ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 5, 2014
УДК 531.36
© 2014 г. А. Л. Куницын
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ В СИСТЕМЕ ЗЕМЛЯ-ЛУНА ОРБИТАЛЬНОЙ СТАНЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ МАЛОГО РЕАКТИВНОГО УСКОРЕНИЯ
Рассматривается задача о стабилизации относительного равновесия орбитальной станции в системе Земля—Луна посредством сообщения ей малого постоянного по модулю реактивного ускорения, жестко связанного с корпусом станции, которая считается твердым телом переменной массы. Показывается, что при небольшом смещении центра масс станции (с помощью малого реактивного ускорения) относительно залунной коллинеар-ной точки либрации положение ее относительного равновесия может стать устойчивым в силу уравнений первого приближения.
В проектах исследования окололунного пространства большой интерес представляет задача создания орбитальной станции вблизи Луны. В первом приближении динамическое решение этой задачи можно проводить на основе классической ограниченной задачи трех тел, в которой исследуется движение пассивно гравитирующей частицы в ньютоновском гравитационном поле двух конечных масс, вращающихся относительно их центра масс по законам Кеплера. Как известно, в этой задаче имеется пять положений относительного равновесия частицы (точек либрации): три коллине-арных, расположенных на прямой Земля—Луна, и два треугольных. Последние в ряде случаев могут обладать устойчивостью, но их использование неэффективно из-за большого удаления от Земли и Луны.
Наиболее привлекательные для использования — две коллинеарных точки либрации: за Луной и перед ней. Но, к сожалению, как известно, эти точки неустойчивы ни при каких значениях масс тел и расстояний между ними. Одна из схем их стабилизации, рассматривавшаяся ранее [1], заключается в сообщении орбитальной станции (моделируемой материальной частицей переменной массы) малого дополнительного ускорения, постоянного по модулю и направлению, получаемого от установленного на станции реактивного двигателя малой тяги, что позволяет моделировать движение станции движением частицы в потенциальном силовом поле, представляющем наложение центрального гравитационного и однородного полей.
Проведенные расчеты показали, что посредством весьма малых величин реактивного ускорения можно добиться устойчивости новых точек либрации по крайней мере в первом приближении. Однако такая схема использования реактивного двигателя предполагает наличие автономной системы его стабилизации, что технически реализовать более сложно по сравнению со схемой жесткого его креплением на корпусе станции. В связи с этим представляет несомненный интерес исследовать возможность относительного равновесия орбитальной станции и его устойчивости и для этой более сложной динамической модели, в которой станцию уже необходимо рассматривать как свободное твердое тело, совершающее поступательно-вращательное движение под действием реактивной силы и сил тяготения Земли и Луны.
Рассмотрим поступательно-вращательное движение орбитальной станции в системе Земля—Луна, считая ее твердым телом переменной массы вследствие постоянной
работы реактивного двигателя малой тяги, жестко связанного с корпусом станции (массу станции будем считать изменяющейся по экспоненциальному закону). Положение центра масс станции С определим прямоугольными координатами ху1 относительно вращающейся прямоугольной системы координат Оху1 (в дальнейшем называемой орбитальной) с началом в центре масс О Земли и Луны (считаемого неподвижным) и осями х и у, лежащими в орбитальной плоскости вращения Луны (ось х
направлена в сторону Луны). Вращение орбитальной системы с угловой скоростью 0 (9 — истинная аномалия Луны в ее движении вокруг Земли) зададим относительно неподвижной (инерциальной) системы Оп^с; с началом в той же точке О и плоскостью О^п, совпадающей с плоскостью Оху). С центром масс станции С свяжем начала еще трех прямоугольных систем координат: кёниговой, движущейся поступательно, с осями, параллельными инерциальным, вращающейся СХУ2, с осями, параллельными орбитальным осям, и связанной Сх'у'£ с осями, направленными по главным центральным осям инерции станции. Положение станции (т.е. положение связанной системы) относительно системы СХУ2 зададим углами Эйлера ф, у, 9, через которые будем выражать направляющие косинусы осей введенных систем координат. Понадобится ввести несколько систем направляющих косинусов. Обозначим косинусы углов, образуемых вектором реактивного ускорения с осями системы СХУ2 через ах, аг, аг, а со связанными осями — через а2, а3. Девять направляющих косинусов а;, в, У, связанной системы относительно системы СХУ2 зададим таблицей
X У Z
х' а! в1 У1
У а2 Р2 У2
г' а3 Рз Уз
Косинусы ах, аг, а2можно выразить через введенные косинусы, используя скалярное произведение вектора w на единичные орты осей СХУ2. Поскольку а, — проекции на связанные оси орта оси ОХ, а произведения (а,^) — проекции на те же оси вектора w, то, например, имеем
<5хм> = (а! а! + а2 а2 + а3а3) ™ = Н
Отсюда получаем
ах = Xаа* ау = X в'а' = X(1)
Здесь а1, а2, а3 — постоянные величины, а а;, в, У< — переменные, меняющиеся с изменением ориентации станции (а следовательно, и вектора w относительно орбитальной системы).
За уравнения движения центра масс станции С возьмем уравнения движения круговой задачи трех тел для системы Земля—Луна в введенной выше системе прямоугольных координат Oxyz. В правые части этих уравнений добавим проекции вектора реактивного ускорения w на оси орбитальной системы, отнесенного к абсолютному ускорению Луны. Координаты х, у, z также будем считать безразмерными, отнесенными к среднему расстоянию а между Землей и Луной. За независимую переменную вместо времени возьмем истинную аномалию Луны 9. Считая массу станции изменяющейся по экспоненциальному закону, с учетом сказанного получим следующие уравнения движения центра масс станции:
Прикладная математика и механика. Вып. 5, 2014
639
.. т дП , .. _. дП , .. дП
x - 2y - x =--+ wox, y + 2x - y =--+ woy, z =--+ wо ;
дх ду dz
1 (2) П = _ - l ri Г2
Здесь П — потенциальная энергия гравитационного поля Земли и Луны, ц — безразмерная масса Луны, отнесенная к сумме масс Земли и Луны, а r1 и r2 — безразмерные радиус-векторы центра масс станции относительно Земли и Луны соответственно, определяемые равенствами
r2 = (х - x¡)2 + у2 + z , i = 1, 2; x1 = , x2 = 1 - |
w — безразмерный модуль вектора реактивного ускорения, отнесенный к ускорению Луны относительно Земли.
Учетом в выражении для потенциальной энергии членов, возникающих вследствие изменения ориентации станции, следует, как известно [2, 3], пренебречь ввиду их ничтожного влияния на движение центра масс.
Для определения вращательного движения станции относительно ее центра масс воспользуемся динамическими уравнениями Эйлера
Ap + (C - B)qr = Mx (A, B, C; p, q, r; x\ y', z') (3)
с квадратами радиусов инерции А, В, С (постоянными) вместо моментов инерции A ,
B, C и проекциями р, q, r вектора абсолютной угловой скорости станции на оси связанной системы (их производные также взяты по истинной аномалии 9).
Положение связанной системы координат Cx'y'z' относительно вращающейся системы CXYZ будем определять углами Эйлера 9, ф, у, учитывая, что в кинематических уравнениях Эйлера к угловой скорости прецессии у нужно добавлять угловую скорость обращения Луны 0 (в выбранной системе единиц равную единице), т.е. при выборе в качестве независимой переменной угла 9 будем иметь
Р = [(у + 1) sin б sin Ф + б C°s ф]0
q = [(у + 1) sin б cos Ф - 6sin ф]0 (4)
r = [(У + 1) cos б + Ф
Будем считать, что линия действия вектора реактивного ускорения проходит через центр масс станции. Тогда, используя известные разложения [2, 3] потенциальной энергии твердого тела, находящегося в центральном силовом поле, получим следующие выражения для проекций гравитационного момента на оси связанной системы координат, входящих в правые части уравнений (4):
Mx = 3 (C - B)í Ц- Y12Y13 + Н3 Y22Y23)
V r3 r2 J (5)
(A, B, C; x, y', z'; 13, 11, 12; 23, 21, 22)
где y1f, y2i (i = 1, 2, 3) — направляющие косинусы радиус-векторов r1 и r2 относительно осей связанной системы Cx'y'z'. Выразим их через введенные выше направляющие косинусы связанных осей относительно осей вращающейся системы координат CXYZ.
Очевидно, эти косинусы можно получить из скалярных произведений единичных радиус-векторов r10 и r20 на орты в ex, ... связанных осей. Например,
* -х 1 га y z
Yii = rio= ai-+ pi¿ + Yi-
ri ri ri
(x1, у, z — координаты центра масс станции) и аналогично
Y и = + Р/ + YjZ, j = 2, 3 (6)
ri ri ri
Точно так же для y2j (j = 1, 2, 3) получим выражения, аналогичные выражениям (6) при замене r1 на r2.
Направляющие косинусы а,, в, Yi связанной системы координат относительно вращающейся CXYZ выражаются через углы Эйлера ф, у, 9 (принимаемые за обобщенные координаты вращательного движения станции) известными соотношениями [4]
ai = cos у cos ф - sin у sin ф cos 0, а2 = - cos у sin ф - sin у cos ф cos 0,
а3 = sin у sin 0
pi = - sin у cos ф + cos у sin ф cos 0, p2 = - sin у sin ф + cos у cos ф cos 0,
p3 = - cos у sin 0
Yi = sin ф sin 0, y2 = cos ф sin 0, y3 = cos 0
Покажем, что уравнения (2)—(5) поступательно-вращательного движения станции имеют семейства частных решений, которым соответствует множество положений относительного равновесия станции в орбитальной системе координат Oxyz. При этом центр масс станции при соответствующем выборе величины и направления вектора ускорения w может занимать произвольное (постоянное) положение в этой системе.
Ограничимся рассмотрением наиболее важных и интересных с точки зрения исследования и освоения окололунного пространства частных случаев, когда центр масс орбитальной станции постоянно находится на оси х орбитальной системы за Луной (с целью наблюдения, например, за ее невидимой с Земли стороной), т.е. будем считать, что его координаты удовлетворяют условиям
х* > i, y* = z* = 0 Как следует из системы уравнений (2), это, очевидно, возможно, если только
CTz = ст7 = 0, стх = ±i
т.е. если вектор w коллинеарен оси х. Связь его в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.