ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 5, с. 137-149
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 629.78
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ В СИСТЕМАХ СТАБИЛИЗАЦИИ СПУТНИКОВ С УПРУГИМИ СТЕРЖНЯМИ*
© 2007 г. Д. К. Андрейченко, К. П. Андрейченко
Саратов, СГТУ Поступила в редакцию 18.07.06 г., после доработки 09.01.07 г.
Составлены системы дифференциальных уравнений возмущенного моментом внешних сил движения спутников с упругими стержнями, содержащими на концах абсолютно жесткие тела. Выполнено моделирование предельных циклов и переходных процессов в нелинейной системе управления с учетом времени запаздывания в газореактивных двигателях. На основе доказанной ранее теоремы об устойчивом квазимногочлене предложен метод строгого исследования устойчивости предельных циклов.
Введение. Известно исследование [1, 2] движения спутника с упругими стержнями и орбитальной конструкции [3] с выносной двигательной установкой. В [4] на основе теории комбинированных динамических систем [5] развит метод ^-разбиений и выполнено изучение областей устойчивости систем стабилизации спутников с упругими стержнями и орбитальной конструкции с выносными двигателями в пространстве параметров обратных связей с учетом возможного времени запаздывания в газореактивных двигателях. При этом установлено, что наличие времени запаздывания существенно уменьшает области устойчивости за счет дестабилизации управляемой деформируемой конструкции по высшим формам колебаний.
В случае, если параметры обратной связи не принадлежат области устойчивости, развитие малых возмущений может привести к автоколебаниям и возникновению предельных циклов. Как показывают результаты моделирования развития малых начальных возмущений, фазовые траектории сначала достаточно быстро притягиваются одним из предельных циклов, но со временем могут покидать его окрестность. В предлагаемой работе на примере спутников с упругими стержнями и с нелинейной газореактивной системой стабилизации показана принципиальная возможность использования методов [5] для исследования устойчивости периодических движений комбинированных динамических систем (КДС). При этом предполагается, что движение континуальных элементов описывается линейными уравнениями в частных производных с не зависящими явно от времени коэффициентами, а движение дискрет-
ных элементов - нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом.
1. Уравнения движения спутника с упругим стержнем и закрепленным на его конце телом. Рассмотрим (рис. 1) плоское движение относительно орбитальной системы координат абсолютно жесткого спутника с моментом инерции и массой тс под действием возмущающего момента Ь, с жестко закрепленным на расстоянии а от центра массы спутника прямолинейным однородным упругим стержнем, несущем жестко закрепленное на противоположном конце абсолютно жесткое тело с массой т1 и моментом инерции J1. Уравнения движения данной системы в безразмерной форме (выбор безразмерных переменных и параметров обоснован в [4]) имеют вид
* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых и по государственной поддержке ведущих научных школ (грант < МД-2328.2005-1)
Jca = Ь - /(w((- т)) + Ьо - аЫ0,
t
w (t) = Ь1 а (t) + Ь2 а( t) + Ь3 |а(^) ^,
о
тсУс = N0, J1 (а + а) = Ьь т1 [УС + У - (1 + а )а ] = N1,
у(г, t) + Ус - (а + г )а = = -(у""(г, t) + у у""(г, t)), г = 0: у(0, t) = у'(0, t) = 0, г = 1:у(1, 0 = У1 (0, у'(1, t) = -а (t), Ь0 = - у" (0, t) - уу"( 0, t), N0 = - у'" (0, t) - уу'" (0, t), Ь = у"(1, t) + уу"( 1, t), N1 = у"'( 1, t) + уу)'''( 1, t),
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
и
Рис. 1.
t < 0: а(t) = а(t) = а 1 (t) = (а1 (t) = ус(() = = Ус(t) = У1 (t) = у (t) = у(г, t) = у(г, t) = 0.
(1.6)
Здесь - некоторая функция, описывающая нелинейность типа насыщения, Ъ1, Ъ2, Ъ3 - коэффициенты обратных связей, ( )' = Э( )/дг, ( ). = Э( )/9t. Примем далее
Х^) =
что соответствует нелинейности типа насыщения.
Линеаризация в окрестности состояния равновесия приводит (1.1) к виду (уравнения (1.2)-(1.6) при этом не изменяются)
Jcа = Ь - Ъ1 ((t - т) - Ъ2а(t - т) -
- Ь
I а(^)^
+ Ьо- аЫо.
(1.1а)
Области устойчивости линейной КДС (1.1а), (1.2)-(1.6) в пространстве параметров обратных связей Ъ1, Ъ2, Ъ3 из [4] подробно исследовались на основе предложенных в [5] теорем об устойчивом квазимногочлене и об устойчивых, неустойчивых и асимптотически устойчивых квазирациональных дробях, а также предложенного в [4] варианта метода ^-разбиений. Следует отметить, что наличие малого запаздывания т резко ограничивало области устойчивости за счет дестабилизации управляемой деформируемой конструкции по высшим формам колебаний.
Модельные уравнения, описывающие динамику спутника [4] с выносными двигателями на упругих стержнях (рис. 2), могут быть представлены как
Jc а = Ь + 2Ь0-2аЫ0, ^(а + а1) = Ь1, (1.7) Ш1 [у\- (1 + а)а] = Лw(t- т)) + N1,
г (1.8)
^(t) = и1(((t) + п2а(t) + п3 !а(^)d£,,
0
У(г, t) - (а + г)а = -(у""(г, t) + (уу)''''(г, t)), (1.9) г = 0: у(0, t) = у'(0, t) = 0, г = 1: у(1, t) = Уl(t), у'(1, 0 = -ах(0, Ьо = - у" (0, t) - у у"(0, t), N0 = - у"'(0, t) - уу"'(0, t),
Ь1 = у"(1, t) + Уу"( 1, t), N1 = у'"(1, t) + уу'"( 1, t), t< 0: а(t) = а(t) = а^t) = аа1(t) = = уЛ t) = 3>1( t) = у (г, t) = Я г, t) = 0.
Линеаризация первого уравнения в (1.8) в окрестности состояния равновесия приводит его к виду (остальные уравнения при этом не изменяются)
т\[у1 - (1 + а )а ] = N1 + п1а (t - т) +
(1.10)
+ п2а(t- т) + п3 | а(£)^.
(1.8а)
Области устойчивости линейной системы (1.7), (1.8а), (1.9), (1.10) в пространстве параметров обратных связей щ, п2, п3, подробно исследовались в [4], где показано, что система стабилизации орбитальной конструкции с выносными двигателями на упругих стержнях имеет ограниченные и весьма малые области устойчивости.
2. Предельные циклы по методу гармонического баланса в высших приближениях. В случае, если параметры обратной связи не принадлежат
г - т
0
г - т
области устойчивости, при нахождении приближенных 2п/ю-периодических решений уравнений (1.1)-(1.6) полагаем Ь(0 = 0,
/ Х""4 / -гпюК
а( t + а_„в ),
п = 1
ус(t)» £(у
п = 1
, Х-* , (1) гпю^ (1) -inюts
М t) ~ I (аП е + а-Пе ),
об устойчивости предельных циклов
г
139
(с) гпю^ (с) -гпсок
е + у:„е ),
п = 1 N а
, Х-1 , (1) znюt . (1) -гпюк
у1( t) ~ I (уп е + у_„ е ),
- (с) -(с) (1) -(1) (1) -(1)
а-п = ап, у-п = уп , а-п = а , у-п = уп ,
/ X™4 / / \ гпю^ / ч -гпюtч
у(г, t)®^(уп(г)е + у^(г)е ),
п = 1
у-п (г) = уп( г), (2.1)
>( t) = Ь1 а (t) + Ь2а( t) + Ь3 |а( t) Л =
w (
= Wо +
п = 1
> , ■ > , и3 1 гпю t
Ь2 + гпюЬ, +- апе
2 1 гпю)
, I 7 7 ^3 1 -гnюt-,
+ Ь2- гпю Ь--а-пе ].
1 2 1 гпю) п
Из (2.1) следует, что управляющее воздействие /1^0] является 2п/ю-периодической функцией времени и, следовательно,
/ [ W (t)] = I /п
2п/ю
/п = 2ю 1 /^ (t)] е"""^ =
0
= /п(ю, w0, Яеа1,1та1, Яеа2,1та2, ..., Яеа^ , 1таы ).
Jv а Jvа/
Выражения (2.1) позволяют удовлетворить уравнениям движения (1.2)-(1.5) (в силу их линейности), при этом уравнения относительно ап1',
уПс) , у('п), уп(г) аналогичны [4] при X = Хп = гпю и приводят к следующему результату
г а1
Рис. 2.
фу1 (Хп К + фу2(Хп )ап] + фу3 (Хп )уП1) +
+(Хп) уПс ) = 0, (2.2)
Хп = гпю, п = ±1,±2, ..., ±Nа, V = 2...4;
ф21 (X) = -Ц21Х2, Ф22(Х) = -( 1 + УХ)^22,
Ф23(X) = -( 1+ УХ)^23, Ф24(X) = тсХ2- ^24,
Ф31 (X) = (J1- ^31 )Х , Ф34(X) = -Ц34, ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ < 5 2007
N
а
п = 1
N
а
п--га
Ф32(X) = J1 X - ( 1 +
Фзз(^) = -(1 + 7^33,
ф41 (X) = -[m( 1 + a) + Ц4 ]^2,
Ф42(^) =-( 1+ 7^42,
Ф43(^) = ш1X2- ( 1 + У^)^43, Ф44(X) = Ш1Х2- Ц44,
Цуу = [ k (X)], V, j =1 .„4,
к (X) = ein /4Д( 1+ yX)-
(2.3)
-1/4
|vl( к) = a к) + (к), V = 1.4;
(1) —2 цЦ (к) = к (chк - cos к - shк sin к)/с( к),
к) = к~3[ к( ch к -cos к) -sin к( ch к -1) + + sh к(cos к - 1)]/с( к), ц12 (к) = к (sh к - sin к)/с( к),
ц13( к) = к2 (ch к -cos к)/с( к),
Цм( к) = -цГЛ к), Ц22 (к) = - Ц 13 (к), ц21)( к) = к-1 [ sin к (ch к - 1) + + sh к(cos к - 1)]/с( к),
(2),
(2.4)
особенностей в правой половине и на мнимой оси комплексной плоскости (X). Легко проверить
lim X Vj|V,-[к(Х)] = bVj = const,
(2.5)
ReX> 0, V, j = 1...4;
bii = ay1/2, P11 = -1/2, bi2 = bi3 = 0, Pi2 = P13 = 0, bi4 = -y-1/2, Pi4 = 1/2, b2i = (1 + i>Y1/4/V2,
P21 = -1/4, b22 = b23 = 0, P22 = P23 = 0, b24 = 72 y-3/4, P24 = 3/4, b31 = -ijl Y3/4, P31 = -3/4, b32 = -72 Г1/4, P32 = 1/4, Ьзз = b34 = г1/2, Р33 = Р34 = 1/2, b41 = (a + 1)72 Y1/4, P41 = -1/4, b42 = y-1/2,
P42 = 1/2, b43 = b44 = 72 r3/4, P43 = P44 = 3/4,
(2.6)
[ к (X)] = [ к (X)].
Приближенное выполнение уравнения (1.1) на основе метода гармонического баланса в высших приближениях приводит к условиям
/0 = 0,
(2.7)
„(1)
Ф*3^) y™ +
tX
(2.8)
ц2?( к) = к 2[ ch к -cos к - к (sh к + sin к) +
+ sh к sin к ]/с( к),
3
Ц23 (к) = -к (sh к + sin к )/с( к),
Ц24( к) = -ц21)( к), ц31)( к) = -ц11)( к),
ц32\к) = к~3[( 1 - ch к) sin к + + (cos к + к sin к - 1) sh к ]/с( к),
Ц32 (к) = к( ch к sin к - sh к cos к)/с( к),
Ц33 (к) = к sh к sin к/с( к),
М к) = ц11)( к), ц41)( к) = ц21)( к),
Ц42 (к) = Ц33 (к), Ц44( к) = -ц21)( к),
(2) —2 Ц41 (к) = к (cos к - ch к + к ch к sin к +
+ (к cos к - sin к) sh к)/с( к),
Ц43 (к) = к (ch к sin к + sh к cos к)/с( к),
с( к) = ch к cos к - 1.
Функции ц/к), V, j = 1... 4, аналитичны в окрестности точки к = 0 и при конечных у > 0 не имеют
Ф* (X„ )a„ + ф*2 (X„ К
+ X^*4(X„ )УС) = -r-fn,
Xn = inro, n = ±1, ±2, ..., ±Na;
где ф*1 (X) = X2(JC + ац21 - Цп), Ф*2(X) = (1 +
+ yX)(a|l22 - Ц12), Ф*3(X) = (1 + yX)(a|l23 - Ц13), Ф*4(X) = = ац24 - ц14, mVj = цДкЯ)], V = 1, 2, j = 1.. .4. Исключая
величины а^', уПс), уП) из (2.2), (2.8), находим
a Q (Xn) -tX
an = - - e fn
Xn = inro,
D*(Xn)
n = ± 1, ±2, ..., ± Na; Q(X) = det{фVj(X)}, V = 2.4, j = 2.4,
Ф*^) Ф*2 (X) Ф*3 (X) Ф *4 (X) Ф21 ( X) Ф22(X) Ф23 (X) Ф24( X) Ф31^) Ф32(X) Ф33 (X) Ф34( X) Ф41 ( X) Ф42(X) Ф43 (X) Ф44( X) .
(2.9)
D* (X) =
Воспольз
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.