УДК 521.1+524.388
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КРАТНОЙ ЗВЕЗДНОЙ СИСТЕМЫ i UMa (ADS 7114)
© 2014 г. А. В. Мельников1*, В. В. Орлов1-2, И. И. Шевченко1
1Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория Российской академии наук,
Санкт-Петербург, Россия
2Санкт-Петербургский государственный университет,
Санкт-Петербург, Россия Поступила в редакцию 21.01.2014 г.; принята в печать 17.03.2014 г.
Исследуется устойчивость четверной звездной системы i UMa (HD 76644 = ADS 7114), для которой ранее были определены физические и орбитальные параметры, а также на основе моделирования динамики и использования теоретических критериев устойчивости было сделано заключение о вероятной неустойчивости системы. Устойчивость системы i UMa исследуется посредством вычисления характеристических показателей Ляпунова на представительных множествах значений параметров и начальных условий. Проведено сопоставление выводов об устойчивости (неустойчивости) системы, полученных на основе различных критериев устойчивости и на основе вычисления показателей Ляпунова; неустойчивость системы в целом подтверждена строгим образом на основе массовых вычислений показателей Ляпунова. По-видимому, это единственная известная кратная система, для которой неустойчивость строго установлена. Построены статистические зависимости "ляпуновское время—время распада", демонстрирующие доминирование гамильтоновой перемежаемости второго рода. Характерные значения для времени распада составляют менее 1000 лет, для ляпуновского времени — менее 100 лет.
DOI: 10.7868/S0004629914090059
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассматриваемая в настоящей работе система Йота Большой Медведицы (i UMa = HD 76644 = = HIP 44127 = ADS 7114) изучается уже на протяжении двух веков. История исследования этой системы описана в [1]. Система является иерархической четверной, она состоит из двух двойных Aa и BC. Пару Aa составляют яркая компонента A с видимой величиной V & 3.1m и спектральным типом F0 V—IV; спутник а, вероятно, является белым карликом; компоненты B и C с видимыми величинами V & 10.8m и V & 11.1m имеют спектральные классы M3 V и M4 V.
Эгген [2] определил орбиту внутренней подсистемы BC; согласно его данным, период обращения составляет Pin = 39.69 ± 0.53 лет. Элементы орбиты внешней подсистемы A—BC были определены Хопманном [3]; оказалось, что ее период составляет Pout = 818 лет. Последнее уточнение орбитальных параметров системы i UMa проведено Жучко-вым и др. [1], где посредством метода параметров
E-mail: melnikov@gao.spb.ru
видимого движения (описание метода см., например, в монографии Киселева [4]) период определен как Р0и = 2084 ± 649 лет. Таким образом, степень иерархии системы значительно сильнее, чем считалось ранее, поскольку отношение Р0и/Р;п ~ & 20 оказалось большим в 2.5 раза. В работе [1] были определены и орбитальные параметры тесной подсистемы Аа, период которой составляет 12.2 ± ± 1.0 лет.
Исследование систем кратных звезд со слабой иерархией на предмет их устойчивости ранее проводилось в работах [5, 6]. В этих работах были выявлены вероятные кандидаты в неустойчивые системы, среди них оказалась и система I иМа. Моделирование динамической эволюции системы посредством численного интегрирования и использование теоретических критериев устойчивости в рамках задачи трех тел (пара Аа рассматривалась как одиночный объект), проведенное в работах [ 1, 7], показало вероятную неустойчивость системы I иМа.
В настоящей работе мы исследуем устойчивость системы I иМа. При этом одна из подсистем (а именно, Аа) рассматривается как одно тело. Это вполне приемлемое упрощение, поскольку пара
Наблюдаемые орбитальные параметры подсистем Аа— ВС и ВС: Р — период обращения, е — эксцентриситет, г — наклонение орбиты, И — долгота восходящего узла, ш — аргумент перицентра, Т — эпоха прохождения перицентра
Параметр Аа-ВС ВС
Источник данных
[1] [2]
Р, годы 2084 ± 649 39.69 ±0.53
е 0.90 ±0.02 0.32 ±0.02
i, град 54 ±5 108 ± 1
С1, град 133 ±5 21
и;, град 24 ±6 334
Т, год 2028 ± 643 1918.58 ±0.66
Аа является тесной по сравнению с подсистемами Аа—ВС и ВС. Кроме того, суммарная масса пары Аа (2.7 ± 0.4 М®) существенно больше, чем массы компонент В (0.35 М®) и С (0.3 М®). Таким образом, описываемое далее исследование устойчивости системы 1 иМа проведено нами для случая пространственного движения системы из трех тел.
Под устойчивостью кратной системы мы подразумеваем ее устойчивость по Лагранжу: система устойчива, если все движения компонент системы на неограниченных интервалах времени происходят в ограниченной области пространства. Неустойчивости кратной системы по Лагранжу практически равнозначна ее хаотичность, т.е. отличие от нуля максимального показателя Ляпунова [8]: хаотичность движения обычно приводит к распаду системы, т.е. означает неустойчивость по Лагранжу (см., например, [9]); случаи "ограниченного хаоса" в задаче трех тел (см., например, [10]) крайне редки и никогда не наблюдались в системах тел с сопоставимыми массами.
Для изучения устойчивости системы 1 иМа мы используем разработанные нами ранее алгоритмы и программы [11], которые позволяют определять момент распада системы и одновременно проводить вычисление полного спектра характеристических показателей Ляпунова. На представительных множествах начальных значений орбитальных параметров системы мы находим области, в которых тройная система является неустойчивой. На этих же множествах вычисляются характеристические показатели Ляпунова и строятся зависимости "ля-пуновское время—время распада".
2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Уравнения движения имеют вид
d2r dU
= —, i = 1,2,3,
где шг — массы звезд, гг = (хг, уг, гг) — вектор положения г-го тела, £ — время,и — потенциал:
и _ £ (гп1гп2 тгтз т2т3\
V П2 П3 Г23 ) '
где
' г]
= л/(xi - xj)2 + (yi - vj)2 + (zi ~ zj)2 ~
расстояние между телами i и j, G — гравитационная постоянная.
Здесь и далее полагаем G = 4п2, массы компонент тг выражены в массах Солнца Mq , все расстояния выражены астрономических единицах, время — в годах. Используется барицентрическая прямоугольная система координат XYZ, основная плоскость XY проходит через центр масс кратной системы ортогонально лучу зрения. Для масс звезд берем значения т\ = 2.7 Mq (суммарная масса пары Aa), т2 = 0.35 Mq, т3 = 0.3 Mq (массы компонент B и C). Начальные условия для интегрирования приведены в таблице. Подсистеме BC далее соответствует нижний индекс "in", а подсистеме Aa—BC — индекс "out". В начальный момент времени положения компонент на орбитах задаются значениями истинных аномалий f = 349° для внешней подсистемы Aa—BC и f = 172° для внутренней подсистемы BC (на эпоху 2014.0).
В качестве аналитического критерия распада используется критерий, предложенный Стэнди-шем [12]. А именно, считается, что система распадается (т.е. тело mc покидает ее), если выполняются следующие условия:
dp di
> 2GM
р> r* 1
dp
> 0,
+
di
ma mb
(2)
_p (ma + ть)2 p2(p - r*)_
где р — расстояние между центром масс пары ша—шь и телом шс; М = ша + шь + шс, г* = С(шашь + шашс + шьшс)/\Е\; Е — полная энергия системы; индексы а, Ь, с отличны друг от друга и могут принимать значения 1, 2 и 3.
Интегрирование уравнений движения системы трех тел проводилось на промежутке времени £ = = 106 лет ~ 500Ро^. Интегрирование завершалось либо при распаде системы (т.е. при выполнении условий (2)), либо при далеком выбросе, когда расстояние от одной из звезд до любой из оставшихся двух превышало величину 10 ао^, где в качестве аои принята первоначальная величина большой полуоси орбиты внешней подсистемы. Практически такой выброс эквивалентен распаду системы.
2
r
Для интегрирования уравнений движения (1) использовался интегратор ЭОРШ8 Дормана— Принса [13], реализующий метод Рунге—Кутты 8-го порядка с автоматически изменяемой длиной шага интегрирования. Начальная длина шага полагалась равной одному году, а локальная точность интегрирования — равной 10"12.
При интегрировании контролировалось сохранение полной энергии тройной системы
E = K - U = Y^
ты
2
i=l
2
-G
3
E
mm
j
i,j=l,i<j
' ij
где К и и — соответственно кинетическая и по-
2 . 2 . 2 . 2 тенциальная энергии системы, у* = хг2 + уг2 + .
Полная энергия системы отрицательна, и в начале эволюции система связана. Относительное изменение энергии АЕ как в случае, когда тройная система устойчива (т.е. не распадается за все время интегрирования £ = 106 лет), так и в случае, когда система неустойчива (т.е. имеет место распад при £ < 106 лет), лежит в интервале |АЕ| е € [10"12, 10"8]. В случае тесных сближений (столкновений) происходила остановка интегрирования, однако тесных сближений в наших численных экспериментах не наблюдалось для всех рассмотренных начальных конфигураций системы.
3. УСТОЙЧИВОСТЬ системы
Тогда как орбита подсистемы ВС хорошо определена [2], орбита подсистемы Аа—ВС известна с довольно большой ошибкой [1] (прежде всего в величине Р), поскольку наблюдательными данными
охвачена лишь небольшая часть ее орбитального
периода. Поэтому мы исследовали устойчивость
системы I иМа посредством варьирования началь-
ных условий для Р0^ и е0и широкой подсистемы Аа—ВС, полагая орбиту подсистемы ВС фиксиро-
ванной.
Прежде всего посредством численного интегрирования уравнений движения (1) мы находим на плоскости (Р0иь е0^) границы областей устойчивости и сопоставляем их с границами, найденными на основе различных теоретических критериев устойчивости [14, 15] и эмпирического критерия устойчивости [16]. Необходимо пояснить, что используемые нами теоретические критерии устойчивости [14, 15] получены на основе некоторых предположений и численных экспериментов, поэтому они являются скорее оценочными — позволяющими лишь грубо оценить границы областей устойчивости и таким образом прогнозировать возможность распада тройной системы.
Значения Р0и берем на интервале от 1300 до 3400 лет, а е0и — от 0.56 до 0.96. Такой выбор
начальных значений Р0и и е0и обусловлен необходимостью предварительного определения границ областей устойчивых и неустойчивых движений. В качестве остальных начальных условий для интегрирования использ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.