========= МЕХАНИКА -
УДК 539.3
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЫ ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ И ВНУТРЕННЕМ ДАВЛЕНИИ
© 2006 г« Л.М. Зубов', Д.Н. Шейдаков2
Исследовано влияние внутреннего давления на устойчивость деформирования растягиваемого полого цилиндра. Проблема изучена в трехмерной постановке с помощью линеаризованных уравнений равновесия изотропного несжимаемого тела. Для материала Бидермана и специальной модели несжимаемого тела, обладающей существенной физической нелинейностью, в плоскости параметров нагружения построены бифуркационные кривые и определена область устойчивости. Найдена область выпуклости погонной энергии трубы, нагруженной осевым растяжением и внутренним давлением. Численными расчетами установлено, что область устойчивости цилиндра при растягивающих нагрузках мало отличается от области выпуклости погонной энергии как функции двух параметров нагружения.
Проблема устойчивости деформируемых тел имеет большое значение как с теоретической, так и с прикладной точки зрения. При этом в подавляющем большинстве опубликованных работ по упругой устойчивости и тонких, и массивных (трехмерных) тел рассматривается бифуркация равновесия при сжимающих нагрузках. Однако упругая неустойчивость может проявиться и при растягивающих напряжениях. Такая неустойчивость имеет ряд особенностей по сравнению с неустойчивостью при сжатии.
1. Неустойчивость растягиваемых тел чаще всего наступает при больших деформациях, что требует полного учета геометрической и физической нелинейности в уравнениях теории упругости.
2. Исследование неустойчивости при растяжении, как правило, невозможно на основе одномерных моделей стержней или двумерных моделей пластин и оболочек, а требует рассмотрения пространственных задач нелинейной теории упругости. Например, согласно классическому уравнению Эйлера продольного изгиба прямого стержня, потеря устойчивости невозможна при растягивающей продольной силе.
3. Потеря устойчивости при растяжении возможна далеко не для всех материалов. В частности, состояние однородного одноосного растя-
1 Ростовский государственный университет, Ростов-на-Дону.
2 Южный научный центр Российской академии наук, Ростов-на-Дону.
жения цилиндра всегда устойчиво для материалов, описываемых известными моделями Муни, Бартенева-Хазановича.
4. Различные моды неустойчивости растягиваемых тел, как правило, имеют весьма близкие собственные значения.
Настоящая работа посвящена анализу устойчивости цилиндрической трубы при осевом растяжении и внутреннем давлении. Такая деформация является распространенным способом испытания материалов в экспериментальной механике деформируемых твердых тел.
1. Растяжение трубы при внутреннем давлении. Система уравнений эластостатики изотропного несжимаемого тела [1] при отсутствии массовых сил состоит из уравнений равновесия
У-Т = 0 (1.1)
и уравнений состояния
Т-х|(/1,/2)Р-х2(/„/2)8-АЕ (1.2)
х,(/,,/2) = 2 —, х2(/,,/2) = 2 —.
а/, о! 2
Здесь Т - тензор напряжений Коши, g - мера деформации Альманзи, Р = g-1 - мера деформации Фингера, /|, /2 - первый и второй инварианты тензора Р, Е - единичный тензор, рх - давление в несжимаемом теле, не выражаемое через деформацию, №(¡1, /2) - удельная потенциальная энергия деформации упругого материала, V - набла-оператор в эйлеровых координатах, т.е. координатах деформированного тела.
Деформация растяжения (сжатия) и раздувания цилиндрической трубы [1] в случае несжимаемого материала задается соотношениями
(1-3)
Продольная сила Р, действующая на торцах, а также давление р, приложенное к внутренней поверхности трубы, будут некоторыми известными функциями параметров нагружения а и ш, определяемыми формулами
Р(а,(й) = 2к\ c7(R)RdR,
(1.7)
р(а, а>) = -ал(Я,).
Здесь = V® - внутренний радиус трубы
R - ^со + а '(г2 -г,2), Ф = ф, Z - az, а, to = const.
Здесь г, ф, z - цилиндрические координаты в от-счетной конфигурации тела (лагранжевы координаты), /?, Ф, Z - цилиндрические координаты в деформированной конфигурации (эйлеровы координаты), а - коэффициент растяжения по оси трубы, л;ш - площадь просвета деформирован- после деформации.
ной трубы, г, - внутренний радиус трубы в нена- Используя функцию погонной потенциальной пряженном состоянии. Соответствующие (1.3) энергии трубы при осевом растяжении и внут-выражения мер деформации и инвариантов име- реннем давлении, которая задается формулой
ют ВИД г,|
П0(а,со) = 2п] rW(/,(r),l2(r))dr, (1.8)
докажем следующие соотношения для силы Р и давления р:
. ЭП0(а,ш) , ч ЭП0(а
F = /(/?)eRe/f + a"2/ '(/?)ефеф+a2ezez, g = /"' (R)eReR + а2ДЯ)ефеф + a"2ezez;(1 Л)
I.=f{R) + a2r\R} + oL\
/2=/"ЧЛ) + сГДД) + аЛ f(R) = (aRT2[r? +a(R2 -а»].
(1.5)
Эос
р0(а,ш) =
Эа)
p0(a7ga>) = а7ср(а,м).
(1.9)
Сначала раскроем формулы (1.7), подставляя в них выражения из (1.6) для компонент аг
В этих формулах ея, еф,ег- ортонормированный векторный базис эйлеровых цилиндрических ко- тензора напряжений Коши: ординат.
Из уравнений (1.1), (1.2) и соотношений (1.4) найдем выражения для компонент тензора напряжений Коши Т в базисе е^, еф, е2 в случае, когда внешняя поверхность трубы свободна от нагрузок:
/>(a,fi» = 27tj [(от-/)(/?))*,(Я) +
{fW a2 J
R
(
№-
i
a2/(P)-
o7(P). x2(p)
X,(p) +
Ф
>
p
1
a 2f(R)
/(P)„
-a2f(R)x2(R)-Pl(R), (1.6)
a /(/?) ' 1 2
я» f p{ a,co) = -j
/Ш,
1
^f(R)
2 ,~,dR
(1.10)
x(X[(/?) + a x2(/?))—-.
A
a
P](R) = f(R)*l(R)~
ДЯ)
Найдем частные производные функции П0, учитывая выражения для инвариантов (1.5) и соотношение /?(г) из (1.3):
Тф^ - t 07 — t Dfh - О
RZ ~ иЯФ
Здесь г0 и /?0 - внешние радиусы трубы до и после деформации соответственно. Чтобы получить значения функций х,•(/?), надо подставить в выражения х//,, /2) соотношения (1.5).
ЭПо
Эа
П)
=*J
1
= J г
dw а/, | эи/ э/2
Э/, Эа Э/2 Эа
rdr —
2а--р--£™(>(r)-U-
а /(г) г2 I/ a2 J
1
а 7 I a/V)
2 ам 2 2 ^ - — -—(« / И-1) к
Эсо Г|
(г)
Э^Э/, ЭИ^Э/7
--L +--
Э/[ Эсо Э/2 Эсо
rdr,
rdr = ¿r
(Ml)
= (1-а / (г))(х,(г) + а —.
Перейдем в формулах (1.11) от интеграла в от-счетной конфигурации к интегрированию по радиальной координате в деформированном состоянии, учитывая, что гс1г = aRdR и г~*с1г = = (а Rf(R))-Ш:
ЭП
Эа
О)
2
О _
= n¡
2а2-/(/?)--=-!-
а2/(Л)
Л
1
а2Д/?)
(х,(/?) + (х2х2(Д)) +
I /(/?) а
х2(Я)
/МЛ,
ЭП0 *'> Эсо д.
1
а 7(Я)
-/(/?)Jx
x(x,(/?) + a¿x2(/?))
2 idR
R
(1.12)
Сопоставляя выражения (1.10) и (1.12), получим соотношения (1.9).
2. Бифуркация равновесия. Рассмотрим малое возмущение описанного выше состояния равновесия. Линеаризованные уравнения равновесия несжимаемого тела, определяющие возмущенное состояние, имеют вид [1-3]
v-e=o, e = r-(Vw)r T,
d T(R-bTiw)
(2.1)
T" =
dv\
n=0
Здесь 0 - линеаризованный тензор напряжений Пиолы, К - радиус-вектор в невозмущенном состоянии, - вектор возмущений. Линеаризованные граничные условия
е*.в|л=я, =0 (2.2)
выражают следящий характер гидростатической нагрузки на внутренней поверхности трубы и отсутствие в возмущенном состоянии поверхностной нагрузки на внешней стороне трубы.
Будем считать, что в процессе растяжения и раздувания цилиндра на его торцах отсутствуют силы трения и задано постоянное нормальное
перемещение. Это приводит к следующим линеаризованным граничным условиям на торцах цилиндра в возмущенном состоянии равновесия:
где / - длина трубы в невозмущенном деформированном состоянии.
Выражения (2.1) представляют собой систему четырех уравнений в частных производных относительно компонент вектора возмущений и, г;, уу и линеаризованной функции гидростатического давления д = -р\. Подстановка
ж ,, г»ч ^ КШ
и ~ и(К)сО$пФсО$—1-£, Юп
V = К(/?)5тяФсо8——2,
71т
w = ЩД) cos лФ sin — Z,
(2.4)
q = Q{R) cos лФсоБ—^ Z,
m = 0,1,...,
тип
7
/1 = 0,1,...
приводит к отделению переменных Ф, Z и позволяет удовлетворить граничным условиям (2.3). Тем самым исследование устойчивости сведено к решению линейной однородной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Необходимо отметить, что подста-
новка вида
и = U(R)smn<$cos^y-Z,
,.,m . Km „ v = у (n)cos/^cos—— Z,
w = W( R) sin пФ sin ^j- Z,
KtTl
q = Q(R) sin пФ cos —— Z,
(2.5)
m = 0, 1,..., п = 1, 2,... в результате отделения переменных Ф, Z приводит к той же самой линейной однородной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, что и подстановка (2.4), т.е. моды неустойчивости трубы, описываемые выражениями (2.4) и (2.5), имеют одинаковый спектр критических значений при m г 0, п г 1 (при п ~ 0 для подстановки (2.5) линеаризованная краевая задача (2.1Н2.3) имеет только нулевое решение). Таким образом, в силу полноты сис-
„ . jcm Km
тем функции sin —-— Z, cos—— Z на отрезке [0,/J,
решения вида (2.4) позволяют найти весь спектр критических значений для задачи устойчивости цилиндрической трубы при осевом растяжении и внутреннем давлении.
3. Численные результаты. Далее рассмотрены две различные модели несжимаемого материала. Первая модель - материал Бидермана [4, 5], удельная потенциальная энергия деформации которого задается соотношением
\У([],12) = с10([2 -3) + ^,(/, -3) +
-З)2 +с1ъ(1[ -3)\
¿0,^3 >0, +¿,>0,
(3.1)
Мг +^/15^3 >0.
Такая модель достаточно хорошо описывает свойства некоторых типов резин.
Вторая модель [6] имеет потенциал вида
(3.2)
Для значений В, близких к —, поведение данно-
2
го материала при растяжении характеризуется существенной физической нелинейностью как при малых, так и при больших деформациях [7].
Пусть в модели Бидермана ¿/0 = 0- Тогда для обоих материалов х2 з 0 и система уравнений (2.1), (2.2) при учете соотношений (2.4) примет вид:
+ 2д/ч л, ]х,, + 2/2х; , )£/' -
№
х, -
, \
1
/V
а'
и_ н2
-Г
7ь^~/2а4 а2"
лУ /?2
+2а2Х,
-
Уа2/?
+2а2Ухи)У' +
2хп | Ц /
■+
+ р\+■
2х,
/
(3.3)
¿4 X
+
" А+-
/а2
2х
+
X, +
2л х, |
—г2 4~
/ сг
я1
а2 ^ к /
ХлИ'
Я
/а2 /а
/?2 '
я я
1 ^ Я 2 /а2
Лт ¿•к-1 . .
- , X.-: = -¿,/-1,2.
I 1} ш, 7
Граничные условия на внутренней и внешней поверхности трубы запишутся так:
(А ~ Р + + 2/4,){/' + 2а2А/х,,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.