МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2008
УДК 531.01:629.195.2
© 2008 г. О.В. ХОЛОСТОВА
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКИХ КОЛЕБАНИЙ СПУТНИКА НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
Рассматриваются движения твердого тела (спутника) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на круговой орбите. Известно частное движение спутника, когда одна из его главных центральных осей инерции перпендикулярна плоскости орбиты, а сам спутник совершает вокруг этой оси плоские маятникообразные колебания. В предположении, что главные центральные моменты инерции A, B, C спутника удовлетворяют соотношению B = A + C, отвечающему тонкой пластинке, проводится строгий нелинейный анализ орбитальной устойчивости этого движения.
В плоскости параметров задачи - амплитуды колебаний е и инерционного параметра - существует счетное множество областей орбитальной устойчивости колебаний спутника в линейном приближении. Нелинейный анализ орбитальной устойчивости проводится в тринадцати таких областях. Осуществляется изоэнергетическая редукция системы уравнений возмущенного движения на уровне энергии, соответствующем невозмущенному периодическому движению. Далее при помощи алгоритма, разработанного в [1], строится симплектическое отображение, порождаемое уравнениями редуцированной системы, проводится его нормализация и анализ устойчивости. Рассмотрены резонансный и нерезонансный случаи. При малых значениях амплитуды колебаний исследование проводится аналитически, при произвольных значениях е применяется численный анализ.
Ранее нелинейный анализ устойчивости плоских маятникообразных движений спутника на круговой орбите в ряде частных случаев проведен в [1-4].
1. Постановка задачи. Рассмотрим движения твердого тела (спутника) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле. Считая размеры тела малыми по сравнению с размерами орбиты, примем обычные предположения о независимости движения центра масс спутника от его движения относительно центра масс. Орбиту центра масс спутника предполагаем круговой.
Введем орбитальную систему координат OXYZ, оси OX, OY и OZ которой направлены соответственно по радиус-вектору центра масс спутника, по вектору скорости центра масс и по нормали к плоскости орбиты. Введем также связанную со спутником систему координат Oxyz, ее оси совпадают с главными центральными осями инерции тела. Ориентацию связанной системы координат относительно орбитальной зададим при помощи углов Эйлера у, 0, ф.
Кинетическая и потенциальная энергия спутника вычисляются по формулам
T =1/2 (Ap2 + Bq + Cr2), П = 3/2 ю2 (Aa211 + Ba212 + Ca213) (1.1)
где A, B, C - главные центральные моменты инерции спутника, ю0 - угловая скорость движения его центра масс по орбите; p, q, r - проекции абсолютной угловой
скорости спутника иа оси связанной системы координат, определяемые соотношениями
p = \j/ a31 + 0cos ф + ra0a31, q = \ a32 - 0sin ф + ю0 a32, r = \\ a33 + ф + ra0a33 (1-2)
В (1-1) и (1-2) величины a^ и a3j (j = 1, 2, 3) - направляющие косинусы осей OX и OZ в системе координат Oxyz, вычисляемые по формулам
a11 = cos \ cos ф -sin \ sin ф cos 0, a12 = -cos \ sin ф -sin \ cos ф cos 0,
a13 = sin \ sin 0
a31 = sin ф sin 0, a32 = cos ф sin 0, a33 = cos 0 Введем канонически сопряженные импульсы
Р\ = дТ / д\\, p0 = д Т/Э0, рф = дТ/дф
Движения спутника относительно центра масс описываются каноническими уравнениями с функцией Гамильтона
„ _ 1 (sin2 ф cos2фYр\ - рфcos 0)2 1 (cos2 ф sin2 ф^ 2
H = 2I. "Х- + -F" J s^ + 1 + ~b~ JРе +
sin 0 (1-3)
(1 П . (Р\- Рфcos 0)Р0 1 рф 3 2,. 2 D 2 „2, + [A~B Jsin ф cos ф ^—¡-in0i--®o Р¥ + 2" с + 2 ®o(Xan + Ba12 + Ca13)
Пусть главные моменты инерции связаны соотношением B = А + C, т.е. спутник -тонкая пластинка, расположенная в плоскости Oxz. Не ограничивая общности, будем
считать, что C > А. Введем безразмерный инерционный параметр a = V3 (B -2 А) /B
(0 < a < V3). Граничные случаи a = 0 и a = V3 отвечают соответственно динамически симметричной пластинке (А = C = B/2) и тонкому стержню (А = 0, B = C) и далее рассматриваться не будут.
Обезразмерим импульсы при помощи множителя Bra0a и введем новую независимую переменную т = ra0aí. Функция Гамильтона (1.3) преобразуется к виду (для импульсов оставляем прежние обозначения, аддитивная постоянная отброшена):
„ 6- (3 + a2)cos2ф(Р\ - Рфcos0)2 6- (3 + a2) sin2ф 2
H = -2--2-+-2-Р0 +
3- a2 2 sin2 0 2 (3 - a2)
3 + a2_._________(Р\ - Рф cos 0)РX Р\ 3Рф 3 - -2
(1.4)
+--sin ф cos ф —--г------ +-"X-+
3-a2 sin0 a 3 + a2 4a2
2 CX „ _ 2 _ _2
3"
a12 + "T"(a13 - a11)
Система с гамильтонианом (1.4) имеет частное решение 0 = п/2, ф = 0, р0 = рф = 0, соответствующее движению пластинки в плоскости орбиты. Последнее описывается каноническими уравнениями с функцией Гамильтона
к = р2 /2- р¥/а - 1/4со82у (1.5)
которая после канонической замены переменных
у = #3/2, р¥ = 1/а + р3/2 (1.6)
может быть записана в виде
h1 = p3/2-cos q3 (1.7)
Гамильтониан (1.7) (или (1.5)) отвечает обычному математическому маятнику. Решение q3 = p3 = 0 системы с гамильтонианом (1.7) соответствует устойчивому положению равновесия маятника, а соотношения
q3 = q3(T) = 2arcsin[ksn(т, k)], p3 = p3(t) = 2kcn(T, k), k = sinе (1.8)
описывают колебания маятника в окрестности этого положения равновесия, происходящие с амплитудой е. В (1.8) использованы стандартные обозначения для эллиптических функций.
Целью работы является исследование орбитальной устойчивости плоских маятни-кообразных колебаний спутника-пластинки, происходящих в плоскости орбиты при произвольных (0 < е < п/2) значениях амплитуды и инерционного параметра.
2. Гамильтониан возмущенного движения. Одновременно с заменой (1.6) введем возмущения q, p, (j = 1, 2) по формулам
0 = п/2 + q i, ф = q2, p0 = pi/4, Pф = p2/4
В новых переменных гамильтониан (1.4) перепишется в виде
H = p 3/2 - cosq3 + H2 + H4+ ... (2.1)
2 2 2 (3 - a )(1 - cosq3) + (2 + ap3) 2 (3 + a )sinq3
H2 =-2-qi--2—qi q2+
2a a
(3 + a2)[(3- a2)(1 + cosq3) + (2 + ap3)2] 2 2 + ap3 +--q3+—q-p2+ <12)
(3 + a2)(2 + a p3) 3 2 3 2
+-2-q2 pI +-T pI +-Г p2
2a(3- a2) 4(3- a2) 4(3 + a2)
5 + a2 + 8ap3 + 2a2p\ + (3- a2)cosq3 4 (3 + a2) sinq3 3
H4 =-2-qi +-2— qiq2+
6a 6a
22 222 2
(3 + a )[ 1 + a + 4ap3 + a p3 + (3 - a )cosq3] 2 2 2(3 + a )sinq3 3
+-2-2-qi q2 +-2-qi q2 +
2a (3 - a ) 3a
(3 + a2)[7- a2+ 4ap3 + a2p2 + (3- a2)cosq3] 4 i 2 2
+-2-2-q2 + o qi p2+ (2.3)
6 a2 (3- a2) 8
5(2 + ap3) 3 (3 + a2)(2 + ap3) 2 3 + a2
+ —ir;— qi p2 +-2— qi q2 pI +-г qiq2 pI p2 +
i2a 4a( 3- a2) 4 (3- a2)
(3 + a2)(2 + ap3) 2 3 + a2 22 (3 + a2)(2 + ap3) 3
+-2— qi q2 p2--г q2 pI--2— q2 pI
2a( 3- a2) 8 (3- a2) 3 a( 3- a2)
В (2.1) многоточие обозначает совокупность членов не менее шестой степени относительно q1, q2, p1, p2.
Предельный случай е = 0 соответствует относительному равновесию q3 = 0, p3 = 0 спутника в орбитальной системе координат. Это положение равновесия устойчиво [5].
В его окрестности квадратичная относительно пространственных возмущений qj, р^ (] = 1, 2) часть функции (2.2) записывается в виде
„(0) 2 2 (3 + а2)(5 - а2) 2 1 3 + а2 3 2 3 2,„ .ч
Н2 = ---ql + -2 2 q2 + а 4 Р2 + -Г q2 Р1 + -—Р1 + -ТР2(2.4)
а2 а2( 3- а2) а а(3- а2) 4(3- а2) 4(3 + а2)
Характеристическое уравнение линейной системы с гамильтонианом (2.4) имеет две пары чисто мнимых корней +гю1, ±гю2, ю1 = 2/а, ю2 = 1/а. Унивалентная каноническая замена переменных q1, q2, р1, р2 ^ £2, п1, П2 по формулам
16 а 13 а й
q1 = 2J;—2п2, ?2 = * -—2^
2V3-а ^3 + а
3 + а2
2 2 „ 2
3 + а 3 - а 3 + а 3 + а 6 Pl=-» "ТГ^, Р2 = 2 ——-2-П2
(2.5)
3а 41 V 6а А/ 3а 11 3 3- а2)
приводит гамильтониан (2.4) к нормальной форме
г20) = 1/2 м1(^? + п2) +1/2 ш2(^2 + п2 ) (2.6)
Пусть теперь е Ф 0. При помощи унивалентной канонической замены q3,p3 ^ w, Iпо формулам [6]:
q3 = 2arcsin[ksn(Q-1w, k)], p3 = 2kcn(Q-1 w, k), Q = п/(2K(k)) (2.7)
где K(k) - полный эллиптический интеграл первого рода, перейдем в функции Гамильтона (2.1) к переменным действие - угол. В соотношениях (2.7) k = k(I), причем [6] I(k) = 8[E(k) - (1 - k2)K(k)]/n, где E(k) - полный эллиптический интеграл второго рода. В новых переменных часть (1.7) гамильтониана (2.1) имеет вид
Й1( I) = 2k2 (2.8)
а невозмущенное движение описывается соотношениями I = I0 = const, w = От + w0 (w0 = const).
Зададим возмущение r = I - I0 переменной действие и получим разложение гамильтониана (2.8) в ряд по степеням r:
й = Qr + f о(k)r2 + O(r3), f o(k) = -п2 [ E( k2) - ( 1 - k' ) K( k ) ] (2.9)
32k (1- k )K3 (k)
В (2.9) отброшена аддитивная постоянная и учтены соотношения
Эйх 3I
3k _ п ЭK _ E(k) - (1- k2)K(k)
Q,
= 0 Э/ 8 кК( кУ Эк к (1- к2)
Далее разложим функции (2.2) и (2.3) (в которых сделана замена (2.7) и введена переменная г) в ряд до членов четвертой степени включительно относительно q1, q2, р1, р2, |г|1/2. Перейдя затем к новой независимой переменной и = Ох, запишем гамильтониан возмущенного движения системы в виде
Н = r + #2(q1; q2, Р1, Р2, w) + H4(q1> q2> P1> P2> w) + O5
(2.10)
Я2 = Q 1 H20), H4 = Q 1 [ f0 (k) r2 + G20) r + H40)
G2 =
3H20)3q3 ЭН20)Э p3^ Эq3 3k Эp3 Эk
3k Э/
В (2.10) я20) и Н0) - это функции (2.2) и (2.3), в которых сделана подстановка (2.7); г + Н2 и Н4 - формы 2-й и 4-й степеней соответственно относительно величин q1, q2, p1, р2, |г|1/2 с 2п-периодическими по w коэффициентами.
На невозмущенном движении имеем q1 = q2 = р1 = р2 = г = 0. Задача об орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника эквивалентна задаче об устойчивости системы с функцией Гамильтона (2.10) по отношению к переменным q1, q2, р1, р2, г.
3. Исследование устойчивости в линейном приближении. 3.1. Условия орбитальной устойчивости и неустойчивости. Рассмотрим сначала линеаризованные уравнения
возмущенного движения, определяемые функцией Гамильтона г + Я2.
Учитывая, что в линейной системе йм/йа = 1, примем за независимую переменную величину м Для решения задачи об орбитальной устойчивости колебаний спутника в линейном приближении необходимо вычислить мультипликаторы линейной системы,
отвечающей функции Гамильтона Н2 (д1, q2, р1, р2, м). С этой целью стро
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.