МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 539.3:254.3-17:662.313
© 2008 г. К.Б. УСТИНОВ
ОБ УТОЧНЕНИИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ БАЛОЧНОЙ МОДЕЛИ
КАНТИЛЕВЕРА АТОМНО-СИЛОВОГО МИКРОСКОПА И ИХ ВЛИЯНИИ НА ИНТЕРПРЕТАЦИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Исследовано влияние граничных условий балочной модели кантилевера атомно-силового микроскопа (АСМ) на результаты вычислений. Показано, что влияние упругости контакта (обычно рассматриваемого как жесткого) кантилевера с массивной частью в ряде случаев может быть весьма существенным.
Введение. Атомный силовой микроскоп (АСМ) в силу своей универсальности является в настоящее время одним из основных инструментов исследования поверхности. Измерительным элементом АСМ является кантилевер - консоль, закрепленная с одного конца, на другом конце которой крепится зонд в виде острого наконечника (иглы). Для описания механического поведения кантилевера обычно применяется балочная модель. В настоящей работе ставится задача уточнения граничных условий балочной модели для более адекватного описания процесса деформирования кантилевера.
1. Основные соотношения модели. Наиболее простой моделью, описывающей механическое поведение кантилевера, является балочная модель, в рамках которой кантилевер рассматривается как балка, один конец которой жестко закреплен, а другой находится под действием сосредоточенной силы. Данная модель приводит к элементарному уравнению изогнутой оси балки, которое в случае балки постоянного сечения и модуля Юнга имеет вид
где U - поперечное смещение точек оси балки (прогиб); E - модуль Юнга вдоль оси балки; координатная ось x направлена вдоль оси балки (кантилевера); q - распределенная вдоль оси балки нагрузка (для кантилеверов АСМ обычно полагается равной нулю, поскольку единственными силами такого рода являются силы Ван-дер-Ваальса, а их влияние вдоль оси кантилевера мало); I - момент инерции сечения кантилевера. Для балки прямоугольного сечения
где h, b - высота и ширина балки, соответственно (размеры вдоль и поперек приложения нагрузки).
Данное уравнение в применении к кантилеверу АСМ обычно решается со следующими граничными условиями. В заделке (x = 0) прогиб и угол наклона равны нулю (жесткая заделка):
(1.1)
I = bh 3/12
(1.2)
U( 0) = 0
(1.3)
(1.4)
На конце кантилевера (x = l) ставится условие равенства нулю момента
d-UU (l) = 0 (1.5)
dx
и условие, соответствующее приложенной силе f:
d?(') = <вд
При соблюдении данных граничных условий (классических для балочной теории) и
отсутствия распределенной нагрузки q = 0 решение уравнения (1.1) есть
U (Х) = (1J)
Соответственно связь смещения в крайней точке кантилевера l (точке приложения силы) и приложенной силы определяется как
Urigid( i) = f 1Ъ (1.8)
Несмотря на простоту, балочная модель кантилевера является весьма неплохим приближением к точному решению. Это связано с тем, что она есть асимптотически точное решение для малых отношений толщины консоли к длине, что всегда выполняется для кантилеверов АСМ. Точное решение имеет вид
U — A __l
w exact EI
з i Л h
1 + Olj
2-,
(1.9)
Здесь A = 1 для h/b ~ 1 и A = 1/(1 - v2) для h/b ^ 0, v - коэффициент Пуассона.
Обычно при расчетах балочных систем в качестве основной поправки к элементарной теории балок рассматривают поправку, вызываемую действием перерезывающей силы (см., например, [1]). Однако все поправки данного рода дают вклад порядка не выше чем O(h/02. Вместе с тем, принятие условия жесткой заделки для закрепленного конца кантилевера является всего лишь приближением и, как будет показано ниже, вносит погрешность порядка h/l. Замена условия жесткой заделки на более корректное условие упругой заделки позволяет, оставаясь в рамках элементарного балочного приближения, получить корректное решение с точностью до O(h/l)2.
2. Балочная модель прямоугольного кантилевера; уточненные граничные условия. На фиг. 1, a представлена конфигурация прямоугольного кантилевера АСМ в ненагру-женном состоянии. В процессе нагружения кантилевера происходит его деформирование, описываемое в рамках классической балочной теории как изгиб. При этом в рамках классической теории закрепленный конец (слева на фиг. 1, а) предполагается неде-формированным и несмещенным. Такая ситуация имела бы место в случае прикрепления консоли (кантилевера) к абсолютно жесткому телу (фиг. 1, b). Такое допущение интуитивно представляется вполне оправданным ввиду массивности тела, к которому крепится кантилевер. Однако в действительности на данное тело со стороны кантилевера действуют напряжения, вызывающие локальные смещения точек границы контакта (фиг. 1, с).
С точки зрения влияния этих смещений на граничные условия для балки можно выделить смещение U(0) и поворот (dU/dx)(0) точки заделки, которые уже не будут равны нулю. Поскольку в балочном решении в каждом сечении из силовых параметров фигу-
(а)
- <
V (Ь)
(0)
и(0)
г (с)
Фиг. 1
рируют только сила Р(х) и момент М(х), то искомые смещение и поворот должны быть функциями от указанных силовых параметров. В силу линейности задачи
и( 0) = ап М( 0) + а12 Р( 0), (0) = а21 М (0) + а22 Р (0)
С учетом того, что Р(0) = /, М(0) = у?, и сделав замену а« = #
данные условия можно записать как
Х (0) = I/Ш + I/Й' ^(0) = I/Ш + I/Й
Тогда решение уравнения (1.1) с учетом граничных условий (1.5), (1.6), (2.3) будет иметь вид
(2.1)
(2.2)
(2.3)
ТТ/ \ / 2 / 3 в21 ,,, в22 в11 ,,, в12
и (х) = 2тХ-6ШХ +Ш /ш + Ш /Нх +Ш /1Н +Ш /н
(2.4)
Таким образом, взаимосвязь между приложенной силой и смещением в точке приложения силы (х = 0 с точностью до 120(Н/1) имеет вид
3
(2.5)
и<( ?) =/ к (31+в ?)
Здесь положено в = в21.
Фиг. 2
Безразмерный коэффициент в, называемый в дальнейшем коэффициентом упругой заделки, не может быть определен в рамках балочной теории. В общем случае он может зависеть от геометрических параметров балки и упругих параметров балки и материала массивной части конструкции, в которую эта балка заделана. Размеры массивной части предполагаются достаточно большими, чтобы балка (кантилевер) могла рассматриваться как прикрепленная к полупространству, для которого, очевидно, невозможно выделить линейные размеры. К геометрическим параметрам балки относятся ее ширина и высота в точке крепления Ь и Н, к упругим параметрам - модули Юнга, Е, Ет и коэффициенты Пуассона V, vm кантилевера и массивной части. Итак, в является функцией от следующего набора параметров:
Поскольку безразмерная функция должна зависеть лишь от безразмерных параметров, то (2.6) очевидно преобразуется к виду
Для вычисления коэффициента упругой заделки можно предложить несколько способов. Наиболее прямолинейным является численное решение задачи для различных соотношений параметров и определение зависимости (2.7). Данная процедура описана ниже.
3. Численное определение коэффициента упругой заделки. Методом конечных элементов (на сетках с числом узлов 22350 и числом элементов 15482) была решена задача для различных соотношений параметров Н/Ь, Ет/Е, I. Конфигурация рассматриваемой области и конечноэлементные сетки представлены на фиг. 2. Проведен ряд расчетов для коэффициентов Пуассона Vm = V = 0.25, что примерно соответствует значениям материалов, используемых на практике. Для каждого набора геометрических параметров задача решалась для отношения модулей Юнга Ет/Е = 104; 10-1. Первое из значений соответствует практически бесконечно жесткому телу основания, т.е. жесткой заделке,
в = в(b, h, E, Em, V, Vm)
(2.6)
в = в(h/b, Em/E, V, Vm)
(2.7)
Длина Ширина Высота EJE U(l) ■ 105 Uel Urigid U rigid P
10 0.5 0.1 10000 2.5030
10 0.5 0.1 1 2.5196 0.00663 0.22
10 0.5 0.1 0.1 2.6484 0.0581 1.94
10 1 0.1 10000 1.2469
10 1 0.1 1 1.2554 0.00682 0.27
10 1 0.1 0.1 1.3247 0.0624 2.08
10 1 0.2 10000 0.15593
10 1 0.2 1 0.15791 0.0127 0.21
10 1 0.2 0.1 0.17324 0.111 1.85
10 0.5 0.2 10000 0.31313
10 0.5 0.2 1 0.31718 0.0129 0.22
10 0.5 0.2 0.1 3.4623 0.106 1.76
второе значение - случаю, когда кантилевер и основание изготовлены из одного материала, третье значение - случаю более жесткого кантилевера. Для каждого из значений EJE рассчитывалось смещение в точке приложения силы, а затем считалось отношение смещений кончика кантилевера для случая упругой и жесткой заделок
Uel
Urigid
U ( Em / E = 1 ■ 10- 1) U (Em/E = 10-4)
(3.1)
Подставляя сюда формулы (1.8) и (2.5) получаем уравнение для определенного коэффициента упругой заделки в:
U
elastic
Urigid
Откуда
U ( Em / E = 1 ■ 10 - 1) U ( Em IE = 1 0-4 )
fE( 1/3 + ph/í)
fli/3EI
= 1 + 3 ph /1
P
1
3h
-к
U ( Em / E = 1 ■ 10 ' ■ ) . U ( Em / E = 1 0-4 )
-1
(3.2)
(3.3)
Расчетные данные приведены в таблице. В силу линейности рассматриваемой задачи имеют значения лишь относительные значения параметров.
На основании представленных данных трудно сделать вывод о зависимости коэффициента упругой заделки от профиля сечения кантилевера. Эта зависимость либо является слабой, либо отсутствует вовсе. Вместе с тем, наблюдается явная зависимость коэффициента от отношения упругих модулей кантилевера и основания. Данная зависимость может быть представлена в виде
Р~РсE/Em; Pe ~ 0.2
(3.4)
Данное значение неплохо согласуется со значением в ~ 0.33, полученным в работах [2, 3] для плоского случая и одинаковых модулей консоли и основания. В этих работах коэффициент упругой заделки определялся из соответствия энергии деформирования
при рассмотрении внешней (балочное приближение) и внутренней (полубесконечная трещина, параллельная границе полуплоскости) задач. Оценка коэффициента упругой заделки исходя из решения задачи о жестком штампе, вдавливаемом в упругое полупространство под действием момента [4], дает в = 4/(3п) ~ 0.424 как для плоской деформации, так и для плоского напряженного состояния.
Влияние поправки, учитывающей упругость кантилевера, видно из приведенных в таблице данных. Для некоторых значений соотношения геометрических и упругих параметров она может достигать десятка процентов.
На основании формул (3.4) и (3.2) можно оценить поправку для прогиба за счет упругости заделки в общем случае
Н Е
е1 1 + 0.6Н-Е- (3
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.