Автоматика и телемеханика, Л- 9, 2006
Детерминированные системы
РАС Б 02.30.Ks, 02.30.Yy
© 2006 г. А. Ю. АЛЕКСАНДРОВ, д-р физ.-мат. наук, А. П. ЖАВКО, д-р физ.-мат. наук
(Санкт-Петербургский государственный университет)
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Рассматривается некоторый класс систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Предполагается, что при отсутствии запаздывания пулевые решения изучаемых систем асимптотически устойчивы. С помощью метода функций Ляпунова в форме, предложенной B.C. Разуми-хипым. доказывается, что если правые части рассматриваемых уравнений не содержат линейных членов относительно фазовых переменных, то асимптотическая устойчивость сохраняется для любого значения величины запаздывания.
1. Введение
Многие задачи теории управления приводят к исследованию систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом [1 5]. Уравнения такого рода широко используются для адекватного описания различных реальных явлений и процессов. В частности, любая система автоматического регулирования в той или иной степени представляет собой систему с запаздыванием.
Одна из наиболее актуальных проблем, возникающих при анализе динамики таких систем, это проблема устойчивости. При ее исследовании необходимо учитывать влияние запаздывания на устойчивость решений. Известно [2, 6], что введение даже малого запаздывания может привести к нарушению устойчивости. Поэтому-важной задачей является задача нахождения предельных значений запаздываний, не нарушающих устойчивость решений, в том числе выделения таких классов систем, для которых эти предельные значения равны бесконечности.
Основным методом анализа устойчивости нелинейных систем является прямой метод Ляпунова [2, 4]. Для систем с запаздывающим аргументом при применении этого метода используются или функционалы Ляпунова Красовского [2] или функции Ляпунова в форме, предложенной Б.С. Разумихиным [7]. С помощью указанных подходов были получены условия устойчивости решений для многих типов систем с запаздыванием (см. [2, 3, 6, 8]). Однако следует отметить, что до сих пор не существует общих конструктивных методов построения функций или функционалов Ляпунова для нелинейных систем.
В настоящей работе рассматривается некоторый класс систем нелинейных уравнений с запаздывающим аргументом. Предполагается, что при отсутствии запаздывания нулевые решения изучаемых систем асимптотически устойчивы. Используя метод функций Ляпунова и подход Б.С. Разумихина, показано, что если рассматриваемые уравнения существенно нелинейны (их правые части не содержат линейных членов относительно фазовых переменных), то асимптотическая устойчивость сохраняется при любом значении запаздывания.
2. Постановка задачи
Пусть задана система дифференциальных уравнений
п
(1) х = ^ р^ ^ {хз (г)), в = 1,...,п.
3=1
Здесь рз - постоянные коэффициенты, функции /3 (х3-) определены и непрерывны при всех х3- £ (-ж, +ж) и обладают свойством х3-/3(х3-) > 0 при х3- = 0. Таким образом, рассматриваемая система имеет нулевое решение.
Уравнения вида (1) широко применяются при исследовании систем автоматического регулирования [9 11]. Они также используются при моделировании нейронных сетей [12. 13].
Важной задачей, возникающей при изучении таких уравнений, является задача анализа устойчивости нулевого решения системы (1). Для нахождения условий устойчивости используется прямой метод Ляпунова. В соответствии с подходом, предложенным в [9]. функция Ляпунова строится в виде
п х
(2) V = £ Ха /а(в) ¿д,
8 = 1 0
где Л8 - положительные постоянные. С помощью функции (2) в [9, 10, 13, 14] были получены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1).
Однако в широком классе случаев при описании управляемых систем необходимо учитывать задержку, возникающую при формировании управляющих сигналов. Поэтому наряду с (1) рассмотрим систему
п
(3) х8(г)=^Р83/3(хз(г - т))> в = !,•••,«•
3=1
т > 0
Основная цель настоящей работы определить условия, при выполнении которых нулевое решение системы (3) будет асимптотически устойчиво для любого
т
Зам сч а ип с 1. Если на правые части рассматриваемых уравнений не накладываются никакие дополнительные ограничения, то введение сколь угодно малого запаздывания может привести к нарушению асимптотической устойчивости.
Действительно, пусть система (1) имеет вид
{х 1(г) = х2(г) - х\(г),
х2(г) = -х1(г) - х§(г), х3(г) = х1(г) + х2(г) - х\(г).
Положим V = 2x1 + 2x2 + х|. Тогда —4x3. Таким образом, построенная
функция Ляпунова удовлетворяет требованиям теоремы Барбашина Красовского [10, с. 19]. Следовательно, нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво. Рассмотрим теперь соответствующую систему с запаздыванием
{X 1(4) = Х2(4 — т) — Хз(г — т),
хх 2(4) = —Х1(4 — т) — х|(4 — т),
хз(4) = Х1(4 — т) + Х2(4 — т) — х3(4 — т).
Выпишем характеристический квазиполином системы линейного приближения для (5). Получаем р(А) = А(А2 + ехр(—2Ат)). Используя теорему о неявной функции, нетрудно доказать существование числа т0 > 0 такого, что при всех т € (0, т0) квазиполином р(А) имеет корпи с положительными вещественными частями. Но тогда (см. теорему о неустойчивости по линейному приближению [6, с. 150]) при таких т
3. Условия устойчивости системы нелинейного приближения
Далее в настоящей работе будем считать, что правые части уравнений (1) удовлетворяют некоторым дополнительным ограничениям.
Предположение 1. Пусть существуют, положительные числа А1,...,А„, при которых квадратичная форма Ж(х) = х* (Р*Л + ЛР) х отрицательно определена. Здесь х = (х1;..., х„)% Л = diag {А1;..., А„|, Р = {psj}, в,3 = 1,..., п.
Замечание 2. Условия существования таких значений А1?...,Ап исследовались в [9, 10, 14 16].
Замечание 3. Известно [9], что если выполнено предположение 1, то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво при любых допустимых функциях fj (х^-), а функция Ляпунова (2) удовлетворяет требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [10, с. 16].
Предположение 2. Пусть функции fj(xj) представимы в виде fj(xj) = = ^ х^3 + Ь^ (xj), 3 = 1,..., п, где ^ постоянные, Мj - рацио-
нальные числа с нечетными числителями и знаменателями, Мj > 1, а функции Ь (xj) обладают своиством Ь (xj )/х^3 ^ 0 щи Xj ^ 0.
Замечание 4. Не умаляя общности, можно считать, что вj = 1 3 = 1,... ,п, а < ... < Мп-
Таким образом, системы уравнений
п
(6) хPsjх7в = 1,...,п,
j=l
п
(7) Xs(í)=£PsjХ^3 (4 — т), в = 1,..., п,
j=l
будем рассматривать в качестве систем первого, в широком смысле [14], приближения для (1) и (3) соответственно.
Функция Ляпунова (2) в данном случае принимает вид
rMs + 1
(8) V = £ As
Ms + 1
Согласно предположению 1 нулевое решение системы уравнений (6) асимптотически устойчиво, причем производная функции (8) в силу этих уравнений отрицательно определена. Исследуем условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы (7).
Покажем сначала, что если хотя бы один из показателей степеней ... равен
т
мы (7) неустойчиво.
Действительно, пусть заданы уравнения
О) 1 , ^ _ .. ..
Xi(t) = -x?(t - т) + Х2 (t - т), Х2 (t) = -x1(t - т) - Х2 (t - т).
При т = 0 для исследуемых уравнений выполнено предположение 1, а в качестве функции Ляпунова, удовлетворяющей требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, можно выбрать функцию V = x1 + 2x2 •
Рассмотрим систему линейного приближения для (9). Получаем
xi(t) = x2(t - т),
x2 (t) = -x2 (t - т).
Характеристический квазиполином, соответствующий этой системе, имеет вид p(A) = A(A + exp(-Ат)). Известно [6, с. 126^127], что при т > п/2 у квазиполинома p(A) существуют корни с положительными вещественными частями. Следовательно
т
Далее покажем, что если система (6) существенно нелинейна, то введение запаздывания но нарушает асимптотическую устойчивость пулевого решения.
Теорема 1. Пусть выполнены неравенства (10) Ms > 1, s = 1,...,n.
Тогда для любого значения т > 0 нулевое решение системы (7) асимптотически устойчиво.
Доказательство теоремы приведено в Приложении.
4. Устойчивость возмущенных систем
Далее будем считать, что для показателей степеней ... выполнены неравенства (10). Наряду с уравнениями (7) рассмотрим возмущенные уравнения
п
(и) х8(г) = ^ Р83 3 (г - т) + д8(г, х(г - т)), в = 1,...,п.
3=1
Здесь функции (г, х) заданы и непрерывны в области (12) г > 0, ||х|| <Н
(У • || - евклидова норма вектора, Н - положительная постоянная). Определим условия. при выполнении которых возмущения не нарушают асимптотическую устойчивость нулевого решения.
Пусть в области (12) справедливы оценки
где с8 > 0 а > 1.
Теорема 2. Если а > 1, то дм любого значения т > 0 нулевое решение системы (11) асимптотически устойчиво.
Доказательство теоремы приведено в Приложении.
3 а м о ч а и п о 5. Теорема 2 представляет собой теорему об устойчивости по нелинейному приближению. Она утверждает, что возмущения не нарушают асимптотическую устойчивость нулевого решения, если их порядки превосходят порядки функций, входящих в правые части новозмущонных уравнений.
Замечание 6. Анализ доказательства теоремы 2 показывает, что нулевое решение будет асимптотически устойчиво и в случае, когда в оценках (13) показатель степени а равен единице, а коэффициенты С1,..., сп достаточно малы.
Используя замечание 6, получаем следующую теорему, определяющую достаточные условия сохранения асимптотической устойчивости нулевого решения системы (3) для любого значения величины запаздывания.
Теорема 3. Пусть выполнены предполо-лсения 1 и 2. Тогда если справедливы неравенства (10), то при любом т > 0 нулевое решение системы (3) асимптотически устойчиво.
Покажем теперь, что для некоторых типов нестационарных возмущений найденные условия асимптотической устойчивости можно ослабить.
Пусть уравнения (11) имеют вид
Здесь функции (£) непрерывны и ограничены при £ > 0 вместе с интегралами
(£) = / (0) ¿0, = 1,п. В частности, функции (£) могут описывать
периодические колебания с нулевыми средними значениями. При этом на амплитуды ука
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.