ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 1, 2015
УДК 539.374
© 2015 г. Потапов В.Д.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ И СТОХАСТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ С УЧЕТОМ НЕЛОКАЛЬНОЙ УПРУГОСТИ И НЕЛОКАЛЬНОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛА
Московский государственный университет путей сообщения, г. Москва
На примере стержня, шарнирно опертого по концам, исследуется устойчивость стержней, материал которых характеризуется нелокальной упругостью и нелокальным демпфированием, что характерно для композитных и наноматериалов. Стержень находится под действием детерминированной или случайной стационарной продольной силы. В детерминированном случае устойчивость понимается в смысле Ляпунова, в случае стохастической постановки — устойчивость почти наверное. И в том, и в другом случае для исследования устойчивости используется метод максимального показателя Ляпунова. Исследуется влияние величины параметров нело-кальностей на значения максимальных показателей Ляпунова при действии на стержень постоянной, периодической и случайной продольной силы.
Модель, базирующаяся на соотношениях нелокальной механики сплошных сред, широко используется многими авторами при анализе колебаний, выпучивания и устойчивости композитных конструкций и карбоновых нанотрубок [1—6]. В работе [4] исследовалась проблема выпучивания многослойных карбоновых нанотрубок с учетом нелокальной упругости [7]. Динамическая неустойчивость двухслойных карбоновых нанотрубок с учетом нелокальной упругости была исследована Tylikowski А. с использованием прямого метода Ляпунова [5]. Колебания карбоновых нанотрубок с применением метода конечных элементов изучались в [2].
При рассмотрении колебаний с учетом затухания часто используетя простейшая модель вязкого демпфирования Фойгта. По-видимому, впервые модель нелокального демпфирования (пространственный гистерезис) была предложена в работе [8]. Подобная модель оказывается эффективной при анализе динамики и устойчивости поведения конструкций из композитных и наноматериалов. Устойчивость стержней с учетом нелокального демпфирования при действии продольной силы, меняющейся периодически или случайным образом во времени, исследовалась в работе [3]. Если для описания демпфирования материала используются соотношения вязкоупругости, то модель нелокальной вязкоупругости, разработанная на основе модели нелокальной упругости [7], была предложена в [9].
В работе [10] исследуется влияние нелокального демпфирования (пространственного и временного гистерезиса) на формы и частоты собственных колебаний стержней и прямоугольных пластин. При этом оператор внутреннего Ь демпфирования принимался в виде
Ьи(г, 0 = | ¡С;-(г, е, I - т)4[и(9, х)]йхй9,
О 0
Ai
F(t)
Рисунок
y
x
A
2
l
где u(r, t) — вектор перемещения; r — вектор координат рассматриваемой точки; t — время; C(r, 9, t - т) — ядро оператора, характеризующего демпфирование.
Для нелокального вязкого демпфирования (пространственного гистерезиса) в одномерном случае предложено соотношение
C(x, 9, t - т) = H(x)c(x - 9)5(t - т), причем 8(t - т) — дельта-функция.
рот
Функция c(x -9) считается нормализованной, т.е. I c(x)dx = 1. Обычно функция c(x - 9) выбирается в следующей форме:
1) экспоненциальное ядро c(x - 9) = (ц/2)е 0';
2) ядро в виде функции ошибок c(x - 9) = (ц/л/2л)е[ и (x 0) '2];
3) ядро в виде прямоугольника
if при |x l0/2,
c(x -0) = уо
[ü при других значениях |x -0|;
4) ядро в виде треугольника
íí1 -^ -4slo,
ü при других значениях |x - 9|.
Здесь а и l0 — параметры, характеризующие демпфирование материала. Величины l0 и 1/а иногда называют масштабом влияния.
На примере стержня, шарнирно опертого по концам, исследуем устойчивость стержней, материал которых характеризуется нелокальной упругостью и нелокальным демпфированием, что характерно для композитных и наноматериалов. Стержень находится под действием продольных сил, детерминированных и случайным образом меняющихся во времени. В детерминированном случае устойчивость понимается в смысле Ляпунова, в случае стохастической постановки — устойчивость почти наверное. И в том, и в другом случае для исследования устойчивости используется метод максимального показателя Ляпунова.
Постановка задачи. Рассмотрим стержень (рисунок), шарнирно опертый по концам под действием продольной силы F(t), разделенный на три части. Материал крайних участков стержня (0 < x <Ai и l — Д2 < x < l) считается локально упругим с модулем упругости E, а материал средней части (Ai < x < l — Д2) обладает нелокально упругими и нелокально демпфирующими свойствами с зависимостью между напряжениями и деформациями
c(x - 9) =
c(x, t) = E
l-A2 l-A2
f cel (x - x'l)s(x', t)dx' + Y f cd (x - x'|)dE(x't) dx'
dt
A, A,
(1)
где ст, е — напряжение и деформация соответственно; E — модуль упругости; x, t — координата рассматриваемой точки и время; се1 (х - х'|), сй (х - х'|) — ядра упругости и демпфирования.
Функции се1 (х - х'|), сй (|х - х'|) считаются нормированными,
ж от
I се1 (х)йх = 1, | сй (х)йх = 1.
—от —от
В настоящей статье ядра се1(|х - х'|), сй(х - х'|) принимаются в экспоненциальной форме и уравнение (1) записывается следующим образом:
I-Д2 I-д2
а(х, () = Е п Г е ~п|х-х1е(х', 1)йх + ^ Г е¿х . 2 3 2 3 д( _ Д1 Д1
Соотношение (1) можно рассматривать как обобщение модели Фойгта
(2)
ст(х, О = Е[е( х, + уде( х, О/д Г].
Интересно отметить, что интегродифференциальное уравнение (2) эквивалентно дифференциальному уравнению
да /2 2Ч д а 2 2 ^ — - (П + Ц ) — +П Ц а = Е
дх дх
2 2/ , дБ. .
+ Т дх
2 д 2б
_ + уЦ 2 д Б
2 дх2д/
(3)
I-д2
Действительно, это уравнение можно получить, если представить интеграл - х 1 е(х', 1)йх' в виде суммы
х I-Д2
|е-х')£(х; ¡¿х' + | еп(х-%(х', í)dX,.
Д1 х
Дважды дифференцируя обе части уравнения (2) и складывая полученное соотношение с уравнением (2), умноженным на (-п2), получим
I-д2
д 2С 2 ^
ТТ-П ° = Е
дх
2 2 дБ , уц, 2 2Ч Г -п £-уц — + 2 -П ) ] е
Д1
-ц | х-х |д£(х', 0 ¿х д1
(4)
Если положить величину у равной нулю, то из этого равенства следует соотноше-
п, д О 2 2 г
ние нелокальной упругости, предложенное в [7] —^ - п о = -п Ее.
дх
Повторяя подобную процедуру со вторым интегралом в уравнении (4), окончательно получим уравнение (3).
Считая справедливой гипотезу Эйлера—Бернулли, найдем изгибающий момент в поперечном сечении стержня. Для крайних участков стержня имеем M = -Е1 2и'(х, ¡)/дх 2 j, а для средней части
М = —Е1 'к^х - х'\)¿х' +у/с^(х - х'|) ¿х , (5)
0 дх' 0 д1дх
где w — прогиб стержня; EI — изгибная жесткость стержня.
В дифференциальной форме то же самое соотношение между Mи w имеет вид
£Ж - (п2 2)^М + Л2Ц2М = -Е1
дх дх
2, 2 [д Zw , .. д V
' дх2 д1дх2
2 д4 те , 2 д 5те
П дтг + ^ 1
дх д ¡дх )_
. (6)
Уравнение движения стержня, находящегося под действием изменяющейся во времени продольной силы Щ^, можно записать следующим образом:
й^Ж = р А + N (Г) ^, (7)
дх дГ дх
где р — плотность материала стержня; А — площадь поперечного сечения.
Подставляя вторую производную по х от момента (5) в уравнение (7), получим уравнение, описывающее движение средней части стержня,
/ 2 1 3
\ее1 (х - х'|) ^(х2'Г) йх' + Ых - х'|) ^(Х'2Г) dx' дх' А дГ дх'
+
(8)
Е1 д2_
рА дх 2
+ д 2^(х, Г) Щ) д \(х, Г) = 0 дГ2 рА дх2 '
Для крайних участков аналогичное уравнение имеет вид
Ыд^ + д 2у(х, Г) + N (Г) д 2Цх, Г) = 0 рА дх4 дГ2 рА дх2 '
Решение этих уравнений ^(х, Г) должно удовлетворять граничным условиям при х = 0, I, условиям совместности перемещений на границах участков стержня и начальным условиям при ? = 0 ^(0, х) = wo(х), >Ц0, х) = и0(х). Здесь точкой обозначена производная по времени ?.
В дальнейшем будем считать, что стержень имеет шарнирное опирание по концам. Тогда граничные условия записываются следующим образом: Ц0, Г) = т(/, Г) = 0, М(0, Г) = М(/, Г) = 0. Очевидно, что последние условия эквивалентны равенствам
д 2^>(х, Г )/дх2 = 0. Будем искать функцию т(х, Г) в виде ряда
от
™(х, Г) = (г)81и(/лх//).
]=1
Ограничиваясь в этом выражении конечной суммой членов п, для определения обобщенных перемещений fj(Г) воспользуемся методом Бубнова—Галеркина. С этой целью умножим обе части уравнений (8), (9) на 8т(/ пх//), проинтегрируем их по длине соответствующих участков стержня и результаты просуммируем.
Очевидно, что с уменьшением длины крайних участков А1, А2 значения интегралов для них будут уменьшаться. В пределе, при Д1 ^ 0 и Д2 ^ 0, значения указанных интегралов будут стремиться к нулю. В таком случае при реализации процедуры Бубно-ва—Галеркина при достаточно малых значениях величин Д1 и Д2 можно ограничиться вычислением интегралов от левой и правой частей уравнения (8).
Рассмотрим подробнее процедуру вычисления интеграла для левой части уравнения (8), которая учитывает нелокальные свойства материала. Более компактно и наглядно это можно сделать для левой части уравнения (7)
I = | ьтилх//) [д 2М(х, Г)/дх2 ] йх.
0
Воспользуемся дважды интегрированием по частям для этого интеграла. После
первого интегрирования получим
I = sin(/nx/l)[dM(x,t)/dx] ] -j(/n/l)cos(jnx/l)[dM(x,t)/dx]dx -
o
i
- -_[(/'п/1) cos(jnx/1) [dM(x, t)/dx]dx.
o
После второго этапа интегрирования имеем
I = -(/п//)со&(/п)М(/, Г) + (/'я//)М(0, Г) - |(/л//)2 з1п(/пх//)М(х, Г)йх.
0
В итоге процедура Бубнова—Галеркина приводит к следующему дифференциальному уравнению:
2 2 п ..3 г , , тП-1
.Гj(t) - tf(t)//(t) - Y®„
PAl ,=i 1
pAl
2v(/l) + У®оL , Ц ¡=1 1
« ..3
^V /i
Ц2 + ((
2
Ц + (т
+ jf-
c/if ,(0 +
2 , / п
Ц + (7
-1
/ Г fit -
п2 + п
2nr(jl) .
.. 2
/1П
хШа/ + -
n2 + ((
b/tft (t) +
¡■=i l bji if (t) = o.
/lJ -1
n2 +íl n
Здесь a /i =
1, если j = i 2
О, если j ^ i,
, , ю0 = (п Е!)/(рА/ ); ю0 — минимальная частота собственных
колебаний шарнирно опертого по концам стержня без учета нелокальной упругости; Ь/1 = {1 - есовСп) - cos(гп) [е- ео8(гп)]};
С/1 = {1 - е ^ со$(/'п) - cos(гп)[e - cos(гп)]}. Вводя безразмерное время т = ю/, последнее уравнение можно представить в виде
ц/
f"(x) - j2а(т)/(т) + 2sX Bf (т) + X //(т) = О,
(10)
(=1 г=1
где штрихом обозначе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.