I
(54)
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 145, № 3 декабрь,2005
u :-вая часть всегда к-'Хтоянна, а правая
положить
К
(55)
(56)
эт к следующим
(57)
гтвует об отсут-
е -о сферически-р'— :кие коэффици-только стати-Г- кого сферичес-тов работы [3] г да больше ра-
благодарность
М.: Наука,
Т. 145. N'- 2.
Г
30 14. VI. 2005 г.
© 2005 г. В. П. Маслов*
ОБ УТОЧНЕНИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ГИББСА И БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА
Строгий вывод распределений Гиббса и Бозе-Эйнштейна на конечном множестве энергий, по существу, сформулирован в качестве некоторой теоремы теории чисел. Для случая не очень большого числа частиц дискуссия по этому вопросу снимается точной теоремой.
Ключевые слова: распределения Гиббса и Бозе-Эйнштейна, теория чисел, закон больших чисел.
При выводе формулы для идеального бозе-газа используется понятие ячеек небольшого фазового объема, окружающего данный уровень энергии. Иначе говоря, некоторый близкий набор энергий объединяется в одну ячейку, а в качестве энергии, отвечающей этой ячейке, рассматривается некоторая средняя энергия по этому набору. Вывод основывается на комбинаторном подходе и методе неопределенных множителей Лагранжа. Здесь мы укажем, во-первых, как выбирать среднюю энергию (по формуле нелинейного среднего; см. [1]), и, во-вторых, какова вероятность того, что частицы распределятся по уровням энергии именно по формулам Гиббса или Бозе-Эйнштейна.
Часто физики полагают, что распределение Гиббса есть постулат. Сам Гиббс привел некоторую аргументацию в пользу этого распределения, но не более того. Мы приведем здесь другой постулат, из которого выведем распределение Бозе-Эйнштейна как переходящее при некоторых условиях в распределение Гиббса. Этот постулат заключается в том, что все возможные расположения частиц по уровням энергии, меньшим или равным заданной энергии, равновероятны. В этом случае оказывается, что подавляющее число вариантов расположения будет находиться вблизи распределения Бозе-Эйнштейна, если число частиц достаточно велико.
При этом мы дадим соответствующие оценки. Это важно, поскольку в теории ловушек и вообще в мезоскопической физике число частиц N имеет порядок не 1023, как в статистической физике, а как правило, таково, что N велико, но значение In N уже не велико.
Полученный закон, подобно закону больших чисел в теории вероятностей, справедлив в известных пределах, которые здесь будут предъявлены. По существу, этот закон распределения есть некоторая общая теорема теории чисел, а значит, он применим не
* Московский государственный университет, Москва, Россия. E-mail: v.p.maslov@mail.ru
434
в. п. маслов
только к частицам, но и к распределению слов в частотном словаре (закон Ципфа [2]) и к распределению биологических видов, людей по городам и т.д., а также в финансовой математике.
Итак, мы рассматриваем набор энергетических уровней А1, Аг,..., А„ (где Аг ^ А{+х) и число частиц N = £"=1 (где А^ - число частицнаг-м уровне) такие, что не превосходит энергию Е, где ». .
N(\1 +е) < Е < Л', £>0.
п
Рассмотрим число всевозможных вариантов сумм вида А^Л^ при всех Л^ таких, что = N. Число этих вариантов N можно выразить формулой
иимивп'чжн. М = 0 ( Е ~ Е ) П '
{ЛГ,} 4 i=l
(1)
где 0 - тета-функция Хевисайда, а 6 - функция Кронекера. Разобьем множество 1,2,... ,п, где п —> оо, на к подмножеств, каждое из которых содержит натуральные числа, лежащие в определенном интервале, где к - конечное, не зависящее от п число. Для простоты, не уменьшая общности, мы можем допустить, что п делится на к, и считать эти интервалы одинаковыми, номера интервалов равны а = 1,2
Для сформулированной ниже теоремы будет важно соотношение между пи N (при заданномЕ ^>1).
Мы найдем температуру Т, точнее ¡3 = 1 /(кТ), к - постоянная Больцмана, при заданных параметрах Е и N из следующих обычных соотношений:
А ■ \
Е е/3(а,-м) _ 1 =е' Е е/3(а,-м) _ 1 = М>
г=1 ¿=1
(2)
где ¡л - химический потенциал. Формула Бозе-Эйнштейна уточняется следующим образом. Введем обозначения
Мь.«1М8йЦ и гиг
(с«+1)п/к (а+1 )п/к
= . Е ¡ж^тгт- ^ = . Е ^
г=ап/к+1
1=ап/к+1
Nа - число частиц, с энергиями Аапд+1,..., А(а+1)пд, попадающими в интервал с номером а. Обозначим через Д "разрешающую способность" [3].
Теорема. Число вариантов, удовлетворяющих неравенству
к
Е^-лд^ д,
^ лшу т.-.ь
аЫК
иг .и,.
а=1
ш
об уточнении распределений гиббса и бозе-эйнштейна
435
: Пипфа [2]) и 5 финансовой
(г-еА,- < Л1+1)
кто
.V, таких,
(1)
р гножество - -ральные п число. Аг, и счи-
С
И N (при
с--"-.. при за-
(2)
где
N С п,
лдтенеооо
Д = < ^/пп1п
N \/п
А+е
(3)
п 1п2+£ /v, N^>4,
будет мало, а именно равно 0(1/п°°) + 0(1/№°).
Иначе говоря, число вариантов разложения N частиц по энергиям Ах,..., \п вне значений N(2, удовлетворяющих условию ^ Л^! ^ Д, будет иметь порядок 0(п~к) + 0(1\Т~к), где к сколь угодно велико.
Наметим доказательство. Введем обозначения > и у? < ¡-
> -г
1 - 6
(а+1)[£] к
¿=а[£]+1 а=1
Имеем
р-иМ Г7Г гос гe-iN^p ( / " \ 1
¿.хдир,
(4)
где 0 и и - произвольные действительные параметры, для которых ряд сходится.
Если параметры и, 0 определяются из условий (2), то имеется точка перевала х = О для интеграла (4), и вычисление его методом перевала в этой точке в главном члене дает ((и,/Э) [4].
Для всех положительных с и Д выполняется неравенство
Г :-: шим об-
кг-
ервал с
0 = 0<
э{ ¿(Л^а-^а) -д} <2*е-сД ДсЬс(ЛГа-./Уа).
а = 1 ' а = 1
(5)
Чтобы оценить N в (4), рассмотрим разбиение единицы.
Пусть е\(х) € С°°, ег(х) € Со°, ез(х) € С°° - разбиение единицы (ех(х) + ег(х) + ез(х)) = 1 такое, что носитель второй функции 8иррег(х) = (—1,1). Подставив это раз-биениев (4), оценим тот член суммы 1 = ег(х), который содержит е\(х). Полагая
¿у = (1/гЕ) с1егЕх и интегрируя по частям, получим оценку этого члена вида 0{\/£), где £ - коэффициент в экспоненте при х. Повторяя эту процедуру к раз, где к - любое число, получим оценку этого члена вида 0(1/£°°). Аналогично получаем оценку для члена, содержащего ез(х).
Отсюда при 4'
с=и Г Лх
2тт \ J-7r v/?ГTT
_
436 ■ ЯС.ОЗК В.П. МАСЛОВ ШП/П '
обозначал через N выражение под первым знаком суммы в (4), получим [5]
< 2кСе~сЛе^Е^2 Е ЪЪ + ПсЬс^ ~ ^ + =
Щ} {ЛГ;} 1 « > а=1 4 7
= 2кСеРЕе~сА lliQiv + C,ß)e-c"° + - C,ß)ec"°) + О
а=1
(6)
Разложим Q + с, ß) по формуле Тейлора:
гчтэш i-?
In (0(1/ + c,ß)) = toCt(v,ß) + c(ln + 2" (In 6)> + ic,ß),
где 7 < 1. Положим с = A/D(v, ß), где D(v, ß) = (In £)"("> ß) ~ Дисперсия. Учитывая, что Inj, Ca = Na, нетрудно убедиться, что правая часть соотношения (6) не превосходит
iii I 2У
Накладывая на А ограничение вида
^ (2 -e)D(v,ß),
D{v,ß)
где е > 0 - достаточно малое число, получим окончательно
ё<2 *Се-сД2/в<"-Я+</ 1
:U1
<тх
Нетрудно оценить дисперсию Б как функцию от Аг, п: Б ~ N при N < п, а при п » N оценка для И дает следующее соотношение: О ~ Ы2/п. Отсюда, учитывая результат вычисления N (4) по методу перевала, получаем оценку для 0 (5).
Список литературы
[1] В. П. Маслов. Матем. заметки. 2005. Т. 78. № 3. С. 377-395.
[2] В. П. Маслов. ДАН. 2005. Т. 405. № 5 (в печати).
[3] В. П. Маслов. Матем. заметки. 2005. Т. 78. № 6. С. 870-877.
[4] М. В. Федорюк. Метод перевала. М.: Наука, 1977.
[5] В. П. Маслов. ДАН. 2005. Т. 404. № 6. С. 731-736.
-р •<i<
Поступила в редакцию 10.X.2005 г.
J
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.