53.083.91
Обеспечение достоверной оценки соответствия нормам летной годности результатов измерений п оказателей приземления с амолета
Л. Н. АЛЕКСАНДРОВСКАЯ1, А. В. КИРИЛЛИН1, О. М. РОЗЕНТАЛЬ2, П. А. ИОСИФОВ1
1 Российский государственный технологический университет им. К. Э. Циолковского
(МАТИ), Москва, Россия, e-mail: kirillinav@mati.ru 2 Институт водных проблем РАН, Москва, Россия
Показано, что достоверность измерений контролируемых показателей, обеспечивающих корректную оценку выполнения норм летной годности, должна обеспечиваться в рамках концепции приемлемого риска. При этом адекватная математическая модель метрологического обеспечения оценки соответствия опирается на выборочный толерантный интервал, преимущественно параметрический как наиболее экономичный по необходимому объему измерений. Предложен оригинальный метод построения такого интервала для широкого класса распределений.
Ключевые слова: показатель безопасности, приемлемый риск, толерантный интервал, выборка, семейство распределений Пирсона.
It is shown that the reliable measurements of controlled parameters, assuring the correct assessment of compliance airworthiness standards should be carried out in the frames of the acceptable risk concept. An adequate mathematical model of metrological assurance of conformity assessment depends on the tolerance interval, mainly parametric as the most cost-effective according to the required volume of measurements. The original method of such interval constructing for a broad class of distributions is suggested.
Key words: safety index, acceptable risk, tolerance interval, sampling, Pearson family of distributions.
В такой ответственной отрасли, как авиация, обработка результатов измерений обеспечивает достоверную оценку их соответствия установленным нормативам [1, 2]. В частности, для безопасности приземления самолета необходимо гарантировать надлежащий уровень таких его аэродинамических характеристик, как углы крена, сноса, боковое отклонение и пр. [3]. Соблюдение показателей безопасности (ПБ) в заданных жестких условиях предполагает обеспечение неравенства Р {х < хд} > Яз, где х — исследуемый показатель, хд — его допустимое значение; Яз — заданное значение вероятности. Трудности возникают в связи с необходимостью оценки соответствия по результатам выборочных измерений, при которых используется решающее правило г = X + kS < хн, где оценки X =1У х, ■
н п ^. I
I = 1
п _ 2
S2 = п-1 У(х,-х) ■ х1 — результат /-го измерения ПБ;
I = 1
к > Яз — коэффициент, определяющий толерантный интервал [4] и зависящий от количества п измерений, заданного значения Яз и доверительной вероятности у.
Для нормального закона распределения вероятности ПБ коэффициенты к табулированы [5], но нет гарантии, что перечисленные выше контролируемые параметры безопасности приземления самолета подчиняются именно такому закону. Поэтому актуально оценить выражения коэффициентов к при произвольном законе распределения.
Рассмотрим распределение случайной величины
г = X + kS при произвольном законе распределения па-
раметра х. Распределение оценки X для произвольного закона с конечными значениями моментов в силу центральной предельной теоремы является асимптотически нормальным с математическим ожиданием м[X] = т и дисперсией D [X ] = с2/ п.
Также асимптотически нормально распределение оценки с2, для которого М ^2] = с2, D ^2] = с4 (2/(п - 1) + (Р2 - 3)/п), где Р2 — показатель эксцесса [7].
Обозначим
"зкв - 1 = (П - 1)/(1 + ^),
тогда D ^2] = 2с4 / (пэкв - 1) , т. е. это выражение для нормального распределения при пэкв = п в общем случае совпадает с выражением для D ^2].
Таким образом, произвольное распределение случайной величины г, имеющее конечные моменты, можно считать приближенно нормальным, для которого
м й = т + кс, о Й = с 2 [ п + 2пЗ^).
Доверительный интервал определяется как
г - и 1+7 с,/— + к-тг < т + кс < г +
^ \п 2 (пзКВ - 1)
+ и1 + у с.|— + к-ТГ ,
^ \п 2 (пзКв - 1)'
откуда для односторонней верхней доверительной границы имеем
г > т
к - и
у
2 (пЭкв - 1>
где ^1+у , и— квантили стандартного нормального распределения. П оложив PRз = к - и у х
Л
получим квадрати-
2(лэкв - 1)'
ческое уравнение для коэффициента к, отсекающего от кривой х) площадь, большую Rз. Таким образом, односторонний толерантный интервал в этом случае представляется формулой
Семейство распределений Пирсона
Т а б л и ц а 1
Тип Уравнение Начало отсчета для х Область определения
I ( )т1 ( )т2 у=у°(1+*) ¿2) Мода, соответствующая максимальной плотности распределения вероятностей - ¿1 < х < ¿2
II У = У0 (1 - х2 / а2 )т Мода совпадает со средним - а < х < а
III у = у 0 е-7" (1 + x / а)а Мода - а < х < <
IV - уаг^дх у- 0 0 V- т у = у0 е а (1 + х2 / а2 ) Среднее + уа/(2т - 2) -<<х<<
V у = у0 е-?/х х- ч Начало кривой 0 < х < <
VI у = у0 (х - а)42 х- 41 Точка, отстоящая на | а | от начала кривой а < х < <
VII у = у0 ((1 + х2 / а2)- т Мода совпадает со средним -<<х<<
к = •
-и,
12 (пэкв"
2 (Пэкв -1)
Т а б л и ц а 2
1-
2 (Пэкв -1)
(1)
и отличается от соответствующего выражения для нормального закона распределения введением PR вместо UR и
пэкв вместо п [4].
Остается выбрать значения квантилей произвольного
распределения PRз. Для этого удобно воспользоваться его
аппроксимацией одним из распределений семейства Пирсона, квантили которых табулированы для Rз = 0,95...0,995 при показателях асимметрии Р1 = 0...1 и эксцесса Р2 = 1,8...5 [4].
Плотности вероятностей у = ^х) семейства Пирсона являются решением дифференциального уравнения
ду/(удх) = - (х + с1)/(с0 + с1х + с2х2),
где _ = о2 (4в2 - 3в1) . с = где с° = 2(5р2-бр1 -9), С1 =
^Р1(Р2 + 3) _ = 2в2 - 3Р1 - 6 2(5Р2 -вр1 -9) ■ °2 2(5Р2 -6Р1 -9) ■
В табл. 1 представлены семь типов семейства Пирсона в стандартных обозначениях; некоторыми преобразованиями данные уравнения сводятся к уравнениям плотностей вероятностей типовых распределений — нормального, Р-, Ы, у-распределений, логарифмически нормального и т. д.
В табл. 2 приведены показатели асимметрии Р1 и эксцесса Р2 ряда типовых распределений, а на рисунке для тех же распределений показаны зависимости коэффициентов к (п), которые определяют односторонние толерантные интервалы и рассчитаны по (1) для PR , выбранных из таблиц [4].
Показатели асимметрии и эксцесса типовых распределений
Распределение Р1 в2
Равномерное 0 1,8
Релеевское 0,3969 3,26
Экспоненциальное 4 9
Нормальное 0 3
Анализ зависимостей, приведенных в табл. 1, показал, что при п>50 для Rз = 0,95 и доверительной вероятности у = 0,9 коэффициенты к рассмотренных распределений мало отличаются от соответствующего коэффициента для нормального распределения. Поэтому влиянием вида распределения можно пренебречь и использовать нормальное для параметрического метода. Этот вывод совпадает с результатами исследований параметров систем автоматической посадки самолетов.
Коэффициенты, определяющие толерантные интервалы ряда типовых распределений:
1 — экспоненциального; 2 — релеевского; 3 — нормального; 4 — равномерного; верхний рисунок — Rз = 0,95, у = 0,9; нижний — Rз = 0,99, у = 0,9
Пример 1. Требуется аппроксимировать семейством распределений Пирсона точностные характеристики автоматической посадки самолета АН-148 при значениях математического ожидания т, среднего квадратического отклонения с. Показатели асимметрии р1 и эксцесса р2 получены по результатам измерений и приведены в табл. 3.
зом, коэффициенты к практически совпали, что подтверждает возможность при Яз < 0,95 использовать толерантный интервал для нормального закона распределения.
Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности. Задание № 2014/93 (тема №1636/14).
Т а б л и ц а 3
Статистические характеристики автоматической посадки самолета
Параметры посадки т с в1 в2
Угол крена -0,002° 0,6997° 0,000081 3,796
Угол сноса 0,001° 0,823° 0,000004 3,642
Боковое отклонение 0,002 м 1,106 м 0,000049 4,144
В табл. 4 приведены квантили распределения Пирсона Рд3, полученные из таблиц [5] для Р1 = 0, Р2 из табл. 3 и Р2 = 3
для нормального распределения. Как следует из табл. 4, максимальная разница между квантилями наблюдается для бо-
кового отклонения:
(1,645 - 1,62)/1,645 = 1 % и (2,326 - 2)/2,326 = 14 %.
Т а б л и ц а 4
Квантили распределения Пирсона и нормального закона распределения
Рр3 при р2
"3 3,796 3,642 4,144 3
0,95 1,63 1,63 1,62 1,645
0,99 1,99 1,99 2 2,326
Для параметра посадки (бокового отклонения), наиболее отличающегося от нормального, при Яз = 0,95, у = 0,9, п = 50 получаем к = 1,89 и 1,896 соответственно для нормального закона и распределения Пирсона. Таким обра-
Л и т е р а т у р а
1. Александровская Л. Н., Кириллин А. В., Розен-таль О. М., Иосифов П. А.. Выбор шкалы измерений при оценке соответствия вертикальной скорости приземления самолета установленным требованиям // Измерительная техника. 2015. № 3. С. 6—11.
2. ГОСТ Р 8.736—2011. ГСИ. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения.
3. Александровская Л. Н., Ардалионова А. Е., Борисов В. Г., Мазур В. Н., Хлгатян С. В. М етод моментов в задаче оценки соответствия требованиям к безопасности самолетов при автоматической посадке // Навигация и управление летательными аппаратами: Труды Московского института электромеханики и автоматики (МИЭА). М.: 2013. Вып. 6. С. 60—65.
4. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.
5. ГОСТ Р ИСО 16269-6—2005. Статистические методы. Статистическое представление данных. Определение статистических толерантных интервалов.
6. Крюков С. П., Бодрунов С. Д., Александровская Л. Н. и др. Методы анализа и оценивания рисков в задачах менеджмента безопасности сложных технических систем. СПб.: Корпорация «Аэрокосмическое оборудование», 2007.
Дата принятия 16.09.2015 г.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.