МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 539.3:534.1:550.3
© 2008 г. В.М. АЛЕКСАНДРОВ, Д.И. ЗАРУБОВ
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛИТЫ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ СЖАТИИ НА ДВУХСЛОЙНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ С НИЖНИМ СЛОЕМ, ПРЕДНАПРЯЖЕННЫМ СИЛАМИ ТЯЖЕСТИ
Исследована в плоской (плоская деформация) и осесимметричной постановках задача об устойчивости бесконечной упругой плиты под действием продольных сжимающих усилий, находящейся в двухстороннем контакте с упругим двухслойным полупространством. Верхний слой конечной глубины описывается обычными уравнениями линейной теории упругости, нижний геометрически нелинейный несжимаемый и бесконечный по глубине слой преднапряжен силами тяжести. Между слоем конечной глубины и нижним полупространством осуществлено полное сцепление. Предполагается, что такое же сцепление имеет место между верхним слоем полупространства и плитой при учете контактных касательных усилий.
Результаты могут найти применение при расчете работоспособности тел с покрытиями, слоистых композитов, в вопросах геофизики.
Ранее задача об устойчивости бесконечной упругой плиты при продольном сжатии, находящейся в условиях двухстороннего контакта с упругим основанием, рассматривалась в монографии [1] (основание Фусса-Винклера) и работах [2-4].
1. Исходные уравнения для полупространства. Верхний упругий изотропный слой конечной толщины H описывается обычными уравнениями Ламе
2 (1- v) graddiv u - (1-2v)rotrot u = 0 (1.1)
Здесь v - коэффициент Пуассона, u - вектор перемещения точек среды с компонентами и, v, w в декартовой системе координат x, y, z. К уравнениям (1.1) нужно добавить компоненты тензора деформаций, связанные с компонентами вектора перемещения формулами Коши
е x = д u/dx, е y = ди/ду, ez = dw/d z
д и ди д и dw ди dw (1.2)
lxy = ду + дх, lxz =д z + дх, lyz =д z + ду
а также компоненты тензора напряжений, связанные с компонентами тензора деформаций формулами закона Гука
ox = 2G ex + Х0, oy = 2 Ge y + X0, az = 2 Gez + X0
0 = ex + e y + ez (1.3)
Txy = GYxy, Txz = GYxV Tyz = GY yz
Здесь G - модуль сдвига, X = 2Gv/(1 - 2v).
Нижний слой представляет собой полупространство из несжимаемого геометрически нелинейного упругого материала, нагруженного силами собственного веса [5]. Эти силы создают в полупространстве гидростатическое напряженное состояние
о о 0 , . 0 „ .. /Л ..
on = о22 = О33 = -Y(p - Хз), Cij = 0 (i ф ]) (1.4)
где i, ] = 1, 2, 3; у = pg; р - плотность материала полупространства, g - ускорение свободного падения, p учитывает пригрузку от выше лежащей плиты и верхнего слоя, х3 < 0. В силу условия несжимаемости в напряженном состоянии (1.4) материал недеформирован.
На начальное напряженное состояние (1.4) накладывается малая деформация, вызванная воздействием плиты и верхнего слоя на границу полупространства. Общие уравнения, описывающие малые деформации предварительно напряженного несжимаемого тела, имеют вид [6]:
д0,к „ 0 dum ди,
4 = °' 0sk = -дХ-. дХ = 0 (1.5)
Здесь a°m - начальные напряжения, xk - декартовы координаты начального напряженного состояния, которое в данном случае является недеформированным, us - компоненты вектору добавочных перемещений ask - обусловленные ими малые приращения напряжений. По повторяющимся индексам в (1.5) подразумевается суммирование. Последнее уравнение в (1.5) - условие несжимаемости.
Для вычисления величин ask воспользуемся законом состояния изотропного несжимаемого упругого материала при конечных деформациях [6]:
amn = а1 Mmn - a2Nmn + aKn
д Xs д Xk (1.6)
Msk = дХ- JXrt , NskMkt = S«
Здесь Xs - декартовы координаты деформированного состояния, Msk - компоненты меры деформации Фингера, Nsk - компоненты тензора, обратного мере Фингера, 5st - символ Кронекера, a - первый инвариант напряжений, aj и а2 - некоторые функции инвариантов деформации. Полагая
X, = x, + u,, amn = al + е.. a = a0 + a
00 a1 = a1 + <a1. a2 = a2 + a2
и линеаризуя соотношения (1.6) в окрестности начального состояния X° = xs, получим
a mn = Ц(д Um 1д Xn + дХ. 1д Xm ) + Q^mn
0 0 ... a.8)
ц = a1 + a2. q = a1 - a2 + a
Здесь ц играет роль модуля сдвига. Для материала Муни [6], в частности, имеем aj = 2C1 = const, a2 = 2C2 = const, тогда a1 = a2 = 0 и ц = 2(C1 + C2). Подставляя далее (1.8) во вторую группу формул (1.5), найдем 0sk и, наконец, подставляя выражения
в5/с в первую группу формул (1.5), получим уравнения Ламе относительно компонент вектора перемещений и:
цАи5 + дХ(У - Уи3) = 0
' Э2 Э2 Э2 (1.9)
я = 1, 2, 3, и = (и,, и2, и3), А = —2 + —2 + —2
Эх2 Эх2 Эх3
Для замыкания системы уравнений (1.9) нужно добавить последнее соотношение (1.5) -условие несжимаемости
Э и1/Э х1 + Эи2/Э х2 + Эи3/Э х3 = 0 (1.10)
которое, кстати, было использовано для приведения уравнений Ламе к форме (1.9).
Формулы (1.9) и (1.10) образуют систему уравнений относительно неизвестных их, и2, и3 и у, после определения которых дополнительные напряжения находятся по формулам (1.8).
2. Исходные уравнения для плиты. Для случая плоской деформации лежащую на двухслойном полупространстве плиту будем описывать уравнениями
«,2 4 _• = - 3 (О,-02 ) - Т2 ± 3 (Т1 + Т2 )]
—Х (2.1)
4 2
4Ф НЪ—4 w* + 6 Нн—2 w* = 3 (о,- о2 ) + 3,—(т, + т2)
йх йх йх
Здесь Ф = С:/(1 - V!); С1 - модуль сдвига плиты; V! - коэффициент Пуассона; 2Н - толщина плиты; и* - тангенциальное перемещение по оси х верхней грани плиты; и * - перемещение по оси х нижней грани плиты; w* - нормальное перемещение граней плиты по оси г; О! и т1 - усилия, действующие на верхнюю грань плиты (О! - нормальное напряжение, направленное по оси г; Т1 - касательное напряжение, направленное по оси х); о2 и т2 - усилия, действующие на нижнюю грань плиты (о2 - нормальное напряжение, направленное по оси г; т2 - касательное напряжение, направленное по оси х). Уравнения
(2.1) получены отбрасыванием членов порядка Н2 и выше в правых частях уточненных уравнений изгиба плиты [7] и добавлением к левой части второго уравнения известного моментного члена вида 6Ннй^'*/йх2, где н - продольное сжимающее плиту напряжение, направленное по оси х. Критическое значение этого напряжения, приводящее к потере устойчивости конструкции плита - двухслойное полупространство надо определить в результате решения задачи.
Для случая осесимметричной деформации лежащую на двухслойном полупространстве плиту будем описывать уравнениями
2
4Ф Н — йг
г| А -1]и*
= - 3(о,-о2)-НйГГ[Х1-Т2 ± 3 (т1 + Т2 )],
А = —- + 1— (2.2)
йг2 гйг
3 2 3Н
4ФН Аы* + 6НнАw* = 3(о,-о2) + Г—Г[г(х, + х2)]
полученными отбрасыванием членов порядка h2 и выше в правых частях уточненных уравнений осесимметричного изгиба плиты [8] и добавлением к левой части второго уравнения известного моментного члена вида 6hnAw*, описывающего всестороннее
продольное сжатие плиты напряжением n. В формулах (2.2) u* - перемещение по оси r соответственно верхней и нижней граней плиты, Tk (k = 1, 2) - касательные усилия по направлению оси r, действующее соответственно на верхней и нижней гранях плиты. Величины ф, w*, о1 и о2 определены выше.
3. Запись всех основных уравнений плоских задач в трансформатах. Из уравнений (1.1) для плоских задач (и = 0) имеем
т/1 \d2u г. ЧЭ2u d2w n
2 (1-v) 57+(1-2v) дР+^Г0
(1 - 2 v) dw + 2 (,- v) íw + ll = 0 '
Будем искать решение уравнений (3.1) в виде
u(x, z) = U(a, z) sinax, w(x, z) = W(a, z) cosax (3.2)
и будем называть U(a, z) и W(a, z) трансформантами Фурье. Подставляя (3.2) в (3.1), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения по z:
(1 - 2v)U'' - 2( 1-v)a2U- aW' = °
2 (1- v) W" - (1 - 2v)a2 W + aU' = 0 Общее решение уравнений (3.3) можно представить в виде U = (c n + azc21) ch az + (c12 + azc22) sh az
(3.4)
W = (к c21 - c12- azc22) ch az + (kc22- cn- azc21) sh az, к = 3-4v
По формулам (3.2), (1.2) и (1.3) найдем трансформанты нужных в дальнейшем напряжений
G к-1'
Подставляя сюда U и W по формулам (3.4), получим
£z = к-^- [(к +1) W' - (к-3 )aU ], Txz = G (U'-aW) (3.5)
Zz = £czch az + £sz sh az
SCz = -a G( - к c22 + 2a zc21 + 2cn - c22) (3.6)
Ssz = -aG(-кc21 + 2azc22 + 2c12 - c21)
Txz = Tcxzch a z + Tsxz sh a z
Tcxz = aG(c21 + 2c12 + 2azc22 - кc21) (3.7)
Tsxz = aG ( c22 + 2 c11
+ 2azc21 - кc22) Из уравнений (1.9) и (1.10) для плоских задач (u2 = 0) имеем
д д u1 д u3
^Au1 + ddx1 (q - Уu3) = °, ¿dxr + ddx:3 = °
д д2 д2
^Au3 + --- (q - уu3) = 0, A = —- + —-
дxз дx2 дx3
(3.8)
Будем искать решение уравнений (3.8) в виде
u1(x, z) = U1 (a, z) sin ax, u3(x, z) = U3(a, z) cos ax q(x, z) = Q (a, z) cos ax Подставляя (3.9) в (3.8), получим три обыкновенных дифференциальных уравнения: |(-a2 UJ + Uj) - a( Q - j U3) = 0
||(-a2 U3 + U3') + Q-j U3 = 0 (3.10)
a U1 + U' = 0
Общее решение уравнений (3.10), убывающее при г можно представить в виде
(3.11)
U1 = (c1 + azd1) eaz, U3 = (d j- c1 - azd1) eaz
Q = [(2|ua + y)d 1- yc1 - azjd1 ]eaz По формулам (3.9) и (1.8) найдем трансформанты нужных в дальнейшем напряжений X13 = |( - a U3+ U1), X33 = 2|u U' + Q (3.12)
Подставляя сюда U1 и U3 по формулам (3.11), получим X3 = (2 ua + j)( - c, + d,- a zd,) eaz
3 111 (3.13)
Г13 = 2|j.a( c1 + azd1) eaz
С учетом того, что верхняя грань плиты свободна от усилий, то в (2.1) = = 0. Будем искать решение уравнений (2.1) в виде
u* (x) = U *(a) sin ax, w * (x) = W* (a) cos ax
(3.14)
a2(x) = X(a) cos ax, т2(x) = T(a) sin ax Тогда в трансформантах уравнения (2.1) примут вид -4 <M2a3 U * = -3 X + 4haT
3 4 2 '
4dh a W*-6hna2W* = -3X + 3haT
4. Уравнения осесимметричных задач. Из уравнений Ламе (1.1) для осесимметричных задач имеем
/1 о чл д9 _ . 1 Э ( э2
(1 - 2 v)A w + v -=-■- = 0, А = ---- Ir--- +—-dz rdrV or) d_2
0z (4.1)
.i т s(A u Л Э9 „ „ du u dw (1 -2v)l Au-- + v^ = 0, 9 = — + - + —
V r2) dr dr r dz
Здесь, как и выше, w - перемещение по z; u - перемещение по r. Будем искать решение уравнений (4.1) для слоя в виде
u(r, z) = U(a, z) J 1(ar), w(r, z) = W(a, z) J0(ar) (4.2)
где функции U(a, z) и W(a, z) будем называть трансформантами Ханкеля функций u(r, z) и w(r, z), Jn(x) - функции Бесселя. Подставляя (4.2) в (4.1) вновь придем к уравнениям в трансформантах (3.3).
Для нужных в дальнейшем напряж
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.