ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 1, с. 96-109
УДК 517.924
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БОЛЬШИМИ ВЫСОКОЧАСТОТНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ1
© 2007 г. Г. Л. Хатламаджиян
(344006 Ростов-на-Дону, ул. Большая Садовая, 105, Ростовский гос. ун-т)
e-mail: gaspard@yandex.ru Поступила в редакцию 07.06.2006 г.
Рассматривается задача об устойчивости для некоторых классов систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами. Спецификой этих систем является наличие в них быстро осциллирующих слагаемых с большими амплитудами. Для каждого класса уравнений описана процедура исследования устойчивости решений в критическом случае, которая базируется на методе Штокало-Колесова. Указана схема обоснования. Изложенная теория проиллюстрирована на примере линеаризованной задачи об устойчивости верхнего положения равновесия маятника с вибрирующей точкой подвеса. Библ. 15.
Ключевые слова: линейное обыкновенное дифференциальное уравнение, большие высокочастотные почти периодические коэффициенты, критический случай устойчивости.
ВВЕДЕНИЕ
Исследуется устойчивость решений некоторых классов линейных дифференциальных уравнений c большими высокочастотными слагаемыми в критическом случае. Дифференциальным уравнениям с большими высокочастотными слагаемыми посвящены, например, работы [1]-[7], в которых можно найти сведения об истории вопроса.
В разд. 1 настоящей статьи рассматривается уравнение вида
x = [A(t, юt) + 7юВ(t, юt)]x, (1)
в разд. 2 речь идет о системе уравнений
x = A(t, юt)x + B(t, юt)y, y = F(t, юt)x + G(t, юt)y + юН(t, rot)x, в разд. 3 исследуется уравнение n-го порядка вида
n - 1 p n - p - q
x(n) = X Aax(a) + £ £ Ю^t^t)x(a), p < 2-, (3)
a = n-p+ 1 q = 0 a = 0
и полученный результат применяется к линеаризованной задаче об устойчивости верхнего положения равновесия маятника с вибрирующей точкой подвеса. Отметим, что все рассматриваемые уравнения являются векторными (т.е. представляют собой системы уравнений). В уравнениях (1)—(3) элементы всех матриц-функций являются тригонометрическими многочленами относительно обеих переменных. Кроме того, матрицы-функции в больших слагаемых (т.е. B(t, ю0 в (1), H(t, ю0 в (2), а также все Aq, a(t, ю0 с положительными q в (3)) имеют нулевое среднее по второй переменной.
Методы данной работы базируются на алгоритме Штокало—Колесова (см. [8]), используемом при исследовании устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами, в сочетании с приемами теории усреднения (см. [9]—[11]).
^Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 06-01-00287-а).
Отметим, что в [6] обоснована модификация алгоритма Штокало-Колесова для линейных абстрактных параболических уравнений вида (1). Таким образом, результат разд. 1 данной работы является следствием работы [6, теорема 2.1]. Для полноты изложения отдельно рассмотрим уравнения вида (1). Кроме того, мы считаем, что непосредственное изложение алгоритма и его обоснование для обыкновенных дифференциальных уравнений представляет самостоятельный интерес.
Содержание данной статьи более подробно изложено в депонированных работах [12], [13]. Здесь лишь добавлено замечание 1, а также предлагается менее громоздкий, чем в [12], способ обоснования в случае уравнений (1), (2).
1. УРАВНЕНИЯ С БОЛЬШИМИ ВЫСОКОЧАСТОТНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ
1.1. Формулировка результата
Пусть к0 е п е N. Будем рассматривать в евклидовом пространстве К" линейное дифференциальное уравнение
X = X ^(X)е**Юх + ТЮ X (')е4(1.1)
к < к0 1 < |к| < к0
Здесь Ак(х) и Вк(х) - квадратные матрицы порядка п, элементами которых являются комплексные тригонометрические многочлены, ю - большой положительный параметр, Хк - вещественные числа. При этом Х0 = 0, Х-к = -Хк ф 0 для к = 1, 2, ..., к0. Предполагается, что Хк попарно различны.
Пусть матрица А составлена из чисел а^к. Через А обозначим матрицу, элементами которой являются а]к, где черта обозначает комплексное сопряжение. Будем считать, что коэффициент
при х в правой части (1.1) - вещественная матрица-функция, т.е. Ак(х) = А-к (0, Вк(Х) = В-к (X) (к = 1, 2, ..., к0), а А0(0 - вещественная матрица-функция. Введем в рассмотрение матрицу
С = А о (х) + X X" Вк(X) В-к(Г)
1 < к < к0 к
и потребуем, чтобы она не зависела от х (заметим, что если все матрицы-функции Вк(х) вещественны или п = 1, то С = А0).
Предположим, что спектр с(С) содержится в замкнутой левой полуплоскости, причем хотя бы одна его точка принадлежит мнимой оси:
с( С) п { 2\Яег > 0 } = 0, с( С) п { Яег = 0 }Ф0.
Пусть Я - корневое подпространство матрицы С, отвечающее ее собственным значениям с нулевыми действительными частями, а т - его размерность. Рассмотрим усредненное уравнение
У = Су. (1.2)
Обозначим черезХ0(0 матрицу порядка п х т, вектор-столбцами которой является некоторый набор из линейно независимых решений уравнения (1.2) с начальными условиями из Я-. Представим Х0(0 следующим образом:
Хо( о = ио (X) .
Столбцы ех(0, ., ет(х) матрицы и0(х) принадлежат к классу вектор-функций, имеющих вид
е( X) = е ет + , (1.3)
где е - постоянный комплексный вектор, а ц - некоторое вещественное число, Б0 - жорданова матрица порядка т с единственным собственным значением, равным нулю, причем кратности
его элементарных делителей совпадают с кратностями элементарных делителей тех собственных значений матрицы C, которые лежат на мнимой оси.
"Критическую часть" формального матричного решения уравнения (1.1) будем искать в виде
X(^ т; ш) = | Uо(t) + £ /2[ U](t) + V](^ шt)]}ехр /2Dj
] = 1
ЬЧ] = о
(t - т)
(1.4)
Неизвестные матрицы и], V], D] (] = 1, 2, ...) подчиним следующим требованиям. Элементами матриц и], V являются некоторые тригонометрические многочлены, причем средние всех матриц-функций V] по второй переменной равняются нулю:
1
< V](^ ■ )> = Н_т±[V](t, 5)Ж = 0, ]
t е
Пусть нулевые строки матрицы D0 имеют номера к < ... < кр (1 <р < т). Обозначим через K(D0) совокупность квадратных матриц порядка т, у которых ненулевые элементы могут находиться только в строках с номерами к1, ..., кр, и будем считать, что Dj е К^0) (] = 1, 2, ...).
Для ] е введем обозначения
D1 (ш) = ^ш-k/2Dk,
к = 0
] ЛИ
-к/2 2
(1.5)
и}(^ш) = и0(t) + £шк/2[ик(t) + Vk(t,шt)] + ш 2 V] + 1 (^шt).
к = 1
Дадим следующие определения (см. [8]). Определение 1. Дифференциальное уравнение
11 = D] (ш) л, (1.6)
рассматриваемое в 1Кт, будем называть сильно устойчивым (неустойчивым), если по каждому г > 0 можно указать такое ш(г) > 0, что при любом ш > ш(г) решения каждого из дифференциальных уравнений
ЛИ
1 = Dj(ш)л + ш 2 Dл
устойчивы (неустойчивы), какова бы ни была матрица D, норма которой не превосходит г.
Матрицу Dj (ш) будем называть сильно устойчивой (неустойчивой), если таковым является соответствующее дифференциальное уравнение.
В [14] установлено, что при проверке сильной устойчивости (неусточивости) матрицы Dj (ш), когда D1, ..., Dj принадлежат K(D0), можно ограничиться возмущающими матрицами D из класса Кф0). (На этот факт автору указал С.А. Гуда, которому он выражает искреннюю благодарность за это.)
Определение 2. Будем говорить, что построение алгоритма может быть завершено, если существует такой номер ], для которого дифференциальное уравнение (1.6) является либо сильно устойчивым, либо неустойчивым. Справедлива
Теорема 1. Для любого целого неотрицательного] эффективно находятся частичные суммы и](^ ш) и Dj (ш).
Пусть построение алгоритма может быть завершено и ]0 - первый номер, при котором дифференциальное уравнение
]о
ш
к=о
11 = Djí¡ (ш) л = л (1.7)
о
сильно устойчиво или неустойчиво. Тогда существует такое положительное число Юх, что при ю > Ю1 решения дифференциального уравнения (1.1) равномерно экспоненциально устойчивы или неустойчивы в зависимости от аналогичных свойств решений дифференциального уравнения (1.7).
Эффективное нахождение частичных сумм Ц(X, ю) и Dj(ю) сводится к решению mj задач о почти периодических решениях неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида
X = Сх + {(X),
где - известный векторный тригонометрический многочлен такой, что указанная задача разрешима.
1.2. Доказательство результата
Подставим правую часть равенства (1.4) в уравнение (1.1) вместо х и приравняем коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях ю в правой и левой части. При этом для краткости бу-
Э_
Приравнивая коэффициенты при ю1/2, получаем
дем использовать обозначения 5 = wt, Uj = — Uj(t), Vj (t, s) = — Vj(t, s) (j = 1, 2, ...).
Vi (t, s) = X Bk(t)e,kSU0(t),
1 < |k| < k0
откуда находим
1 'i
Vi (t, s) = X Bk (t) e'"SUo( t). (1.8)
1 < kl < k0 k
Если рассмотреть коэффициенты при w0 и взять среднее по s от обеих частей, то, с учетом (1.8), получится равенство
Хо (t) = СХ0 (t),
объясняющее вид усредненного уравнения (1.2).
Предположим теперь, что нам известны матрицы Uk(t), Vk + 1(t, rot) и Dk при k = 0, 1, ..., j - 1. Из (1.8) следует справедливость этих предположений при j = 1. Покажем, как найти группу матриц Uj(t), Vj + j(t, rot) и Dj.
Рассмотрим слагаемые, стоящие при w-(j - 1)/2, и вычтем из этих слагаемых их средние по переменной s, оставив, таким образом, члены с нулевым средним по s. Таким образом, выводим соотношение
1 '1
Vj + i(t, s) = X 1 Bk(t)e,kUj(t) + Fj(t, s), (1.9)
1 < lk < kn
где в (X, ') собраны известные слагаемые.
Рассмотрим коэффициенты при ю-]/2, используем последнее равенство, а также применим операцию усреднения по переменной ' В результате получим
и( X) + иоо (X) D] + и} (X) Dо = Ф; (X) + Си} (X), (1.10)
где Ф] (X) - известная матрица, элементами которой являются тригонометрические многочлены.
Отсюда, поступая так же, как в п. 2 работы [8], находим Ц (X) в классе матриц, составленных из тригонометрических многочленов и Dj е К00), после чего из равенства (1.9) определяем V] + х(х, '). Первая часть теоремы 1, таким образом, доказана.
Справедливость второй части теоремы 1, представляющей с
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.