Автоматика и телемеханика, № 11, 2014
Нелинейные системы
© 2014 г. А.И. ДВИРНЫЙ, канд. физ.-мат. наук (dvirny@mail.ru) ("ОХ Арктический университет Норвегии, Тромсе), В.И. СЛЫНЬКО, д-р физ.-мат. наук (vitstab@ukr.net) (Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев)
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
Установлены теоремы о существовании функций Ляпунова для однородных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Эти результаты применены к исследованию вопроса об устойчивости по нелинейному приближению критических положений равновесия нелинейных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Приведен пример системы второго порядка.
1. Введение
Исследование устойчивости критических положений нелинейных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием является актуальной задачей современной теории гибридных систем [1]. При исследовании этой задачи представляют интерес условия, при которых вопрос об устойчивости состояния равновесия решается на основе свойств укороченной однородной нелинейной системы. Аналогичная задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривалась в классических работах И.Г. Малкина [2], Н.Н. Красовского [3], В.И. Зубова [4]. При этом в основе такого решения лежит теорема об обращении теорем второго метода Ляпунова для этого класса систем. Доказательства этих теорем существенно опираются на свойство автомодельности однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно преобразования переменных х ^ ах. £ ^ (р - показатель однородности). Для однородной системы диффе-
ренциальных уравнений с импульсным воздействием указанное свойство ав-томодельности отсутствует. Поэтому доказательство теорем о существовании функции Ляпунова требует некоторой модификации. Для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием теоремы об устойчивости по линейному приближению доказаны в [5].
2. Существование функции Ляпунова для однородной системы
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с импульсным воздействием:
(2.1) ! = /(ж)'
Ах(Ь) = д(х(Ь)), £ = гк,
мерения /л, /л > 1 (/л = р, д - натуральные числа, д - нечетное число),
где ж е мга, / е С 1(Мга; Мга), д е С(Мга; Мга), £ е [а. а е М, {тк}%==1 - последовательность моментов импульсного воздействия, удовлетворяющая двусторонней оценке
0 < Тк+1 - тк < 02 < Предположим, что функции / и д являются однородными функциями из-т.е.
/ (\х)= Л»/ (х). д(Хх) = Л» д(х)
при всех х е Мга, Л е М.
Обозначим через х(Ь; £0,х0) решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (2.1), предполагая, что х(Ь; Ь0, х0) - непрерывная слева по £ функция. Решение х(Ь; Ь0, х0) существует, единственно и непрерывно зависит от х0.
Рассмотрим вопрос о существовании вспомогательной функции Ляпунова V(Ь.х) для системы (1) в случае, если состояние равновесия х = 0 является асимптотически устойчивым. В [4] аналогичный вопрос рассматривался для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Там же установлены условия существования однородной функции Ляпунова при условии, что решения однородной системы удовлетворяют некоторой априорной оценке.
Используя идеи из [4, 6], изучим вопрос о существовании функции Ляпунова для системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (в некотором смысле аналогичной однородной функции Ляпунова) в случае, когда состояние равновесия х = 0 является асимптотически устойчивым.
Наряду с системой (2.1) рассмотрим однопараметрическое семейство дифференциальных уравнений с импульсным воздействием:
(2.2) (1т ^ к Ау(т ) = е»-1д(у(т)), т = е»-1 тк.,
где у е Мга, е е (0.1] - параметр семейства, у(т; т0,у0,е) - решение задачи Коши для системы (2.2), у(т0; тз,у0.е) = у0.
Будем говорить, что для решений системы (2.2) выполняется априорная оценка, если существуют положительные постоянные а, а, т' и Г0, не зависящие от е е (0.1] и т0 такие, что при всех т ^ тз + т' и у0 е дВГ0 выполняется неравенство
(2.3) \\у(т;т0,у0.е)\\ < а(т - т0—.
Здесь обозначено ВГ1 = {х е Мга | \\х\\ < г1}.
Замечание. Нетрудно доказать, что выполнение априорной оценки для решений системы (2.2) при е = 1 с показателем а = влечет за собой выполнение априорной оценки (2.3) с тем же показателем при любом е е (0.1].
Теорема 2.1. Предположим, что состояние 'равновесия x = 0 системы (2.1) асимптотически устойчиво и для однопараметрического семейства систем (2.2) выполняется априорная оценка (2.3).
Тогда для достаточно большого рационального числа т (т = гуттуральные числа, r - четное число, s - нечетное число) и положительно определенной формы m-го измерения W(x) существуют функция V(t,x), положительные постоянные r\ и Yi, i = 1, 2, 3, такие, что выполняются оценки:
(2.4) Yi\\x\\m+1-11 < V(t,x) < Y2\\x\\m+1-11,
D+V(t,x) < -W(x), t = Tk,
(2.5) ( , ) (2-1) ( ), = k
V(Tk + 0,x + g(x)) < V(Tk, x), k e N,
(2.6) \V(t,x2) - V(t,xi)\ < Y3(\x2\ + \\xi\\)m-^\\x2 - xi\
при всех x, X\, X'2 € Bri.
Доказательство. Прежде всего напомним, что существуют положительные числа ni, i = 1, 2, такие, что при всех y e Мга выполняются неравенства
(2.7) ni\\y\\m < W(y) < n2\\y\\m.
Следуя [4, 6], рассмотрим функцию
(2.8) V(to,xo) = I W(x(s; to,xo)) ds + sup \\x(s; to,xo)\\m+1-^.
to
Докажем сходимость несобственного интеграла, входящего в правую часть
(2.8). Пусть хо G ВГ1 (п < г0) и обозначим ехо = ^ G (0,1], т0 = е^^о-Тогда
(2.9) x(s; t0,x0) = Xy(tx-1s; íx-1to, e-1xo, exo)-Поэтому
J W(x(s; to,xo)) ds = e^1 ^ J W(y(T; To,exlxo,exo)) dT =
то
"o+T'
/ W(y(T; To, e-o xo, exo )) dT + W(y(T; To, e-o xo, exo )) dT
\ то т0+т'
Используя стандартные рассуждения, основанные на обобщенной лемме Гро-нуолла - Беллмана [5], можно показать, что существует положительная постоянная Мт/, не зависящая от е € (0,1] и зависящая от т' такая, что при всех т € [т0,т0 + т'] выполняется неравенство
(2.10) \\у(т; т0,у0,е)\\ < Мт, \\уо\\.
Поэтому вследствие (2.7) справедлива оценка
т0+т'
I W(у(т; тс, e-1xo, ехо)) dr < г'И?щт?.
W (у(Г ; гс,<~ /rmm jm
то
Из априорной оценки (2.3) следует, что при ша > 1 выполняется неравенство
J W(y(T; то, б-Ч, ехо)) dr < {T,)ma-T{ma _
то+т'
Таким образом, сходимость несобственного интеграла в правой части (2.8) доказана. Покажем конечность величины sup ||x(s; tc,xc)\m+1—1. Действительно, из априорной оценки (2.3) и неравенства (2.10) следует неравенство sup ||x(s; tc,xc)\r+1—1 = sup \\y(r;тс, е—txc, бхо)\m+1—1 <
s€[to,+ro) т €[то,+те)
( am+1—i
^ e™+Wt max
(r')a(m+1—i) J
Таким образом, функция о,Хо) определена при всех (1о,Хо) € [а, +оо)хВГ1. Отметим, что из приведенных оценок фактически следует неравенство
V(¿0,Хо) < 72 Ужо
где 72 - положительная постоянная.
Непосредственно из определения (2.8) функции V(Ьо,хо) следует неравенство V(¿о,хо) ^ ||жо|Г+—.
Существование верхней производной Дини D+V(Ь, ж) вдоль решений системы дифференциальных уравнений (2.1) при Ь = тк и выполнение оценок (2.5) фактически доказано в [6].
Полученные оценки (2.4)-(2.5) для функции V(Ь,х) и общие теоремы метода сравнения [7] позволяют несколько уточнить оценки для решений системы (2.1). Зафиксируем число то настолько большим, чтобы оценки (2.4)-(2.5) для функции V(Ь,х) выполнялись при т = то. Теорема сравнения из [7] позволяет установить оценку
V(Ь,х(Ь; Ьо,хо)) < и + (Ь; Ьо^(¿о,жо)),
где и + (Ь; Ьо,ио) - верхнее решение задачи Коши для дифференциального уравнения с импульсным воздействием
dU щ
dt m0 .Ump+i-^t), t^Tk,
то+1-м 12
AU (t) = 0, t = rk,
которое фактически является обыкновенным дифференциальным уравнением. Обозначим т?з = ?пд , тогда
>2
1
1
< ы (ъ1-" + цхог-1^ - *>>) ^
\ то + 1 — р /
Обозначим »уд = , тогда последнее неравенство можно представить в
виде
(2.11) \\х(Ь• го,хо)\\ < ъ\Ы\\( 1 + (ъ\Ы\Г-1 (ь — го)
1
1-м
Докажем, что число т можно увеличить так, чтобы выполнялось неравенство (2.6). При этом, не умаляя общности, можно считать, что Ьо ^ т1. Действительно, с учетом того, что х(в; Ьо,Хг) ^ 0, г = 1, 2, при в ^ и утверждения леммы 3.3 из [6] получим оценку
\У(Ьо,Х2) — V(Ьо,Х1)\ ^У (х(в• Ьо,Х2)) — Ш(х(в• Ьо,Х1))\йв+
Ьо
+ 8ПР \\\Х(в; Ьо,х2)\Г+— — \\Х(в; Ьо,Х1)\Г+1-% зе[Ьо,+ж)
Применяя формулу конечных приращений, получим Ш(Х(в• Ьо,Х2)) — Ш(Х(в• Ьо, Х\)) =
(2.12) } ( дШ \Т дХ
= I о,хв))) — («; Ь0, хв) <№{х2 - хг),
о
где Хв = Х1 + в(х2 — Х1), в € [0,1]. Прежде
всего отметим, что матрица Якоби 3(Ь,Ьо, х$) — (Ъ Ьо,хв), З (Ьо,Ьо,хв) = I, при Ь ^ Ьо удовлетворяет линейной системе дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (системе уравнений в вариациях [5]):
йЗ д/, , .. т . да
А 3 = —(х(Ь]Ь0 ,хв))3, í = тк.
Пусть
£ € Мга, \\е\\ = 1 и Ш(1) = \\З(Ь,Ьо,хв)£\\2,
= йир 1Ы1 = 1
д/
дХ
П5 = йИр 1Ы1 = 1
дд
дХ
тогда
йш
дх
< 2
дГ
дх
дх
(х(Ь; Ьо,хв)) ||^||2 <
< 2щЦх(1; Ьо,хв)Г-1 ш(Ь), Ь = тк,
дх
дх
< 1 +
дх
(х(тк; Ьо,хв)) ) ш(тк) ^ (1 + Ц5Цх(тк; Ьо,хв)Г 1 )2ш(тк)
Применяя к функции ш(Ь) стандартные рассуждения, связанные с методом сравнения, получим неравенство
У(Ь,Ьо,хв)|| <
С г ] N(*о,г)
< ехр< П4 ||х(з; Ьо,хв)Г-1 ¿Л Ц (1 + П5Цх(тк; Ьо,хв)Г-1) <
к=1
N(*о ,*)
< е^ |Мз; ^о-хв* + » Е ^к, 4о, хв
I *о к=1
где Ж(Ьо,Ь) = §{{ткП (Ьо,Ь)}. Знак \ обозначает мощность данного множества.
Применяя неравенство (2.11), получим оценки:
[ ||х(з;Ьо,хв)Г-1 йз < (ЪЦхв||Г-1 /
йв
N (*о,г)
*0
1 + п'з(ъЦхв||)^-1 (з - Ьо)
= \п(1 +^(ъЫГ-1 а-г0)),
По ^ ^
N (*о,г)
Пз 1
<
к=1
(
N (*о,г)
1+
1
к= Тк
йв
\
V
к=2
=2 тк - тк-1 .} 1 + п3(ъЦхв||)^-1 (з - Ьо)
тк-1
1
<
/
< ЫЫ1Т-1 + -^1Ы1 + т/3ЫЫГ-1Ыш)-ь>)) <
< (272Г1г-1 + ^т1П(1 + ^(72 Пз
— (Ь -
(Ь - Ьо)).
2
г
Последнее неравенство формально справедливо при всех Ь ^ Ьо, если дополнительно принять, что при N(Ьо,Ь) = 0 сумма в пределах от единицы до N(Ьо,Ь) равна нулю.
С учетом этих оценок находим, что
У4в1 + УЬ
Поскольку функция ствует положительная постоя
является однородной порядка т — 1, то суще-нная Пб такая, что
дШ
дХ
(Х)
^ Пб\\х
Г1
Поэтому из представле
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.