ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 1, с. 3-10
УДК 519.642.8
ОБ УСТОЙЧИВОЙ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЙ НЕРЕГУЛЯРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В УСЛОВИЯХ
БОЛЬШИХ ПОМЕХ
© 2007 г. М. Ю. Кокурин
(424001 Йошкар-Ола, пл. Ленина, 1, МарГУ) e-mail: kokurin@marsu.ru Поступила в редакцию 16.06.2006 г.
Исследуется класс регуляризованных методов Гаусса-Ньютона для решения приближенно заданных нерегулярных нелинейных уравнений в условиях, когда аддитивные возмущения оператора задачи близки к нулю лишь в смысле слабой топологии. По аналогии с ранее изученной традиционной ситуацией близости значений возмущенного и точного операторов по норме строится критерий останова, обеспечивающий получение адекватного погрешностям приближения. Библ. 8.
Ключевые слова: нелинейное операторное уравнение, нерегулярное уравнение, некорректная задача, слабая аппроксимация, критерий останова, оценка погрешности.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается уравнение
F(x) = 0, x е Hb (1.1)
где F : H1 —- H2 - нелинейный оператор, H1, H2 - гильбертовы пространства. Обозначим через x* решение уравнения (1.1) и положим
ar (x) = {y е H1 : ||y - x|| < R }.
Считаем, что оператор F дифференцируем по Фреше и при некотором R > 0 производная F удовлетворяет в шаре Q.R(x*) условию Липшица:
\\F'(x) - F(y)|| < Z||x - y|| Vx, y gar(x*). (1.2)
Непрерывная обратимость операторов F(x) и F*(x)F(x) не предполагается, поэтому уравнение (1.1) является нерегулярным и в общем случае некорректным. Это означает, что сколь угодно малые возмущения оператора F могут привести к существенным изменениям решения уравнения (1.1) или даже превратить (1.1) в уравнение, не имеющее решений (см., например, [1], [2]). Отметим, что при построении устойчивых методов аппроксимации решений задачи (1.1) имеющееся приближение F оператора F традиционно предполагается близким к нему в смысле нормы, так что с достаточно малым 5 > 0 выполняется неравенство
||F(x) - F(x)|| < 5, x е AR(x*). (1.3)
При необходимости аналогичное условие близости налагается и на производные F (x), F(x). Иногда выполнения неравенств вида (1.3) достаточно потребовать лишь для x = x*. В случае аддитивного возмущения, когда F(x) = F(x) + п, П е H2, условие (1.3) сводится к требованию малости возмущающего элемента п по норме пространства H2. Теоремы о сходимости методов регуляризации обычно устанавливают сильную сходимость вырабатываемых этими методами приближений к решению x* при 5 —► 0 (см., например, [1]-[3] и указанные там ссылки). Последнее
означает, что для точной аппроксимации решения привлекаемые приближенные элементы F (x)
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 06-01-00282a).
должны при 5 —► 0 сходиться к соответствующим точным значениям F(x) в смысле нормы И2. Целью данной работы является изучение аппроксимативных свойств класса регуляризованных
методов Гаусса-Ньютона (см. [2, гл. 4]) в условиях, когда элементы F (x) приближают F(x) лишь в смысле слабой топологии пространства И2 и могут быть далеки от них в смысле нормы этого пространства.
В разд. 2 перечислены используемые в работе условия и вкратце сформулирован ее основной результат, разд. 3 посвящен доказательству основной теоремы, в разд. 4 указаны примеры уравнений, к которым применима развиваемая теория.
2. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТ В работе исследуется класс итерационных процессов (см. [2, с. 101])
x„ + 1 = % - ©(F*(x„)F(xn), an)F*(x„)(F(x„) - F(x„)(x„ - %)). (2.1)
К итерациям (2.1) приходим, применяя для приближенного решения уравнения метода Гаусса-Ньютона
F*(xn)F(xn)(x - xn) + F*(xn)F(xn) = 0, x e Hb
известную (см. [4, с. 28]) схему аппроксимации решений линейных некорректных задач. Конкретные процессы в рамках общей схемы (2.1) определяются заданием порождающей функции © = ©(X, a), элемент % e И1 является параметром, предоставляющим дополнительные возможности управления итерациями наряду с начальным приближением x0 e QR(x*) и последовательностью параметров регуляризации {an}. Всюду ниже предполагается выполненным
Условие 1. Имеют место соотношения
an
0 < an +1 < an, n = 0, 1, ..., lim an = 0, sup —— = r <
n n = 0, i, ...an+1
Считаем, что приближенные операторы F дифференцируемы по Фреше на Q.R(x*) и удовлетворяют условию Липшица (1.2) с той же постоянной L. Согласно (1.2),
||F' (x )||, ||F(x)||< N Vx e Q,R(x*). (2.2)
Поэтому спектры операторов F*(x)F(x), F* (x)F (x) (x e QR(x*)) принадлежат отрезку [0, N2]. Функции ©(•, a) предполагаются аналитическими в областях Da с С таких, что Da з [0, N2], a e (0, a0]. Следующие условия (см. [2, с. 101, 102]) более точно определяют класс используемых в работе порождающих функций.
Условие 2. Существует постоянная c1 > 0 такая, что
sup |©(X,a)|< О. Vae (0, a0].
Xe [0, N2] a
Условие 3. Существует постоянная p0 e [1/2, такая, что для каждого p e [0, p0] (p0 e [0, если p0 = с подходящей константой c2 = c2(p) справедлива оценка
sup |1-©(X,a)X|Xp< c2ap Vae (0, a0].
Xe [0, N2]
Наибольшее возможное значение величины p0 в условии 3 называется квалификацией процесса (2.1).
Нетрудно видеть, что при выполнении условий 2, 3 имеет место неравенство
sup |©(X,a)VX|< Va e (0, a0 ]. (2.3)
Xe [0,N2] Ja
Известно, что если F Ф F, то итерации (2.1), вообще говоря, расходятся при n —► поэтому для получения приемлемого приближения к x* в условиях погрешностей необходим останов ите-
рационного процесса на некотором конечном шаге n = N(5). В [2] процесс (2.1) изучался в предположении, что приближенный оператор F удовлетворяет условиям
||F(x* )||<5, ||F(x) - F (x)||<5 Vx е ü,R(x*). (2.4)
В случае аддитивной модели погрешности F (x) = F(x) + п условия (2.4) сводятся к неравенству ||п|| < 5, предполагающему малость возмущения п в норме H2. Ключевую роль при исследовании итераций, подобных (2.1), играет следующее условие истокопредставимости начальной невязки
x* -
Условие 4. Имеет место представление
x*-£ = (F*(x*)F'(x* ))p v + w, p е [ 1/2, p0], (2.5)
где v, w е H1, ||v|| < d, ||w|| < A.
Соотношение (2.5) можно рассматривать в качестве возмущенного варианта классического истокообразного представления (см. [2], [3])
x*-£ = (F*(x*)F(x*))pv, ||V <d,
при этом A является оценкой погрешности указанного представления. В типичном для приложений случае функциональных пространств H1, H2 и полной непрерывности оператора F(x*) это представление означает повышенную гладкость элемента x* - В [2, гл. 4, § 1] установлено, что
в случае F = F, A = 0 итерации (2.1) локально сходятся к решению x* уравнения (1.1). В общем случае был предложен критерий останова n = N(5, A), обеспечивающий оценку погрешности
||xn(5,a) - x*|| = 0((5 + V а N (5, a)a)2 p/(2 p +1)). (2.6)
Опишем теперь исследуемую в настоящей работе модель погрешностей. Будем предполагать, что вместо точного оператора F доступно его приближение F такое, что
F(x) = F(x) + п, x е qr(x*), (2.7)
¡F(x* )|| < 5, Fx*) - F(x* )||<5. (2.8)
Здесь F - дифференцируемый по Фреше оператор с производной, удовлетворяющей на ßR(x*) условию Липшица. Заметим, что в (2.8) по сравнению с (2.4) требование к качеству аппроксимации производной F формально ослаблено. Без ограничения общности считаем, что производная
F удовлетворяет неравенству (1.2) с прежней константой L. Элемент F (x) рассматривается здесь в качестве аппроксимации F(x), близкой к F(x) в смысле нормы пространства H2 по крайней
мере в малой окрестности x*. В отличие от возмущения F(x) - F(x), элемент п не предполагается малым по норме. Относительно п будем предполагать выполненным
Условие 5. Известна верхняя равномерная по ßR(x*) оценка ю величины ||F* (x)n||, т.е.
sup ||f* (x )п<ю. (2.9)
x е nR(x*)
Элемент п можно рассматривать в качестве малого в слабом смысле возмущения F(x), а величину ю - как меру указанного возмущения. Поясним это подробнее. Предположим, что оператор
F удовлетворяет следующему дополнительному условию.
Условие 6. Для любой последовательности {hn} такой, что hn —- 0 слабо в H2, выполняется предельное соотношение
lim sup ||F* (x) hj = 0. (2.10)
n x е nR(x*)
Пусть теперь {пп} - некоторая фиксированная последовательность, слабо сходящаяся к нулю в H2. При выполнении условия 6 оценка (2.9) с п = пп выполняется для достаточно большого номера n и можно считать, что ю —► 0, когда n —► В то же время норма ||пп|| не только не обязана быть малой, но может принимать сколь угодно большие значения. Поскольку малость ве-
личины ю обеспечивается выбором в качестве п элемента с достаточно большим номером из слабо сходящейся к нулю последовательности, будем называть п малым возмущением Р(х) в слабом смысле. На практике возмущения такого рода моделируют высокочастотные помехи большой амплитуды, наложенные на измеряемый сигнал. Основным результатом работы (теорема 1) является обоснование для итераций (2.1) априорного критерия останова п = Ы(ю, 5, А), обеспечивающего следующую оценку погрешности, подобную (2.6):
(ю,5,А) - х* = + ам(ю, 5, А)5 + (ю, 5, А)А) ) • (2.11)
В применении к случаю аффинного оператора Р при 5 = А = 0, р = 1/2 такая же по порядку оценка 0(ю1/3) для метода Тихонова была ранее получена в [5]. Как следует из (2.11), в частном случае
А = ю = 0 отображение (Р, 5) —- х№(0, 5, 0) порождает регуляризующий алгоритм для задачи (1.1) (см. [1]). В интересующей же нас общей ситуации, предусматривающей наличие погрешностей в истокообразном представлении и (или) слабых возмущений Р(х), схема (2.1) не порождает, вообще говоря, регуляризующий алгоритм. Тем не менее оценка (2.11) устанавливает устойчивость получаемых аппроксимаций хЖ(ю, 5, А) по отношению к указанным возмущениям, а также к малым в смысле нормы возмущениям оператора задачи (1.1).
3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
Опишем предлагаемый критерий останова итераций (2.1). Зафиксируем параметр т > 0 и предположим, что погрешности ю, 5, А удовлетворяют условию
ю . 5 , А
— < т• (3.1)
p +1 p +1/2 p a0 a0 a0
Положим
N(ro, 5, A) = maxin = 0, 1, ... : J!L ++ A <m I. (3.2)
I ap ap < J
Из (3.1) и условия 1 следует, что номер N(ro, 5, A) > 0 кон
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.