ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 6, 2004
УДК 621.822.5
© 2004 г. Шихватов A.M.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ УПОРНЫХ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПОДШИПНИКОВ, ПРОФИЛИРОВАННЫХ СПИРАЛЬНЫМИ КАНАВКАМИ
Исследуется зависимость устойчивости упорного газодинамического подшипника, профилированного спиральными канавками, от числа канавок. Уравнение Рейнольдса вместе с граничными условиями и уравнение движения ротора дискре-тизируются методом Бубнова-Галеркина по пространственным переменным и приводятся к нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Стационарная точка этой системы определяется методом Ньютона. Система дифференциальных уравнений линеаризуется в стационарной точке, приводится к нормальной форме, а затем вычисляются собственные числа полученной системы. По результатам вычислений находится запас устойчивости системы ротор-подшипник и исследуется зависимость его от числа канавок.
1. Зависимость устойчивости упорных газодинамических подшипников, профилированных спиральными канавками, от числа канавок K в настоящий момент еще недостаточно изучена. В настоящей работе этот вопрос исследуется путем приближенного вычисления запаса устойчивости X' системы ротор-подшипник методом Бубнова-Га-леркина.
Вертикальный ротор массы Mr, нагруженный направленной по оси вращения внешней силой F, вращается с постоянной угловой скоростью ю и опирается гладкой пятой на неподвижный горизонтальный подпятник, профилированный спиральными канавками с прямоугольным поперечным сечением. Предполагается, что колебания ротора возможны лишь вдоль его оси, так что смазываемые плоскости пяты и подпятника всегда параллельны. Известны параметры опоры: R1 и R2 - радиусы внутренней и наружной границ подшипника; R0 - радиус границы профилированной и гладкой зон либо двух профилированных зон для шевронного подпятника; Д1 - глубина канавок; ß -угол между осью канавки и направлением вращения; к1 - ширина канавки; p1, p2 - абсолютное давление соответственно на внутренней и наружной границах подпятника; p0 - абсолютное давление окружающей среды; ц - динамический коэффициент вязкости газа; l0 - длина свободного пробега молекул газа; g - ускорение силы тяжести.
Обозначим через: p - абсолютное давление в смазочном слое; h - толщину смазочного слоя; 5 - зазор между подпятником и пятой при некотором характерном положении ротора (в качестве характерного для одностороннего подпятника принимается положение равновесия ротора, а для двустороннего - центральное положение ротора); e - отсчитываемое вдоль оси отклонение ротора от его характерного положения; t -время. Введем на профилированной плоскости подпятника полярные координаты r, ф так, чтобы рассматриваемая область задавалась неравенствами R1 < r < R2, 0 < ф < 2п.
Перейдем к безразмерным величинам т = rat, x = r/R0, a = R1/R0, b = R2/R0, P = p/p0, Pa = p1/p0, Pb = p2/p0, Kn = l0/5, Д0 = Д1/5, к0 = к1/Г, T = 2n/K. Проведем замену переменных ф = 0 + (ctg ß )ln x, x = x. При этом области, занимаемые канавками и перемычками, преобразуются в прямоугольники. Предполагается, что число Кнудсена Kn < 0,1.
Неизвестные функции Р(т, х, 9), е(т) в этом случае будут удовлетворять системе ин-тегро-дифференциальных уравнений и граничных условий [1]
од Э(НР) д(хбх) дб2 d2е
2ЛХ -Ц-- + --т- + = 0, (1) Ш
дт
д(хЙ.) дЙ2 л ¿2е - г г г _ , ,9
+ —---+--ттг = 0, (1) шг —- = / + К \xPdxd9; (2)
д х д9 лт2 .и
Г 2
d т
э
Р(т, а, 9) = Ра, Р(т, Ъ, 9) = РЪ; (3) Р(т, х, 9 + Т) = Р(т, х, 9), (4)
ех(т, 1+, 9) = Й.(т, 1-, 9), ^2(т, х, 0+) = Й2(т, х, Т-), Й ^(т, х, 1С!+) = Й2(т, х, К!-). (5) Здесь Н = 1 + е + Д(х, 9),
е.=, Й2=-*(^д-Р-«авдЭ+ЛхНЛ (6)
Л = 6цю^2 /Ро§2, Шг = мгю25/р0^0,/ = , Х= НЪР + 6КпН2, Э = (а < х < Ъ, 0 < 9 < Т).
Параметр Л является числом сжимаемости подшипника, шг - безразмерная масса ротора, /- безразмерная нагрузка, действующая на ротор. Обозначим через Э0 = (а < х < 1, 0 < 9 < к1), если нагнетание происходит от центра; через Э0 = (1 < х < Ъ, 0 < 9 < к1), если нагнетание происходит к центру и Э0 = (а < х < Ъ, 0 < 9 < к:) для шевронного подшипника. Функция Д(х, 9) равна Д0 в области Э0 и нулю вне ее. Угол наклона канавок в является функцией переменной х: в(х) = в0 > 0 при а < х < 1, если нагнетание происходит от центра, то при 1 < х < Ъ удобно положить в(х) = п/2; если нагнетание происходит к центру, то в(х) = -в0 при 1 < х < Ъ и в(х) = п/2 при а < х < 1; для шевронного подшипника в(х) = в0 при а < х < 1 и в(х) = -в0 при 1 < х < Ъ.
Линеаризуем систему (1)-(5) в окрестности стационарного решения (Р0(х, 9), е0), где е0 - число. Можно доказать, что спектр линеаризованной системы дискретен, т.е. состоит из изолированных собственных чисел Хк конечной алгебраической кратности [2]. Числа Хк характеризуют малые колебания ротора относительно своего стационарного положения: величины цк = ЯеХк являются отношениями коэффициентов затухания малых колебаний к угловой скорости ю, а величины ик = 1тХк есть отношения собственных частот юк малых колебаний к ю. Обозначим X' = -тахЯеХк. Можно доказать,
к
что нулевое решение линеаризованной системы асимптотически устойчиво, если X' > 0 и неустойчиво при X' < 0. Из этого делаем вывод об устойчивости либо неустойчивости стационарного решения (Р0, е0) системы (1)-(5). Такой метод решения называется исследованием устойчивости по первому приближению. Число X' будем называть запасом устойчивости системы ротор-подшипник.
Пусть и(х, 9) - произвольная непрерывная, кусочно-гладкая функция в области Э, периодичная по переменной 9 с периодом Т и равная нулю при х = а, Ъ. Умножим уравнение (1) на функцию и и проинтегрируем по области Э. Воспользовавшись граничными условиями (4), (5) и интегрируя по частям, получим
2ЛЯх ^^ = Ж-^ди + ^ . (7)
Задача (1)-(5) оказывается эквивалентной задаче (7) и (2)-(4). В такой интегральной формулировке задачу (1)-(5) более удобно решать методом Бубнова-Галерки-на. Воспользовавшись (6), представим (7) в виде
И хЯ!т VdxdQ = -2- Il H3 A( P2' u)dxdQ -6Kn|| H2 л (p' U dxdQ +
D D D
,||xHpdU dxd%-2Л||x ЭН
|x -д-т PvdxdQ,
где ЭН/Эт = de/dx, А(и, и) = x ^^ - ctg Pf
dx dx V
2
ЭиЭи ЭиЭгЛ 1 + ctg вЭиЭV ЭxЭ 0 + Э 0Э x J + x 303(3 '
Разобьем отрезок [0, к:] на М1 равных частей, а отрезок [кь Т] на М2 равных частей, где М = М1 + М2, 01, 02, ..., 0М+ 1 - узлы этого разбиения. Отрезок [а, 1] разобьем на N1 равных частей, а отрезок [1, Ь] на Щ равных частей, где N = N1 + Щ, х1, х2, ... ..., xN + 1 - узлы этого разбиения. Обозначим через ат(0), т = 1, ..., М + 1 - базис сплайнов первой степени, соответствующих разбиению отрезка [0, Т]; Рп(х), п = 1, ... ..., N + 1 - базис сплайнов первой степени, построенных по разбиению отрезка [а, Ь]. Неизвестную функцию Р(т, х, 0) будем искать в виде
P(t, x, 0)
M + 1N + 1
II P.
m = 1 n = 1
,(x)a.(0)P„( x ),
где P.n - коэффициенты, подлежащие определению (Ры = Pm+ 1, n, n = 1,
Pm1 = Pm, N+ 1 = m = 1 M + 1)- ПоложиМ
V1n = [а1(0) + ам +1(0)]Pn ( x ). Umn = am(0)pn( x ).
(9)
N + 1;
(10)
где т = 2, ..., М; п = 2, ..., N.
Подставляя (9) и (10) в (8) и (2) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений Ь = ^ - 1) + 2, являющуюся результатом дискретизации уравнений газовой смазки (1)-(5)
2 2
I êmnrsij r, s, i' j = 1
(e)Pm - г + i, n - s + j = I
Г, s, i, j, k, l = 1
amnrsijkl(ePm - r + i, n - s + jPm - r + k, n - s + l
+
+ X Ьтп™/е> е)Рт - г + ¡, п-5 +т = 1>-> М П = ^ (11)
Г, 5, ¡, ) = 1
М + 1N + 1
тгЁ = / + £ X X СтпРтп' т = 1 п = 1
где точками обозначены производные по переменной т. Коэффициенты gmnгs¡j(е), атпгауИ(е), Ьтпг5у(£, е) получаются при вычислении интегралов в равенстве (8) по прямоугольным областям хп _ 5 + 1 < х < хп - 5 + 2, 0т - г - 1 < 0 < 0т - г + 2, г, 5 = 1,2. В каждой такой области функция Н постоянна и ее можно вынести за знак интеграла в некоторой степени. Оставшийся интеграл от произведения функций, зависящих от переменных х и 0, сводится к произведению определенных интегралов, которые можно вычислить точно или приближенно с любой точностью (например, по формуле Симпсона). Коэффициенты стп равны
((m
cmn = ||xam(0)Pn(x)dxd0 = | am(0)d0 | xPn(x)dx
V0m -1
fx„
y\xn-1
D
D
2
D
Приравнивая правые части системы (11) нулю, получаем систему нелинейных алгебраических уравнений для определения стационарной точки этой системы. Стационарная точка находится приближенно методом Ньютона, который обладает свойством квадратичной сходимости [3], поэтому достаточно 4-5 приближений, чтобы получить стационарную точку с точностью до 10-6 - 10-8. Воспользовавшись равенством (9), можно найти приближенное значение (Р0 (х, 0), е0) стационарного решения системы (1)-(5). Линеаризуя систему (11) в окрестности стационарной точки, вычисляем собственные числа Vк, к = 1, ..., L линеаризованной системы, являющиеся приближенными значениями собственных чисел Затем находим приближенное значение запаса устойчивости роторной системы V' = -шахЯе^к. Находя стационарную точку системы (11)
к
методом Ньютона, на каждом шаге нужно решать систему линейных алгебраических уравнений порядка L. В данной работе такие системы решались методом Гаусса. Линеаризованная система (11) приводится сначала к нормальной форме, а затем вычисляются собственные числа несимметричной матрицы коэффициентов этой системы ^-методом [4].
В случае двустороннего подшипника обозначим через и Р® безразмерные давления в смазочном слое нижнего и верхнего подпятников. Для нижнего подпятника толщина смазочного слоя = 1 + е + Д(х, 0), для верхнего Я® = 1 - е + Д(х, 0). Пары функций (Р(Я)(т, х, 0), е(т)), (Р(В)(т, х, 0), е(т)) должны удовлетворять уравнению (1) и граничным условиям (3)-(5). В уравнении (2) следует заменить Р на Р^Я) - Р®. Вектор-
функции (Р^П (т), е(т)), (Р^П (т), е(т)) должны удовлетворять первой системе (11), а
во втором уравнении (11) вместо Ртп следует писать Р^Щ - рЩП . Порядок системы (11) в этом случае будет L = 2И(М - 1) + 2.
Стационарное решение (Р0, е0) системы (1)-(5) можно находить при заданном относительном отклонении ротора е0, либо при заданной нагрузке В первом случае уравнение (2) служит для определения не
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.