей, соединенных друг с другом схемой сшивания. В статье аналитически доказываются достоинства предлагаемой обобщенной схемы сшивания по сравнению с ранее известной базовой схемой. Рассматриваются вопросы применения обобщенной схемы сшивания при моделировании по частям, в том числе и с оборудованием в цепи обратной связи.
Моделирование сложных систем по частям, в отличие от моделирования всей системы в целом, имеет ряд существенных достоинств.
Во-первых, оно позволяет объединить различные программные пакеты, разработанные для моделирования механических, электрических, полупроводниковых, гидравлических и т.д. устройств в одну мощную универсальную моделирующую среду для моделирования систем, состоящих из устройств с различной физической природой.
Во-вторых, позволяет распараллелить процесс моделирования и, как следствие, уменьшить время моделирования при использовании многопроцессорных вычислительных систем или применив для моделирования несколько рабочих станций, объединенных локальной или глобальной сетью [1,2].
В-третьих, дает возможность использования реальных физических объектов в качестве собственных моделей (оборудование в цепи обратной связи) [3] для увеличения достоверности моделирования.
Основной проблемой моделирования по частям является обеспечение устойчивости и сходимости итерационных вычислительных процедур. Устойчивость и сходимость процесса моделирования во многом зависят от способа разбиения системы на части и свойств используемой схемы сшивания. Наиболее известной и подробно описанной в литературе схемой сшивания является базовая схема сшивания (метод Гаусса-Якоби, Гаусса-Зейделя), состоящая только из идеальных эквивалентных источников. Однако она обеспечивает устойчивость и сходимость только для узкого круга задач и режимов работы моделируемой системы и поэтому имеет скорее академический интерес, чем
1 Таганрогский государственный радиотехнический университет, г. Таганрог.
возможность практического применения. Поэтому нами были разработаны другие варианты схем сшивания [3, 4], в частности, т.н. обобщенная схема сшивания, построенная на обобщенной схеме замещения ветви [5].
Ниже представлен вариант обобщенной схемы сшивания. Как будет видно из анализа и сопоставления с базовой схемой, эта схема обеспечивает лучшую сходимость и устойчивость процесса моделирования исходной системы по частям. Использование данной схемы сшивания позволяет реализовать на практике все преимущества моделирования по частям.
Фактически в статье рассмотрен метод итерационного решения системы линейных алгебраических уравнений и его использование для моделирования системы по частям, в том числе и с оборудованием в цепи обратной связи.
ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ АНАЛИЗА
СВОЙСТВ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЫ, РАЗБИТОЙ НА ДВЕ ЧАСТИ
Исходная система, разбитая на две части А и В, схематично представлена на рисунке 1, где Я{ и /?2 - это импедансы частей А и В исходной системы. Независимые источники тока и напряжения частей А и В системы представлены эквивалентными источниками напряжения е1,е2.
На рисунках 2, 3 показана эта же система после ее декомпозиции на две части и соединения с помощью базовой и обобщенной схем сшивания. Схемы сшивания состоят из идеализированных источников тока и напряжения, параметры которых соответствуют току и напряжению в к-й момент времени, и стабилизирующих элементов г, и г2.
Рис. 1. Исходная система
Импедансы R^ и /?2 - это вещественные числа, которые зависят в случае линейности системы только от параметров элементов системы и шага моделирования /г, а в случае, если система нелинейная, то и от значения токов и напряжений в системе.
Формализация задачи анализа устойчивости и сходимости моделирования по частям с помощью схем сшивания удобна, так как, не теряя общности, в рамках оговоренных ниже ограничений, достаточно просто мы можем получить аналитические результаты, справедливые для широкого круга задач, связанных с моделированием по частям.
Так, в рассматриваемом нами случае части исходной системы А и В могут быть линейными, нелинейными или параметрическими, представленными в виде:
- моделей в различных моделирующих средах;
- двух частей в одной моделирующей среде;
- одна из частей может быть представлена физическим устройством.
Главное, чтобы эти части обменивались данными в соответствии с правилами, установленными схемой сшивания. То есть для обобщенной схемы сшивания на каждом к-м временном или п-ьл итерационном шаге части системы обмениваются друг с другом значениями полюсных переменных в виде токов и напряжений (/1? V, <-> /2, У2).
В случае, если одна из частей представлена физическим устройством, например В, то соответствующая ей часть обобщенной схемы сшивания должна быть представлена в виде устройства, реализующего измерение тока и напряжения на входе части В (/2+1 , управляемого источника
тока и напряжения (/*, У^), резистора г2 (в общем случае по причине, обсуждаемой ниже), автоматически подстраиваемого. Мало того, процесс обмена данными между частями должен быть жестко синхронизирован. Части обмениваются данными только в моменты времени к + 1. Задержка х, между моментом измерения (/2+1
и моментом обмена данными к + 1, а также задержка т2 между установкой (/*, V/j и моментом
обмена данными к + 1 должны быть меньше h -шага по времени и в идеале стремиться к нулю.
Естественно, что значения (/f+1 Vj*+1 j части А,
представленной численной моделью, должны быть рассчитаны за время т3, меньшее h. Задержки, обусловленные измерением, установкой и вычислением, проявляются только при физическом моделировании части В в реальном времени. При дальнейшем анализе задержки можно объединить: т = т1 + т2 + хЗ.
При численном моделировании обеих частей учитывается только задержка на шаг h.
АНАЛИЗ СВОЙСТВ ОБОБЩЕННОЙ СХЕМЫ СШИВАНИЯ ПРИ ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ЧАСТЕЙ
Базовая схема сшивания, изображенная на рисунке 2, является классической и наиболее часто используемой. К сожалению, при применении этой схемы сшивания результат моделирования по частям перестает быть устойчивым, если | / R21 > 1. Поэтому предлагается новая обобщенная схема сшивания, свойства которой будут исследованы в данной работе.
Рассмотрим сначала вариант, когда система линейная и шаг моделирования h = const. В этом случае уравнения, описывающие систему (рис. 3) с учетом задержки в обмене информацией на один временной шаг, имеют следующий вид:
' 1 1
— + —
Rx rl О
О
J_ J_ Я, г2
уУг
4+1
+
J_
А
г2
J
R2 rl О
( 1
К
к\
2
к \
Я, R
„*+1
R2 Rl
А ук+1--
)■
J
к+l ( Л
е1 \ )
Рис. 2. Базовая схема сшивания
в
>R2
~ УМ i
Г 2
Рис. 3. Обобщенная схема сшивания
или
riel
к+1
_ гЩек2
r\ + Rx ^ R^rl + RJ r2e*+1 r2R2e\
г2 + Я2 Кх(Г2 + К2) где ]У - матрица перехода:
0 ад-п)
ЗД+Л) о
(1)
w=
RÁRi+rZ)
(2)
Собственные значения матрицы перехода ]¥ описываются выражением
Х12 - ±
(R2-rl)(R1-r2)
(3)
1 (/^+/-1X^2+Г2) Как видно из (3), собственные значения матрицы \¥ есть пара реальных или мнимых чисел. Как известно, для того чтобы решение было устойчиво, необходимо, чтобы выполнялось условие
мым изменяем систему и, следовательно, должны доказать, что получаемое итерационными методами решение распределенной системы не только устойчиво, но и сходится к решению нераспределенной (исходной) системы, если выполнять п итераций на каждом к временном шаге.
Для этого перепишем выражение (1) в виде
У2кЛ = я2 (ч^+ьх)+ь2
У'^ч^гУ"-1''
У2кЛ=<1гЧхУг'1' +42^1+^2
или
или
(5)
где
ЧЪ -П) ед+ri)
Яг =
Л,12 <1.
(4)
r\e\ rlR,e2 Ьх =-— +-—
rl + Rx R^rl + R^
ъ -
, u2 —
Rl(R2+r2) r2R2e¡
r2 + R2 Rx(r2 + R2)
При г\ = R2 и/или r2 = R1 собственные числа матрицы Неравны нулю. Следует отметить, что если выбрать г\ =Rlvlr2 = R2 или близкие к ним, то неравенство (4) не выполняется и система становится неустойчивой. Поэтому важным является случай, когда г1 = г2 - г. График зависимости
|^1,2(г)| приведен на рисунке 4. Из него видно,
что областью устойчивости являются все значения г, удовлетворяющие условию г > 0 при Rl2 > 0.
Таким образом, не зная значений мож-
но всегда добиться устойчивости, задав любое положительное значение стабилизирующего элемента г.
Расчленив систему на части и внеся в систему новые (стабилизирующие) элементы, мы тем са-
0 *1,2
Рис. 4. График функции I А,! 2{г) I № 3 2005
VX2X* - предыдущее значение на к - 1 временном где \к' - точное решение на к-м шаге. Таким об-
шаге. Поскольку итерации выполняются на од- Разом' Решение системы, разбитой на части, схо-
ном (к-м) временном шаге, то qx,q2,bx,b2 = const. Дится к точному при п -> | qxq2 | < 1 и не зависит Итерационное выражение (5) перепишем в виде
Vxk<3=qxq2Vxk'l+qxb2+bx
и
V^ =ql4]V^+q2b,+b2 Vxk>5=qiq2Vxk'3+qxb2+bx
от величин стабилизирующих элементов г 1 и г2.
Оценим ошибку релаксации на каждом временном шаге. Как известно, сумма конечного числа членов геометрической прогрессии равна l-qn /l-q, следовательно, перепишем выражение (6)в виде
№ _
2 —
тк, 5 т/Л,5
V^=q2qiV2k'3+q2b,+b2
Выражая V{' , V2' через Vx, V2
получим +
Vi'5 = Я^Ш^Яг^1* +qA+bi)
+ qxb2+bx) + qxb2+bx
v2k'5 = Wi(<h<h(<h<hV2~l* +<hh+ь2)+
+ q2b1+b2) + q2bl+b2
у?'5=Я1Я1УГ>* +Я1Я1{ЯА)+ЯЫЯА)+
+ЯА + q]q\bv + qlq2bi + bx
Уг5 =я1я1Уг~1' +Я^я1(Я2^) + ЯгЯ2(ЯоЛ) +
у;
к,п
n-2 n-2Vk-^ , яА{^-яГ3яГ3)
41 Я2 vl л
1-Я1Я2
ь^-дГ'д"-3)
1-Я1Я2
q2bx(l-qr3q2-3)
+
+ -
Vrk,n п-2 п-2тгк-1,* .
2 = <?1 Я2 V1 +
ИЛИ
+q2bx + qxq2b2 + qxq2b2 + b2
При выполнении п-й итерации на к-м временном шаге эти выражения можно переписать в виде:
1-<7I<?2
ъ2(\-яГ3яГ3)
1-Я1Я2
у"'п =яГ3яп2'3{я1я2У!"1'' -Ук'')+Ук'' v2k
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.