ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2015, том 78, № 5, с. 471-474
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ОБЪЕДИНЕНИЕ ГРАВИТАЦИИ СО СЛАБЫМИ ВЗАМОДЕЙСТВИЯМИ И ПРИНЦИП МУЛЬТИКРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
© 2015 г. С. Р. Дас1}*, Л. В. Лаперашвили2)**, Х. Б. Нильсен3)***, А. Туреану4)****, К. Д. Фроггатт5)*****
Поступила в редакцию 29.06.2014 г.
Исследуется вопрос самосогласования объединения гравитации и слaбого Би(2)-взаимодействия в модели, инвариатной относительно группы Брт(4,4). С этой целью рассматриваются следствия принципа мультикритической точки, допускающего существование двух вырожденных вакуумов в стандартной модели, а также предполагается существование видимого и невидимого секторов Вселенной.
001: 10.7868/80044002715020130
1. В работе [1] построена модель объединения гравитационных полей со слвбыми Би(2)-калибровочными и хиггсовскими скалярными полями. В предположении существования видимого и невидимого (скрытого) секторов Вселенной мы представили скрытый мир как зеркальный мир (МW) с нарушенной зеркальной четностью (MP), который не идентичен обычному (видимому) миру (OW). Мы использовали обобщение 4-мерной теории гравитации в формализме Плебанского, в которой фундаментальными полями являются 2-формы, содержащие тетрады, спиновые связности и вспомогательные поля. Модель [1] является развитием идеи объединения, предложенной в работе [2].
Общая теория относительности (ОТО) Эйнштейна была сформулирована как динамика метрики . Позже Плебанский [3] и другие авторы представили ОТО как самодуальную теорию, в которой фундаментальными переменными являются 1-формы связностей
Аи
и тетрад в1:
AIJ — A1J
A — ИХ ,
\IJ,
e — e цdx ■
(1)
1)1 Лиссабонский университет, Португалия.
2)Институт теоретической и экспериментальной физики, НИЦ "Курчатовский институт", Москва, Россия.
3)Институт Нильса Бора, Копенгаген, Дания.
4) Университет Хельсинки, Финляндия.
5)Университет Глазго, Великобритания. E-mail: crdas@cftp.ist.utl.pt E-mail: laper@itep.ru
E-mail: hbech@nbi.dk
E-mail: anca.tureanu@helsinki.fi
E-mail: c.froggatt@physics.gla.ac.uk
Используется также 1-форма А = ^АЫгуи, в которой генераторы ^и являются произведениями генераторов алгебры Клиффорда С1(1,3): Ти = т173. Индексы 1,3 = 0,1,2,3 относятся к пространству с метрикой Минковского п13 = = diag(1, —1, —1, —1), которое рассматривается как плоское пространство, тангенциальное к искривленному пространству с метрикой . В этом случае связность принадлежит локальной группе Лоренца БО(1,3) или спиновой группе Брт(1,3). В общем случае моделей объединения гравитации, БиN)- или БО(Ы)-калибровочных и хиггсовских полей калибровочной алгеброй является д = = £рт(р,д), и мы имеем 1,3 = 1,2,...,р + д. При построении модели объединения гравитации и слабого Би(2)-взаимодействия мы рассмотрели группу симметрии с алгеброй Ли зрт(4,4). В этой модели индексы принимают значения 1, 3 = = 1, 2,...,7, 8.
С целью построения действия для любой теории объединения рассматриваются следующие 2-формы:
Вы = е/Ле'/ = \eieidx11 Л йхи,
^V L
1
FIJ = -F^dx» Л dxv, 2 vV '
где F J — dd AJ - dvAJ - [AM, Av]IJ определяет кривизну Римана—Картана:
Rkx^v = ек e\ F iv ■
Рассматриваются также 2-формы B и F:
В = \BIJ1ij, F = \FIJ1IJ, (2)
472
ДАС и др.
Р = йА + -[А,А\.
Хорошо известная в литературе БГ-теория Пле-банского представляется следующим гравитационным действием с ненулевой космологической константой Л:
I
(GR)
1
T Л Fi + (ф-1).. T Л Tj
1
guni
M
I (A, B, Ф) = BF + ВФВ + ^БФФФБ^
где (...) — внешнее произведение (wedge product Л) матриц; guni — параметр объединения, а ^ijkl — вспомогательные поля.
Рассмотрев полученные с помощью действия (7) уравнения движения и выбрав допустимое решение, мы получили следующее зрт(4,4)ь-инвариантное действие для объединения гравитации со слабыми БП(2)ь-калибровочными и хиггсовскими полями:
(3)
= А-I еикь ^Зи д ркь + ЛБ^J Л вкь^
где к2 = ОN — гравитационная константа
Ньютона, а Мтр]А = 1/у/ШТЦ.
Рассмотрим дуальные тензоры Г*и = = ф.е^ра и А*" = \е1ЖЬАкь. Самодуальная (+) и антисамодуальная (—) компоненты тензора
Аи
определяются следующим образом:
А(±) и = (<р±Ау-* = 1 (Аи ± 1А*и) . (4)
Два проекционных оператора = екь)
осуществляют гомоморфизм:
30(1,3)= з!(2,С)д Ф5[(2,С)ь, (5)
в результате которого отличны от нуля только компоненты А(±)г = А(±"'0г. Взамен терминов (ан-ти)самодуальности используются термины левосторонних (+) и правосторонних (—) компонент.
Плебанский [3] и другие авторы предложили рассматривать гравитационное действие в нашем
мире как левостороннее з1(2, С) -инвариантное действие, которое содержит самодуальные величины Г = Г(+)* и Я = (г = 1,2,3):
/(еГеу)(Е,А,^)= (6)
I{e,A) = -¡}~ í (FF*). «guni J M
(8)
Спонтанное нарушение симметрии объединения приводит к сохранению подалгебры
В= *1(2,С)<Г° Фзи(2)ь.
Рассматривая индексы а,Ь €{0,1,2,3} как соответствующие 1,3 = 1,2,3,4, а индексы т,п как соответствующие индексам 1,3 = 5,6, 7,8, мы можем представить спонтанное нарушение симметрии объединения в терминах 2-форм следующим образом: А = + \Е + А\у, где ш = = шаЪ7аь — это спиновая связность, которая соответствует подалгебре з[(2,С)^гау). Связность Е = Еат7ат соответствует недиагональным компонентам матрицы А13 и описывается следующим образом (см. [2]): Е = еф = е^^афт^т(!х^. Связность Ац/ = 7}Атп7тга приводит к выражению: Ац/ = которая соответствует подалгебре
зи(2)ь слабого взаимодействия. Здесь и ^ — матрицы Паули, г = 1,2,3.
Такое нарушение симметрии объединения приводит к следующему действию в видимом мире О^
) (е, Ф, А, Ащ) = (9)
=--— ¡<Рх\е\(~—\ф\2П + — \ф\4~
8дШ1 .' М\ 16т 32 ш
Здесь Я = 2Б, а Ф^ — вспомогательные поля, определяющие калибровку, которая обеспечивает эквивалентность (6) гравитационному действию Гильберта—Эйнштейна.
2. На пути построения объединения гравитационного и слабого взаимодействий мы рассмотрели обобщенное д = зрт(4,4)-инвариатное действие Плебанского:
1 т) cd nab i 1 -п — -T7.tt-ab -К cd + T,Ua 16 2
t Va ф + ± W^**
(7)
В уравнении (9) величина Я является скалярной кривизной Римана; \ф\2 = ф^ф — это квадрат модуля хиггсовского поля-дублета БП(2)ь; Ъф = = dф + [Ащ, ф] — ковариантная производная хиггсовского поля, а Гщ = dAw + [Ащ, Ащ] — кривизна калибровочного поля Ащ. Третий член действия (9) — топологический член в теории гравитации Гаусса—Бонэ (см., например, [4]).
Лагранжиан действия (9) приводит к ненулевому вакуумному ожиданию (УБУ) хиггсовского поля: V = {ф) = фо, которое соответствует минимуму хиггсовского потенциала при V2 = Я0/3, где Я0 > 0 — это постоянная скалярная кривизна фона в пространстве де Ситтера нашей Вселенной [2].
2
К
ОБЪЕДИНЕНИЕ ГРАВИТАЦИИ СО СЛАБЫМИ ВЗАМОДЕЙСТВИЯМИ
473
Согласно (9), гравитационная константа определяется соотношением
Шг (Ю)
космологическая константа равна Л = |V2, а дцг =
_ 8<?щи
3 '
Константа связи дщ является голой константой связи слабого взаимодействия и совпадает со значением константы д2 = дщ на планковском масштабе. Рассматривая бег а-1(^), где а2 = д2/4п, мы можем осуществить экстраполяцию этого бега на планковский масштаб, которая приводит к следующей оценке [5]: а2(МР\) ~ 1/50, т.е. дип ~ 0.1. При таком значении параметра дип невозможно получить правильное значение константы Ньютона из соотношения (10), если использовать значение вакуума на электрослабой шкале: у1 & 246 ГэВ.
Однако радиационные поправки к эффективному хиггсовскому потенциалу, рассмотренные в работах [6, 7], приводят к возникновению второго минимума хиггсовского потенциала на планковском масштабе. Было показано, что двухпетлевое приближение для хиггсовского потенциала обеспечивает существование второго вакуума у2 = ф(тш2) ~ ~ Мр\ при определенных параметрах стандартной модели (СМ).
3. Квантовая теория поля допускает существование нескольких минимумов эффективного потенциала, являющегося функцией скалярного поля. Если все соответствующие им вакуумы вырождены, имея нулевые космологические константы, то мы можем говорить о существовании мульти-критической точки (МКТ) на фазовой диаграмме рассматриваемой теории [8]. Принцип МКТ был применен в работе [9] при рассмотрении двух вырожденных вакуумов в СМ с целью предсказания массы топ-кварка и хиггсовского бозона: М1 = = 173 ± 5 ГэВ, Мн = 135 ± 9 ГэВ. Результат для массы хиггсовского бозона был улучшен вычислением двухпетлевых радиационных поправок к эффективному хиггсовскому потенциалу [6, 7]. Предсказание 125 < Мн < 143 ГэВ в работе [б] и 129 ± ± 2 ГэВ в работе [7] обеспечило возможность теоретического объяснения величины Мн & 126 ГэВ, полученной на LHC.
Подставив в формулу (10) значения дип = 0.1
и Сн = 1/8п(Мр^)2, где Мр^ & 2.43 х 1018 ГэВ, легко получить значение вакуума V, которое в этом случае является планковским: V = v2 & 2.5 х х 1019 ГэВ. Такой результат имеет место, если Вселенная на ранней стадии ее развития пребывала в состоянии "ложного" вакуума v2. Выход из этого состояния мог осуществиться с помощью другого хиггсовского поля Ф. Такая модель гибридной
инфляции была рассмотрена, например, в работе [10]. Мы предполагаем, что поле Ф возникает в результате взаимодействия с невидимым сектором Вселенной.
Как было отмечено в начале настоящей работы, мы предположили параллельное существование в Природе видимого (OW) и невидимого (зеркального) (MW) миров. Используемая модель подробно описана в работе [11]. Группа симметрии Gsм стандартной модели была расширена до GsM х С^М/, в которой О(М)-частицы являются синглетами групп GsM (С/sM/). В настоящей работе индекс со штрихом относится к МЖ При этом в соответствии с современными астрофизическими данными, согласно которым ^м : ПМ ~ 5:1, предполагается неидентичность миров МЖ и ОЖ, т.е. нарушение зеркальной четности МР. Было предположено, что УБУ хиггсовских дублетов ф и ф' не равны:
{ф) = V, (ф') = V', V = V',
и параметром нарушения зеркальной четности является £ = V/V. Астрофизические оценки дают £ > 30 (см. ссылки в работе [11]).
Действие 1(мж) в зеркальном мире представляется интегралом (9), в котором совершена замена всех величин на зеркальные: в, ф, А, Ащ,Я — — в',ф',А',
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.