научная статья по теме ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КРИТИЧЕСКИХ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СЛОЖНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ Кибернетика

Текст научной статьи на тему «ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КРИТИЧЕСКИХ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СЛОЖНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ»

ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 1, с. 22-34

УСТОЙЧИВОСТЬ

УДК 531.36

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КРИТИЧЕСКИХ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СЛОЖНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ © 2014 г. А. И. Двирный, В. И. Слынько

Норвегия, Трамсе, ЫТАрктический университет Норвегии, Украина, Киев, Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУкраины Поступила в редакцию 27.02.13 г., после доработки 10.09.13 г.

Предложены новые формы, агрегирования сложных импульсных систем. Эти формы используют производные функций Ляпунова высших порядков. Получены достаточные условия устойчивости критических положений равновесия сложных импульсных систем. Приведен пример исследования устойчивости состояния равновесия в вырожденном критическом случае.

Б01: 10.7868/8000233881401003Х

Введение. Некоторые проблемы теории управления движением механических систем [1, 2] приводят к необходимости использовать концепцию импульсного управления. В связи с этим актуальной задачей является задача об устойчивости положений равновесия сложных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (импульсных систем) в критических случаях. Отметим также, что общие вопросы теории устойчивости решений для этого класса систем рассматривались в ряде работ [3—7], где развиты различные методы исследования линейных и нелинейных систем. В [8—10] описывались некоторые вопросы устойчивости критических положений равновесия импульсных систем.

Необходимо отметить, что исследование устойчивости положений равновесия сложных систем при наличии различных типов возмущений, как правило, наталкивается на существенные трудности, связанные с большой размерностью системы. Преодоление этих трудностей связано с концепцией декомпозиции системы на независимые подсистемы меньшей размерности и применения различных форм агрегирования. Этот подход восходит к работам Р. Беллмана и В.М. Матросова. В обобщающих монографиях [11—13] подведен итог исследований в этом направлении для крупномасштабных систем обыкновенных дифференциальных уравнений при структурных и параметрических возмущениях. В [14—16] эти подходы получили значительное развитие применительно к исследованию устойчивости критических положений равновесия сложных систем.

Для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием систем методы агрегирования—декомпозиции применялись в [17—21]. В [17, 18, 21] для исследования устойчивости решений сложных импульсных систем применялись векторные функции Ляпунова и формы агрегирования, характерные для квазилинейных систем. Результаты [18, 21] обладают достаточной общностью, поскольку в них не предполагается наличия свойства асимптотической устойчивости непрерывной или дискретной компонент импульсной системы. В [19, 20] для исследования устойчивости решений сложных импульсных систем применялась концепция декомпозиции систем в контексте прямого метода Ляпунова на основе матрично-значных функций Ляпунова. Предложены новые формы агрегирования сложной импульсной системы, которая не предполагает наличия свойства асимптотической устойчивости независимых подсистем. Существенным предположением здесь является наличие асимптотической устойчивости положения равновесия непрерывной или (и) дискретной компонент импульсной системы. Также в этих работах не указывается способ построения матрично-значных функций.

В настоящей статье рассматривается задача об устойчивости положений равновесия сложных импульсных систем на основе ряда идей, предложенных в [10, 14, 21]. Используем для исследования устойчивости положения равновесия некоторую модификацию новой формы агрегирования, предложенной для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в [14], в контексте обобщений прямого метода Ляпунова для импульсных систем [10, 21]. Эти обобщения используют производные функции Ляпунова порядка выше первого (в [21] — производные второго по-

рядка, в [10] — более высоких порядков). В [10] показано, что применение производных функций Ляпунова высших порядков существенно при исследовании вырождений в критических случаях.

Особо отметим, что предлагаемые в настоящей работе подходы ориентированы на изучение критических положений равновесия сложных импульсных систем.

1. Постановка задачи и формы агрегирования сложных систем. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с импульсным воздействием

й х

-г = ^(х) + О,(г, х), хе(хк,тк +! ],

й (1.1)

х(т+) - х,(тк) = с,к( х (тк)) + к,к( х(тк)) = (тк),

где xs е Dsс , Ds — открытая связная окрестность точки xs = 0, s = 1, m , x = (, ..., x^ )T, n = ^nl.

i = i

Функции Fs(t, xs), Qs(t, x), Gsk(xs), Rsk(x) — непрерывны при всех t е Т = [a, +да), а е R, a < t0, k е N. При этом t0 < Tj < т2 < ... — известные моменты времени. Обозначим через х(£ t0, x0) решение задачи Коши для системы (1.1), х0 = х(t0). Не уменьшая общности, можно считать, что решение x(t; t0, x0) непрерывно слева по t при t = Tk.

x(t*, to, Xo) = lim x(t, t0, Xo), x(t+, t0, Xq) = lim x(t, t0, Xq).

t — Tk - 0 t — Tk + 0

Функция x(t; t0, x0) является непрерывно-дифференцируемой по

да

t е Tt = [ ö, +да)\ U {Tk}, xq е D, D = Di x ... x Dm.

к = 1

Предположим, что Fs(t, 0) = Gsk(0) = 0, Qs(t, 0) = Rsk(0) = 0, тогда х = 0 — состояние равновесия системы (1.1). Моменты импульсного воздействия {тк} 1 удовлетворяют неравенствам

0 <01 <Tk +1 - Tk <е2 < +да.

Относительно функций F(t, x) = (FT (t, x1), ..., Fm (t, xJ)T, Q(t, x) = (QT (t, x), ..., Qm (t, x))T,

TT TT

Gk(x) = (Gjk (x1), ..., Gmk (xm))T, Rk(x) = (Rik (x), ..., Rmk (x))T будем предполагать, что они удовлетворяют условию Липшица в области D по переменной х, т.е. для любого компактного подмножества Kс D существует постоянная LK, такая, что при всех t е Ти х", х' е Kвыполняется неравенство

||F(t, x'') - F(t, x')||< ZJx'' - x'||

и аналогичные неравенства для функций Q(t, x), Gk(x), Rk(x).

Наряду со сложной системой (1.1) рассмотрим изолированные подсистемы

d V

= F( t, y), t е (Tk, Tk +1 ],

dt

Vs(T+) - V(Tk) = Gky(Tk))

и предположим, что состояния равновесия ys = 0 этих систем являются асимптотически устойчивыми.

Для исследования устойчивости состояния равновесия х = 0 системы (1.1) введем класс вспомогательных функций.

Определение 1. Функция vs: [a, да) x Ds ^ R принадлежит классу ^ , если выполняются условия:

1) vs е Cp + 1(T x Ds);

д' V. . .

2) -(I, xs) непрерывна слева по I при I = тк, аналогично х(1; 10, x0).

дг1

-

Определим индуктивно функции ц} (I, x), I = 0, р + 1 при (I, х) е Т х Д

дц(.) т

^(г, X) = ví(X.), X) = г--—1 + 1) (Р.(X.) + О.(X)),

д г

полагая ц(^ (I, x) непрерывными слева по I при I = тк.

Также обозначим функции ^(x) = £ (Тк+1"Тк)-ц^(т+, x), к е

Следующее предположение определяет первую форму агрегирования, которая будет использована в настоящей работе.

Предположение 1. Допустим, что для системы (1.1) существуют функции vs(t, xs), ф^^,

s = 1, т , заданные при I е Т, xs е Ds, и обладают следующими свойствами:

1) vs(t, Xs) е , фs(Xs) - непрерывны;

2) vs(t, xs)— положительно-определены и допускают бесконечно малый верхний предел;

3) справедливы соотношения

У/(x + ск(x) + К/(x)) + X + в/X) + К/x)) - V.(ть X) <

т

^ (к) У. + V-., ч ч к) (к) Ру чч

< а]' Ф. (X) + Ф.( X) £ ( ЬУ ф/( X) + фД X)) +

у = 1,1 *.

+ ^,к(ф1 (Xl), ...,фт (Xm )) ,

где а.к), Ь<5/), й<5/) — действительные коэффициенты, а<5к) < 0, Ь<5/) > 0, й<5/) > 0, ..., фт) — не-

прерывные функции, ^¿(0, ..., 0) = 0, а показатели и > 0, ys > 0, asy■ > 0, р^- > 0 удовлетворяют неравенствам

а 4>Ъ + И, > Уу+Иу

И. У. + И.' И. У. + и.

при всех s Ф] и Ф 0, Ф 0,] = 1, т ;

4) выполняются неравенства

т N т

£ ( &,/(ф!( Xl ),.,фт (X,» )) + Щ 1( г, X )|)< Со Ф18"( X),

. = 1 . = 1 у = 1

т

■ > 1, . = гж

£

. + иу

у = 1

где с0 > 0, 5^- > 0, N — некоторое натуральное число.

Введем вторую форму агрегирования, которая будет использована в настоящей работе. Предварительно определим функции

V.(X) = £(-1)'( Т/ к - 1 ) V(Т/,X), к е N.

'= 1

Следующее предположение вводит вторую форму агрегирования.

Предположение 2. Допустим, что для системы (1.1) выполняются все условия предположения 1, за исключением того, что ^к'1 ^ + Gk(x) + К^)) в п. 3) следует заменить на — У(к) (х).

В настоящей работе исследуем устойчивость состояния равновесия х = 0 сложной системы с импульсным воздействием (1.1) в случае, когда выполняются условия предположения 1 или предположения 2.

2. Теоремы об устойчивости. Формулировке основных результатов работы предпошлем некоторые вспомогательные предложения.

Лемма 1. Пусть 5 = 1, т — положительные числа, В^ с Б, x(t) — решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (1.1) с начальным условием x(to) = x(т+ ) е ВЯ1 х ... х ВЯт , и t е (хь тк + 1].

Тогда неравенство

¿102

||х(г)||< ||х(т+)|| е

где Ь1 — постоянная Липшица функции F(t, x) + Q(t, x) для подмножества Вк1 х ... х Вцт , выполняется при всех t е (тк, тк + 1], таких, что x(t) е Вх1 х ... х Вкт .

Доказательство. Идея доказательства основывается на использовании леммы Гронуол-ла—Беллмана.

Пусть п0 > 0 и рассмотрим счетную систему нелинейных неравенств

^хГ5 + X (^х! ^хЪ< -По. (2.1)

1 = 1,1 * 5

Сформулируем вспомогательное утверждение, идея доказательства которого фактически содержится в работе [14].

Лемма 2. Предположим, что система (2.1) имеет решение ху- > 0,] = 1, т . Тогда существуют положительные постоянные 5 = 1, т , и с1, такие, что выполняется оценка

л

X ^ I Л*+*+^ X (4Т)1< -С1X

5 = 1 ^ } = 1,} * 5 ' 5 = 1

У5

Основной результат настоящей работы представлен в двух следующих теоремах. Теорема 1. Предположим, что для системы (1.1) выполняются условия предположения 1 и существует положительная постоянная п0, такая, что счетная система нелинейных неравенств

(2.1) имеет решение ху- > 0,] = 1, т .

Тогда состояние равновесия х = 0 системы (1.1) асимптотически устойчиво по Ляпунову. Доказательство. Для доказательства теоремы рассмотрим функцию Ляпунова

т

¥( г, х) = X К^ (г, х).

5 = 1

Вследствие условия 1) предположения 1 можно указать две функции а(.) и Ъ(.) класса Хана, такие, что

а 01 х|| )< ¥( г, X )< ь 01 х||).

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком