МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 6 • 2008
УДК 539.3
© 2008 г. Н.И. ДЕМОЧКИН, К.С. МОРГАЧЕВ, Л.И. ФРИДМАН
ОБЛАСТЬ ДОСТОВЕРНОСТИ МОДЕЛИ ТИМОШЕНКО В ДИНАМИКЕ
СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН
Сравнением частотного спектра стержней и пластин с учетом инерции вращения и деформаций сдвига (модель Тимошенко) с результатами вычислений на основе решения стационарной динамической задачи теории упругости для канонических тел в прямоугольных и цилиндрических координатах определены границы области достоверности модели Тимошенко: получены значения допустимых в рамках принятых уточненных кинематических гипотез минимальных гибкостей для стержней кольцевого и квадратного сечений и максимальных относительных толщин для кольцевых и квадратных в плане пластин. Приводятся основные зависимости для решения задач о собственных частотах и формах для указанных выше стержней и пластин (модель Тимошенко), а также краткое описание решения аналогичных задач методами теории упругости.
1. Введение. Выдающийся ученый и инженер С.П. Тимошенко, учитывая в уравнениях колебаний стержня инерцию вращения и деформацию сдвига, уточнил его собственную частоту на 2% [1]. Впоследствии модель Тимошенко была распространена на пластины [2, 3]. Вычислительные средства того времени не позволили раскрыть всей важности уточнения Тимошенко для динамических расчетов стержней и пластин.
Известно, что собственные частоты стержней и пластин, вычисленные на основе уточненных кинематических гипотез (модель Тимошенко), существенно отличаются от полученных на основе классических гипотез [4]. Эти отличия возрастают по мере возрастания частот либо по мере изменения размеров упругого тела, характеризующих его как стержень (ц = l/R¡ - гибкость стержня; l, R¡ - соответственно длина и радиус инерции сечения стержня) или как пластину (е = h/R - относительная толщина пластины; h, R -соответственно абсолютная толщина пластины и ее характерный линейный размер в плане: для кольцевой пластины - внешний радиус кольца, для прямоугольной - длина большей стороны пластины).
Сравнением частотного спектра стержней и пластин с учетом инерции вращения и деформаций сдвига (модель Тимошенко) с результатами вычислений на основе методов теории упругости определяются границы области достоверности модели Тимошенко, т.е. минимальной гибкости ^min для стержня и максимальной относительной толщины emax для пластины. Таким образом, область достоверности модели Тимошенко для стержней определяется соотношением ц > pmin, для пластин - е < emax.
Ниже приводятся основные зависимости для решения задач о собственных частотах и формах для стержней и для кольцевых и квадратных в плане пластин (модель Тимошенко), а также краткое описание решения аналогичных задач методами теории упругости и дан сопоставительный анализ собственных частот, полученных указанными выше способами.
2. Стержни. Система двух уравнений равновесия элемента стержня заменяется одним уравнением относительно потенциала F(x, t) перемещений u(x, t) и осредненных поворотов -ö(x, t) [5]:
d4F ,, д4F ,д4F 2д2F kl , ^
д?"(k+1 >дл? +k = ea"(x' >
(2.1)
u _ d!F _ д^ _ Ü_2 F ß dF
дx2 dt2 k k dx
где u, ß - соответственно безразмерные поперечные перемещения точек оси стержня, отнесенные к его длине l, и осредненные повороты поперечных сечений; "(x, t) - распределенная нагрузка; x - безразмерная координата по оси стержня (0 < x < 1); t - безразмерное время, отнесенное к l/c; c = (E/p)1/2 - скорость звука; E - модуль упругости; p - массовая плотность; v - коэффициент Пуассона; A - площадь сечения стержня; k = 2(1 + v)k1; k1 - коэффициент сдвига, принимаемый для прямоугольного сечения
1 1 4 2
стержня (балки) [1] k = 6/5, для кольцевого сечения [6] k = 3 [1 + г1/(1 + г1)]; г1 - относительный внутренний радиус кольцевого сечения (отнесен к внешнему радиусу сечения).
В задаче о собственных частотах и формах колебаний стержня (балки Тимошенко) для j-й формы потенциал F(x) перемещений u(x) и осредненных поворотов ßj(x) определяется уравнением
d4 FJ dx4 + 2 а d2 F / dx2 + (а2 _ ß2) F; = 0
(2.2)
О О А 0 0 1/2
а = 1/2(k +1 )X2, ß = [ 1/4(k _1 )2X4 + Ц X}]
где Xj - безразмерная круговая частота, отнесенная к c/2nl. Решение уравнения (2.2) записывается в виде
F
C1 e~(1 _ x)-/_"TP + c2e-xJZarß + C3cos (x*l а + ß) + C4sin (xj а + ß)
где С1; ..., С4 - произвольные постоянные. Перемещения и осредненные повороты даются зависимостями: и■ = d2Fj/dx2 + (X2 - ц2/к,Щ, ду = -Ц2/kdFJdx.
Граничные условия переходят в систему четырех однородных линейных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных С1, ..., С4. Условие разрешимости системы является частотным уравнением.
3. Пластины. Введение потенциалов F(a1, а2, 0 и ^(а1, а2, 0 безразмерных поперечных перемещений и(а1, а2, Г), отнесенных к Я, точек срединной плоскости пластины, и осредненных поворотов д1(а1, а2, 0, д2(а1, а2, Г):
и = V2 F - bF - Э2 F/Эí2
д =-ьд =-ь+ ь _ бк( 1 - V ) (з.1)
1 Я1 Эа1 Н2 Эа2' 2 Н2 Эа2 Я1 За/ е2
переводит систему уравнений равновесия (движения) элемента пластины в произвольных ортогональных криволинейных координатах а1 и а2 [7] в два уравнения:
у2у2 f _
22 V у _
1+
k (1_ v)J
V2 F , 2 д4 F + 12д2 F _ 2 ( 1 + v ) а
э7V F+щ^)д4+ ¡2 д2 - пёт"(а-а2't)
, ^ (3.2)
1_ v
, д у Ьу + —2
дГ
Здесь а2, () - распределенная нагрузка; ? - безразмерное время, отнесенное к Я/е; V2 - оператор Лапласа; к - коэффициент сдвига, определяемый для пластин уравнением [8]:
1бГ 1-
(1 - 2 ( | - V -!- к) - (2- к)4 = 0 (k = 0.86 при V = 0.3)
В задаче о собственных частотах и формах для у-й собственной формы уравнения (3.2) переходят в уравнения
V2V2 Fj + 2aV2 F¡ + (а2 - p2) F¡ = 0
V y j + YVj = 0
a
1
1 +
1-
к (1- v)J 22
^(1- v2), y [b - ^2( 1- v2)]
к (1- v)J
>\ч,Л 2ч2 12* 2✓^ 2ч
АД 1- V ) + — АД 1- V )
1 v 1/2
(3.3)
(3.4)
(3.5)
Здесь А. - безразмерная круговая частота, отнесенная к е/2пЯ.
Принимая Fj = F1 у + F2 , уравнение (3.3) удобно заменить двумя эквивалентными уравнениями:
V2Flf j + (а - р)Fx j = 0, V2F2, j + (а + в)F2,; = 0
(3.6)
Уравнения Гельмгольца (3.6) и (3.4) решаются методом разделения переменных. Подбором параметров разделения обеспечивается присутствие в решении ортогональных систем функций вдоль границ пластины. В прямоугольных координатах (х, у) решения уравнений (3.6) и (3.4) имеют вид
Fj = X [ fx, 1(Х) + fx, 2(x)] cos(V„y) + X [ fy, 1 (У) + fy, 2(У)] C0S(Vpx)
(3.7)
n = 1
p = 1
V = X fx, 3( x) C0S + X fy, 3( У) C0S (Ц px)
n = 1 p = 1
Цп = n(n -1)/a0, Цр = n(p -1)/b0
(3.8)
Здесь л = 1, 2..., р = 1, 2, ... - индексы суммирования; а0 и Ь0 - безразмерные длины сторон прямоугольной пластины соответственно вдоль осей абсцисс и ординат, отнесенные к Я.
Перемещения и осредненные повороты у-й формы даются зависимостями иу = [- а + в - Ь + А2(1-V2)]F1, у + [- а - в - Ь + А2(1-V2)]F2, у . = -Ь Э Fj/дх - ду./ду, у = - Ь д Fj/ду + ду./дх Функции/х 1(х), ...,/х 3(х) являются решениями уравнений й/х11/йх2 + (а - в - Ц)/х, 1 = 0
й2/х, 2/йх2 + (а + в - цЛ )/х, 2 = 0 ^/х, 3/йх + (У - мЛ)/х, 3 = 0
в
Аналогично функции/ 1(у), ...,/ 3(у) являются решениями уравнений
d2fyl!/dy2 + (а - р -цр)fyl! = 0
d2fy, 2/dy2 + (а + р -цр)fyl 2 = 0, d2fyl з/dy2 + (у - цр) /ъ 3 = 0
Для свободной пластины условия отсутствия на границах перерезывающих сил и скручивающих моментов выполняются точно и позволяют исключить 8 бесконечных последовательностей произвольных постоянных из 12. Граничные условия для изгибающих моментов порождают бесконечную однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно оставшихся четырех бесконечных последовательностей произвольных постоянных. При удержании в рядах (3.7) и (3.8) по каждому индексу суммирования п0 слагаемых порядок усеченной однородной системы становится равным 4п0. Условие разрешимости системы является частотным уравнением.
Для кольцевых пластин в полярных координатах (г, 0) условие периодичности предопределяет вид решения уравнений (3.4) и (3.6):
F1,; = f\, ;, m С°8 (m0), F2,; = /2,;, m С°8 (т0), V; = V;, m ^ (m0)
Функции радиуса /1,;, т, /2,;, т, V;, т являются решениями уравнений Бесселя:
d 2 /; + 1/Ат + ^ - р-т2^
dr
2 г dr
/1, т = 0
d2 / 2,
1 df:
2,т
dr
dr
2^
а + в -
т
/ 2,
;, т
= 0
2
d V
dr
1 d V
2 г dr
;, т
2
У--
т
Vт = 0
Для кольцевой пластины каждой форме колебаний и частоте X; т соответствуют два индекса ; и т, где т - число узловых диаметров (т = 0, 1, 2, ...),; - порядковый номер формы колебаний с фиксированным числом узловых диаметров (] = 1, 2, 3,.).
Граничные условия для свободной кольцевой пластины переходят в однородную систему шести линейных алгебраических уравнений относительно шести произвольных постоянных. Условие разрешимости системы дает частотное уравнение.
4. Упругое тело. Решение стационарной динамической задачи теории упругости сводится к решению уравнений Гельмгольца относительно потенциалов перемещений [9, 10]. Рассматриваются канонические тела, граничные поверхности которых совпадают с координатными. В некоторых системах координат, в том числе в прямоугольных, цилиндрических и сферических, при решении уравнений Гельмгольца применим метод разделения переменных [11]. Из общего вида уравнений с разделенными переменными следует, что при соответствующем подборе параметров разделения и постановке граничных условий два обыкновенных дифференциальных уравнения из трех описывают задачу Штурма-Лиувилля. Поочередный выбор трех сочетаний двух переменных из трех, по которым строится решение задачи Штурма-Лиувилля, обусловливает наличие в решении уравнений Гельмгольца ортогональных систем функций на координатных поверх-
Таблица 1
Сечение Метод а,1 %2 %3 Х4 ^5
расчета
1 1.1 2.199 2.516 4.135 4.277 5.913
1.2 2.175 2.442 4.145 4.273 5.88
2 2.1 1.591 2.957 4.402 4.657 5.981
2.2 1.579 3.044 4.478 4.616 5.976
3 3.1 2.321 2.959 4.643 4.883 6.894
3.2 2.289 3.041 4.646 4.879 6.847
ностях, в том числе на граничных. Последнее обстоятельство предопределяет переход граничных условий в бесконечные последовательности линейных алгебраических уравнений, однородных для свободн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.