МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2015
УДК 532.526
ОБЪЕМНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ, УСТРАНЯЮЩИЕ ПОПЕРЕЧНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ЛАМИНАРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
© 2015 г. С. В. МАНУЙЛОВИЧ
Центральный аэрогидродинамический институт им. Н.Е. Жуковского, Жуковский, Московская обл.
e-mail: sergei.manuilovich@gmail.com
Поступила в редакцию 29.09.2014 г.
Получены явные выражения для объемной силы, полностью подавляющей поперечное течение в пространственном пограничном слое на скользящем крыле, обтекаемом равномерным потоком совершенного газа. Определено оптимальное распределение подавляющей силы. Сформулированы смешанные задачи для вычисления формы распределенного силового воздействия и параметров соответствующего течения в управляемом пограничном слое. Исследовано влияние сопутствующего объемного нагрева на процесс подавления.
Ключевые слова: скользящее крыло, сжимаемый пограничный слой, поперечное течение, объемная сила, объемный нагрев.
Стреловидность крыльев современных самолетов позволила существенно увеличить скорость полета при незначительном увеличении силы сопротивления. Вместе с тем стреловидность крыла имеет также отрицательную сторону. Разгон течения на переднем участке крыла и эффект скольжения приводят к формированию поперечного течения в пограничном слое — ненулевого профиля скорости в плоскости, перпендикулярной внешней линии тока [1]. Наличие поперечного течения является сильным дестабилизирующим фактором [2], приводящим к турбулизации пограничного слоя практически на всей поверхности стреловидного крыла.
Моды неустойчивости поперечного течения, вызывающие аномально ранний ла-минарно-турбулентный переход, возбуждаются шероховатостью поверхности крыла [3, 4]. Каково бы ни было качество обработки материала обшивки крыла, шероховатости невозможно избежать из-за неизбежного загрязнения. Таким образом, единственным способом затягивания ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое на стреловидном крыле является повышение устойчивости течения, что напрямую связано с проблемой уменьшения интенсивности поперечного течения. Последнюю проблему можно решать с помощью уменьшения угла стреловидности, но это влечет за собой уменьшение скорости полета.
В настоящее время бурное развитие получили методы управления течениями газа с помощью объемной силы, создаваемой плазменными актуаторами [5]. В [6] предложено использование диэлектрического барьерного разряда (DBD) для ослабления интенсивности поперечного течения. Как показано в [7], суммарное действие периодической последовательности DBD-актуаторов, размещенных на поверхности скользящего крыла перпендикулярно передней кромке, приводит к повышению устойчивости течения и увеличению ширины ламинарного участка. В связи с этим представляет интерес нахождение однородного по размаху объемного силового воздействия, препятствующего формированию поперечного течения в пограничном слое. Пример та-
Фиг. 1. Общая схема течения (а) и конфигурация силового воздействия (б)
кого воздействия приведен в [8] для случая задачи обтекания скользящего крыла с небольшой дозвуковой скоростью в предположении отсутствия объемного подвода тепла.
Данная работа посвящена определению распределений объемной силы, осуществляющих полное подавление поперечного течения в сжимаемом пограничном слое на скользящем крыле с учетом сопутствующего объемного нагрева потока. Полученные конфигурации однородного силового воздействия могут использоваться при проектировании реальных систем, осуществляющих периодическое по размаху электрогидродинамическое воздействие с целью ослабления поперечного течения в пограничном слое.
1. Постановка задачи. Будем изучать задачу управления течением в ламинарном пограничном слое на скользящем крыле, обтекаемом равномерным потоком совершенного газа с числом Маха М < 1.
Общая схема течения показана на фиг. 1, а. Обозначим: У^ — скорость набегающего потока, и — его плотность и удельную энтальпию, — коэффициент динамической вязкости, к — постоянную адиабаты, х — угол скольжения. Введем криволинейную систему координат: 5 — расстояние, отсчитываемое от линии растекания вдоль поверхности крыла в направлении, перпендикулярном образующей, и п — расстояние по нормали к стенке (фиг. 1, а). Все исследуемые ниже течения однородны вдоль размаха крыла, т.е. их параметры не зависят от расстояния г, отсчитываемого вдоль образующей. Компоненты вектора скорости вдоль осей 5, п, г обозначим и, и, w; плотность и удельную энтальпию газа — р и к. Параметры потока на внешней границе пограничного слоя будем помечать индексом е.
Выпишем выражение для проекции скорости течения в пограничном слое на плоскость, перпендикулярную скорости внешнего течения
На разгонной части крыла градиент давления направлен против оси 5, поэтому профиль и/ие наполненный, а профиль w/we — не наполненный. При этом оба без-
размерных профиля достигают 1 на внешней границе пограничного слоя, следовательно ис/ > 0, т.е. в пограничном слое формируется поперечное течение.
Будем считать, что течение в пограничном слое управляется объемной силой, направленной параллельно обтекаемой поверхности (фиг. 1, б). Уравнения пограничного слоя на скользящем крыле для этого случая приобретают вид
д М , д (Р= 0, р = Рек (1.1)
дз дп к
I ди , ди\ йие д I ды\ , ,
\ дз дп) аз дп\ дп/
р(идИ + идИ _ + /
\ дз дп/ дп\ дп/ г
I дк ^ дк\, 1 д I дк. ^
Р ( и— + и — ) + Реие-еи _--1||— | + |
\ дз дп/ йз Рг дп \ дп.
ди\* 2
дп/ \дп
+ 9
Здесь Рг — число Прандтля, q — мощность объемного тепловыделения, сопровождающего действие объемной силы. Зависимость коэффициента вязкости от удельной энтальпии будем аппроксимировать формулой Сазерленда
( ^и к + 8)''(-к
_(1+8)( к
Цот \кся ) V кЖ
где 8 — параметр.
Наложим дополнительные ограничения на прилагаемое объемное воздействие. Применяемые на практике электроды ВВБ-актуаторов имеют вытянутую форму [5]. В связи с этим считаем, что сила, подавляющая поперечное течение, не меняет своего направления по толщине пограничного слоя. Кроме того, предполагаем, что мощность теплоподвода пропорциональна модулю объемной силы / = ^ // +
9 = с/ (1.2)
где c — постоянная величина. При использовании модельного закона (1.2) течение в управляемом пограничном слое характеризуется дополнительным параметром подобия — коэффициентом эффективности воздействия
к
Е =
СУ
^у да
Используя сделанные предположения, выведем общую формулу для распределений объемной силы, осуществляющей полное подавление поперечного течения в ламинарном пограничном слое. Умножим уравнение 5-импульса системы (1.1) на we, уравнение г-импульса — на ue, и вычтем одно уравнение из другого. С учетом условия подавления
и _ И
ие Ие
получим
,1 ( 2 аие
Р еиеИе—Т аз
(1.3)
1 1 = ие/ - Ие/з = /Уе МП 9 (1.4)
Реи2
где 9 — угол между скоростью внешнего течения и направлением объемной силы.
2. Оптимальное распределение объемной силы. Основным недостатком современных технологий по организации силового воздействия на течения газа является ограниченность интенсивности воздействия. В связи с этим среди рассматриваемого класса распределений объемной силы выберем распределение, имеющее наименьшую интенсивность. Заметим, что при фиксированном s максимум объемной силы достигается на обтекаемой поверхности:
maxf (s, n) = f (s,0) = n Ve sin В ds
Для минимизации этой величины направим подавляющую силу всюду точно против поперечного течения: 9(s) = п/2. Соответствующее распределение объемной силы
fopt
Pe UeWe ÜU.
V, ds
1 -
2^
р и
PeU2 J
(2.1)
будем называть оптимальным.
Выражение для оптимального распределения объемной силы (2.1) зависит от неизвестных пока профилей продольной скорости и плотности. Для их расчета подставим Л = -™е1оР1/Уе во второе уравнение системы (1.1) и преобразуем уравнение энергии, используя (1.2), (1.3). В результате имеем систему уравнений псевдодвумерного пограничного слоя для нахождения и и р
д (Ры) , д (р и) = 0, р = рЛ
& дп к
р I и--+ и—
\ ds дп
1 + -
2( 2 ри
Ve
PeUe2
- 1
PeU
dUe+A (цди
ds дп\ дп.
í дк дМ due 1 д р (и— + и—) + peue—e-u = — —
\ дs дп] ds Pr дп
1дН дп.
(2.2)
2
1 we 1 +
и.e
и
\дп.
2
CPe U.W. йи
(
Ve
ds
1 -
2
р и
Pe^e J
Система (2.2) отличается от классической системы уравнений плоского пограничного слоя [1] видоизменным уравнением энергии и множителем в квадратных скобках перед градиентом давления в уравнении импульса, лежащем в интервале (0, 1).
В качестве граничных условий для системы (2.2) будем использовать условия прилипания и теплоизолированности обтекаемой поверхности, а также асимптотические условия сопряжения с внешним течением (при этом под п = да подразумеваем предел при п/Ъ ^ да, где 8 — характерная толщина пограничного слоя)
u(s, 0) = u(s, 0) = 0,
дк дп
(s, 0) = 0, u(s, да) = иe (s), k(s, да) = ke
(2.3)
Вблизи линии растекания, где ие/Уса < 1, параметры течения имеют вид
и = 5ы0 (п), и = и0 (п), р = р0 (п), к = к0 (п)
и определяются решением краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Р0и0 + ^ = 0, dn
Р0 =
Pe (0) Me (0) кс
йио й ( йио \ , ч
РоЦ)—° = —¡Цо-г I, ц0 = ц(Н) йп йп V йп У
йп
йИо = 1 й
йН0
Р оио~Т = Цо -т" ! + I—^
йп Рг йп V йп У V йп
йио
(о)
. йъ
(2.4)
ио (о) = ио (о) = о, ^ (о) = о,
йп
ио Н = й-и(о), йъ
Но Н = К (о)
Заметим, что задача (2.4) совпадает с краевой задачей для расчета двумерного течения около плоской полубесконечной пластины при ее продольном обтекании равномерным потоком газа с числом Маха и температурой, равными соответствующим параметрам внешнего течения на передней кромке скользящего крыла. Решение последней дает начальные условия для расчета течения в пограничном слое, управляемом силой (2.1). В данной работе все расчеты, иллюстрирующие процесс подавления поперечного течения, выполнялись для случая обтекания скользящего крыла эллиптического сечения, обтекаемого под нулевым углом атаки.
Представим форму профиля крыла в виде параметрической зависимости
х = 1 а (1 - собс
У = 1 Ь 2
о < ф < п
где х, у — декартова прямоугольная система координат с началом на линии растекания, а — хорда крыла, Ь —
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.