об устойчивости прямых алгоритмов расчета
15
ния и(0 е и Vt е 10 существует непрерывно и единственно расширенное (в смысле Каратеодо-ри) решение x(t) = х(^ ^, х|, и(ф задачи Коши х = , х, и), х(^) = х|.
Примем инъективное отображение ф: Т —► Я" за желаемый маршрут движения системы, синтезированный аналитически (например, кинематически). В расширенном фазовом пространстве Т X Я" функция ф(-) представляет желаемую интегральную кривую системы (1.1) - ее "траекторию" или "маршрут". Окрестность П£(ф(-)) желаемой траектории ф(-) в пространстве Т X Я" определим следующим естественным образом:
й£(ф(•)) = Ш, х): t е Т, ||х - ф(t)||Я„ < X}.
Пусть аналитически синтезированный желаемый программный закон движения динамической системы ф: Т —► Я" вычислен в результате ошибок исходных данных лишь с точностью до некоторого подмножества О в расширенном фазовом пространстве Т X Я". Таким образом, вместо желаемого задающего воздействия ф(-) в расчетах используется лишь некоторая его реализация у(-) е О. Будем предполагать, что семейство производных функций у(-) е О равномерно ограничено на отрезке Т.
Допустим теперь, что некоторый функционал $ = $(ф(0, д) определяет критерий качества регулирования. Здесь д е Р$ с Яг - вектор числовых параметров функционала из области Р$ пространства Яг. Пусть по условию задачи при любых определяемых ее постановкой значениях параметров функционала д е Р$ в процессе функционирования системы допустимы лишь значения целевого критерия $ из заданного замкнутого промежутка к0 вещественной оси: $(ф(1;), д) е к0, Vt е Т.
Будем предполагать, что по допустимому интервалу к0 значений критерия качества $ и априорным оценкам возмущений его параметров д е Р$ вычислена такая окрестность П£(О; к0, Р$) заданного множества О реализаций у(-) желаемого маршрута ф(-), что если действительная траектория управляемой системы во все время ее функционирования остается в этой окрестности, то требование $(ф(1), д) е к0 выполняется. Окрестность П£(О; к0, Р$) принимаем за "трубку точности" исполнения маршрута ф(-) и будем кратко обозначать = ПХ(О; к0, Р$).
Сформулируем во введенных терминах задачу программного управления по задающему воздействию ф(-): для окрестности П2(О; к0, Р$), любой
численной реализации у*(0 е О маршрута ф(-) и любого начального состояния х0 е О0 системы
(здесь О0 - сечение области О в момент требуется вычислить такое программное управление, н*(-) = и*(-; х0, у*(0) е П, при котором желаемое задающее воздействие ф(0 исполнялось бы с точностью до окрестности с Т X Я" на всем промежутке времени функционирования системы Т = /]. Положительное решение маршрутной задачи, полученное в [3] прямым методом, обуславливает наличие следующего свойства системы:
(1.2)
О; к0; Р$) ^* е О Vx0 е О0 Бы* е П Vt е Т (х(t; и*, t0, х0) е П^),
где П - сечение множества в момент t.
Расчет прямым методом закона управления ы(-), решающего маршрутную задачу (1.2), производится в два этапа. На первом этапе по подмножеству О, определяемому точностью значений исходных данных для численной реализации аналитически синтезированного желаемого маршрута ф(-), по допустимому интервалу к0 значений критерия качества $ и по априорным оценкам возмущений его параметров д е Р$ вычисляется непустая "трубка точности" исполнения желаемого маршрута ф(-). В алгоритмизируемой ситуации расчет "трубки точности" производится с использованием свойств нормы функционала [5, с. 401]. В неалгоритмизируемом случае оценка области допустимых отклонений регулируемого процесса от задающего воздействия может производиться методами теории искусственного интеллекта [6].
На втором этапе для любого начального состояния х0 системы из сечения О0 и любой реализации у*(0 е О вычисляется управляющее воздействие ы*(0, удерживающее регулируемый процесс в окрестности Формирование управляющего воздействия ы*(-) достигается с позиции свойства управляемости конечного множества пар точек "маршрута" у*(0 [3].
Важным для практической реализации предлагаемого подхода является способность системы программного управления сохранять необходимое качество регулирования при возмущениях параметров системы. Эта параметрическая грубость процесса управления по необходимости связана с таким качественным свойством вычислительного метода, которое определено А.Н. Тихоновым [1] как устойчивость (неустойчивость) процесса решения по отношению к малым изменениям исходных данных. В вычислительной математике для характеристики такого свойства алгоритма используется также термин "хорошая (плохая) обусловленность" [7]. В [4] установлена хорошая обусловленность прямого алгоритма расчета про-
граммных управлении, определяемого эквидистантными разбиениями промежутка [t0, tf].
2. Задача устойчивости прямого алгоритма. В
статье исследуется своИство устойчивости прямых алгоритмов для разбиений общей структуры. Положительные результаты будут означать распространение своИства устойчивости к малым изменениям исходных данных метода H.H. Кра-совского расчета программных управлении в линейных системах [5] на предлагаемый прямоИ метод расчета программных управлении для нелинейных систем.
Введем в рассмотрение разбиение отрезка T = [t0, t] как множество элементов Ts конечноИ линеИно упорядоченной последовательности моментов времени: t0 = т0 < т1 < ... < тк = tf, к е N. Величину
р = ша^(т, - т,-1)
s е 0, к -1
назовем параметром разбиения. Всевозможные конечные разбиения с одинаковыми параметрами
будем обозначать тр = {тгр : Vsi е 0, kpi, i е I},
где I - бесконечное множество индексов. Когда величина р > 0 пробегает все возможные значения р = т - т0, Vt е (т0, Tf], разбиения тр, образуют множество
Ш = U тр
р е (0, AT ], i е I
всевозможных конечных разбиениИ промежутка T. Положим по определению в "поточечном" разбиении значение р = 0 и m0 - единственное бесконечное разбиение. Множество разбиениИ, расширенное присоединением поточечного разбиения m0, будем обозначать Ш = Ш u m0.
ПредложенныИ в [3] "прямой алгоритм" вычисления программных управлениИ определяет некоторую конечную последовательность двухточечных нелинеИных краевых задач с парами событиИ
{(тгр st, ¥(тгр st)), (тр п, ¥(тр rt))} в качестве краевых условиИ. Здесь моменты времени тр < тр определены конечным разбиением тр промежутка T, на котором задан программныИ маршрут, а состояния тр ), тр ) в эти моменты - реализациеИ
программного маршрута у(0. Программное управление, решающее маршрутную задачу, формируется из решениИ краевых задач указан-ноИ последовательности. Таким образом, прямоИ
алгоритм есть функция (у(0, тр) —► Л(у(0, тр) двух переменных, определенная на множестве
G х Ш: разбиением тр и выбранноИ реализациеИ у(-) задается конечное множество краевых усло-
виИ тр), на котором определяется последовательность краевых задач; из решений этих задач составляется искомое решение маршрутной задачи [8]. Всю процедуру решения маршрутной задачи, подробно описанную в [3], символически запишем как Л(у(0, тр). Алгоритм Л(у(-), тр) для фиксированной реализации у(-) и разбиения тр
будем кратко обозначать Лр (у(0). Отметим особенность конструкции прямого алгоритма: будучи определенным как отображение на множестве реализаций у(-) е О желаемого маршрута
ф(-), он сам через краевые условия тр) индуцирован своим аргументом-реализацией у(-) е О.
При различных разбиениях тр е Ш алгоритмы образуют семейство функций, зависящих от аргумента тр. При фиксированном маршруте у(-) семейство алгоритмов будем обозначать Л =
= {Лр: тр е Ш }. Поскольку управление, вычисленное по прямому алгоритму Лр, при заданных начальных условиях однозначно определяет интегральную кривую ("траекторию") системы
(1.1) х(% тр) = Лр^(0, рассмотрим ее в качестве значения алгоритма-отображения. Для сокращения записи введем х(0 = %(•, тр).
Пусть у*(0 - некоторая опорная реализация желаемого маршрута ф(-) и тр* е Ш - опорное
I*
разбиение промежутка Т. Тогда Лр * - алгоритм расчета управления и*(-), обеспечивающего при невозмущенных значениях опорных параметров движение объекта по реальной траектории х*(0 =
= х(% тр*) = Лр* у*(0 системы (1.1) внутри окрестности Такую траекторию х*(0 - образ маршрута у*(0 - будем называть исполняемой траекторией. Все множество исполняемых траекторий
{х(% тр): тр е Ш }, являющихся значениями алгоритмов Л: (у(0, тр) —► х(% тр) на множестве
{у(0} х Ш, обозначим
Исследуем поведение семейства траекторий определяемых возмущенными значениями
тр е Ш опорного разбиения тр* и возмущениями-деформациями у(-) е О опорной реализации у*(0 при сходимости возмущенных разбиений тр
I*
к опорному разбиению тр* (см. разд. 3). Указанное поведение семейства траекторий изучим
об устойчивости прямых алгоритмов расчета
17
вблизи (по метрике равномерной сходимости в пространстве Сх(.)([г0, у], Я")) исполняемой траек-
I *
тории х(-, тр*), индуцированной программным управлением н*(-).
п/ i j ч i j
ние D(тр, та) между подмножествами тр и та определим по Хаусдорфу
D(тр, тJc) = шах< шах min т'р.,. - т]а,
УстоИчивость алгоритма Лр* относительно
и i — i *
возмущениИ тр опорного разбиения тр* при фиксированной реализации у*(0 (в этом случае будем говорить об "узкой задаче устойчивости") гарантируется своИством его непрерывности в
точке тгр* как функции аргумента тгр. Последнее своИство обеспечивается поточечной сходимостью по аргументу тр значениИ x(% тр) е * алгоритма Лгр = Л(у*(тр)) и совпадением предела значениИ
lim x(•, тр)= lim Лгрш*(•)
i i* v ' р/ i f рТЧ/
шах
min 1трpt - TaJ
алгоритма Лр со значением х(% тр*) = Лр* у*(0
А '*
невозмущенного алгоритма Лр*.
Свойство устойчивости в "расширенной по-
„ I*
становке - при возмущении и параметра тр*, и
заданной численной реализации у*(0 желаемой программной траектории ф(-) - обеспечивается свойством равномерной сходимости по параметру
семейства алгоритмов Л =
т
р при тр
тр*
^е °> е °> к
Введем в множестве Ш метрическую топологию, определив окрестность Уё[ тгр] разбиения тр е
е Ш как множество элементов т^, находящихся от точки тр на расстоянии, меньшем ё: Уё[тр] = = {т]а : Б(тр, т]а) < ё, ё > 0}
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.