Автоматика и телемеханика, № 7, 2015
Нелинейные системы
© 2015 г. А.И. БАРКИН, д-р техн. наук (albarkin@yandex.ru) (Институт системного анализа РАН, Москва)
ОБЛАСТЬ ПРИТЯЖЕНИЯ СИСТЕМ С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
Представлен новый метод оценивания области притяжения нулевого решения системы дифференциальных уравнений, содержащих устойчивую линейную часть и нелинейные элементы второй и третьей степеней. Предложен новый класс функций Ляпунова. Эффективность метода иллюстрируется примерами.
1. Введение
Рассматривается система вида
(1.1) х = Ах + В 2Х[2] + В эж[3],
где х € Э?п, А - постоянная устойчивая (гурвицева) матрица размера п х п. Вектор х[2] состоит из лексикографически упорядоченных мономов вида агзхгх3 и имеет размер т2 х 1, где т2 = п(п + 1)/2; вектор х[3] имеет размер т3 х 1, где т3 = п(п + 1)(п + 2)/6, и состоит из лексикографически упорядоченных мономов вида агзгхгх8х^. Соответственно размер постоянной матрицы В2 равен п х т2, а матрицы В3 — п х т3. В общем случае вектор х[р] является степенным преобразованием [1] вектора состояния х и имеет размер тр х 1, где
(1.2)
тр
п + р — 1 Р
(п + р — 1)! р!(п — 1)!
Компонентами х[р] являются лексикографически упорядоченные мономы вида
(1.3)
Р \ / Р — Р1 Р1 А Р2
Р — Р1
Рп-1
Рп
12
Рп
причем Рг ^ 0, ^п=1 Рг = Р. Свойства степенных преобразований (СП) векторов и матриц изложены в [1-3]. Краткое описание алгебры степенных преобразований приведено в Приложении.
Известно, что система (1.1) в общем случае не обладает свойством устойчивости в целом. В статье ставится задача оценки области притяжения системы (1.1) по начальным условиям хо. Этой задаче посвящена значительная часть
публикаций [4-8]. Имеются приложения к экономике, биологии и к управлению движущимися объектами. В статье далее предлагается новый относительно простой подход, позволяющий получить довольно точные оценки при минимальном количестве параметров поиска. Методика может быть распространена на случаи, когда в правой части уравнения (1.1) имеются полиномы более высокой степени. В рамках предлагаемого подхода применяется новый класс функций Ляпунова.
2. Сканирование фазового пространства
Введем функцию Ляпунова V как положительное решение уравнения
(2.1)
V2 - 2Vc'x — х'Ьх = 0,
где матрица Ь = Ь' > 0 и вектор с е Ж". В (п + 1)-мерном пространстве V = V(х) представляет собой коническую поверхность, определяемую п + т,2 параметрами. Положительное решение уравнения (2.1) имеет вид
(2.2)
У(х) = с'х + л/х'Их, N = Ь +
сс
Функция V(х) обладает необходимыми свойствами: V(0) = 0; V(х) > 0, если х = 0. Кроме того, V(гх) = ^(х), если г ^ 0.
Дифференцируя (2.1) в силу уравнения системы (1.1), получаем
-dV
(2.3)
IV = 2^х'Ых— = 2 (с1 Ах + с1В2х[2] + с'В3х[3]г)У+ +х'(А'Ь + ЬА)х + 2х'Ь(В2х[2] + Взх[3]).
Найдем в фазовом пространстве область 9, в которой правая часть выражения (2.3) отрицательна. Для этого преобразуем элементы вектора х, введя полярные координаты х = гг(^>). Конкретный вид этого преобразования связан с порядком п системы (1.1) и зависит от п — 1 угловых координат, изменяющихся на интервале [0, 2п]. Например,
г=
сов ^>1 вш
если п = 2;
(2.4)
сов сов ^>2 сов вт ^>2 вт
если п = 3;
сов сов ^>2 сов сов сов ^>2 в1п сов в1п в1п
если п = 4, и т.д.
Полярные координаты позволяют сканировать (просматривать) фазовое пространство системы (1.1) по угловым координатам и определять границы области 9. Возьмем в качестве Ь решение уравнения Ляпунова
(2.5)
А'Ь + ЬА = — Р,
г
г
где Р = Р' > 0. В полярных координатах имеем
W = — г2^ 'Ри — 2с'А^) + 2г3(^'ЬВ2^[2] + е'В2^[2] ^) +
+ 2г4(с'В3^[3] ^ + V 'ЬВ3^[3]),
= е'и + л/у'Ыу. Отсюда получаем описание области Э: (2.6) —Со + 2С1Г + С2Г2 < 0,
где коэффициенты
Со = V ^ — 2с'А^„, С1 = V 'LB2V[21 + c'B2V[2l К,,
(2 7)
С2 = 2(c'Bзv[3] + v'LBзv[3])
зависят от угловых координат и не зависят от г. Отметим, что неравенство Со > 0 можно обеспечить выбором вектора с, так как вектор V ограничен. Из устойчивости системы (1.1) в малом при Р > 0 следует Ь > 0, что обеспечивает существование функции Ляпунова в форме (2.2). Решая неравенство (2.6), получаем оценку той части области Э, которая примыкает к началу координат:
(2.8) г < °°
Сг + л/С
Оценка (2.8) имеет смысл, если одновременно выполнены два условия:
а) С? + СоС2 ^ 0;
(2.9)
б) Сг + ^С\ + С0С2 > 0.
Элементарный анализ показывает, что в случае невыполнения одного из этих условий неравенство (2.6) справедливо при любом положительном значении г, т.е. можно положить г = то. Область притяжения определяется неравенством
(2.10) р^ < р
при условии, что она будет вложена в область (2.8)-(2.9). Поэтому следует принять
(2.11) р = шт(гЮ,
где минимум берется по всем угловым координатам, а г является решением экстремальной задачи максимизации г при ограничениях (2.8)-(2.9). При невысоком порядке уравнения (1.1) для нахождения минимума можно использовать простой перебор. Окончательная оценка области притяжения дается неравенством V(х) < р, которое при использовании (2.2) приводится к виду
(2.12) (х' + рс'Ь-1)Ь(х + рЬ-1с) < р2(1 + с'Ь-1с), определяющему эллипсоид в пространстве Кп.
Как видим, решение задачи зависит от выбора матрицы P, которая имеет n(n + 1)/2 свободных параметров, и вектора с, имеющего n элементов. Поскольку важно получить как можно больший объем эллипсоида (2.12), то возникает задача оптимизации
(2.13) det L/^2(1 + c'L-1c) ^ min
при ограничениях P = P ' > 0 и Go > 0. Эту задачу можно решить одним из вариантов симплекс-метода (метода деформируемого многогранника).
Замечание 1. В решавшихся автором примерах использование несимметричной (с = 0) функции Ляпунова (2.2) для симметричных задач (B2 = 0) приводило в итоге к почти симметричному решению, в котором элементы вектора с пренебрежимо малы. Поэтому с целью уменьшения размерности поисковой задачи можно сразу положить c = 0, т.е. фактически взять функцию Ляпунова в виде квадратичной формы x'Lx. Но для случая B2 = 0 такой вариант приводит к плохой симметричной оценке для несимметричной области притяжения.
3. Построение функции Ляпунова с помощью форм четной степени
Описанный выше способ построения несимметричной функции Ляпунова в виде положительного решения квадратного уравнения можно обобщить. Для лучшего описания области устойчивости можно использовать формы четвертой, шестой и т.д. степеней.
3.1. Форма четвертой степени Введем скалярную функцию V как положительное решение уравнения
(3.1) V2 - 2V |c'x| c'x - x'[2]Lx[2] = 0,
где матрица L = L' > 0 и вектор с € К"". Положительное решение уравнения (3.1) имеет вид
(3.2) V = \с'х\с'х + Vx'MNx.M, N = L + с[2]с/[2].
Отметим, что функция f (z) = |z| z непрерывна и имеет непрерывную первую производную df/dz = 2 |z|. Функция V = V(x) удовлетворяет условиям: V(0) = 0, V(x) > 0, x = 0; V(rx) = r2V(x).
Специфика работы с формами x '[plßx[p] состоит в том, что произвольный вектор y € не является степенным преобразованием от какого-нибудь вектора x € Кга. Поэтому из тождества не следует равенство H = M. Но можно ввести матрицу Nm такую, что x'[plNmx[p] = 0, так что H = M + Nm. Методика получения матриц Nm описана в Приложении.
В [2, 3] показано, что, применяя степенное преобразование к уравнению x = F(x), получим
(3.3) = (F(x))[p]x^.
Следовательно,
^ = А[2]х® + {В2Х®+ВХ%2]Х.
Известно свойство степенных преобразований: а[р]Ь[р-1] = Ь[р]а[р-1] (см. Приложение). Из него следует, что
(3.4) ^ = Л[2рИ + х[2]В2х™ + х[2]В3х®.
Дифференцируя (3.1) по времени, в силу (3.4) получим: _/7Т/
IV = 2 Уж'ИЖжИ— = 4\с'х\(с'Ах + с'В2х[2] + с'В3х[3])У+
(3.5)
+х ' [2](А[2]Ь + ЬА[2])х[2] + 2х ' [2]ЬЖ[2](Б2Ж[2] + Взх[3]).
Найдем в фазовом пространстве область 9, в которой правая часть (3.5) отрицательна. Пусть
(3.6) ^Ь + ЬАИ = —Р +
где Р = Р ' > 0. Из-за наличия решение Ь не обязано быть положительно определенной матрицей, однако х'[2]Ьх[2] > 0, если х = 0. Действительно, решение уравнения (3.6) складывается из положительно определенного решения Ь уравнения А[2]Ь + Ь А[2] = — Р и матрицы Q = = ехр(А|2]£)Жт ехр(А[2]£)^. В силу свойств степенного преобразования (см. таблицу Приложения) имеем: ехр(А[р]£)х
[р] = (ехр(А£)х)[р1
для любого г € выполняется тождество г'[2]Жтг[2] = 0, то х'[2]Qx[2] = 0. В полярных координатах имеем х = гг и
Ж = —г4(г'[2]Рг[2] — 4 |с'г| с'АгУр) +
+ 2г5(г'[2]Ьг[2]В2г[2] + 2 |с'г| с'£2г[2]У„) +
(3 7)
+ 2г6(2 |с'г| с'Взг[з]Ур + г '[2]Ьг[2]Взг[3]), Ур = | с'г | с'г +
Из (3.7) получаем предыдущее описание (2.6), (2.8) и (2.9) области 9 с новыми коэффициентами:
С0 = г'[2]Рг[2] — 4 |с'г| с'АгУр,
(3.8) С = г' [2]Ьг[2]В2г[2]
+ 2 | с'г | с
С = 2(2 | с'г | с'Взг[3]Ур + г'[2]Ьг[2]Взг[3]),
зависящими от угловых координат. Область притяжения определяется неравенством
(3.9) р2Ур < р.
Область (3.9) будет вложена в область (2.8) и (2.9), если
(3.10) р < р* = тт(г2Ур).
3.2. Форма шестой степени Введем скалярную функцию V как положительное решение уравнения
(3.11) V2 — 2Vc'x[3] — х' [3]Ьх[3] = 0,
где матрица Ь = Ь ' > 0 и вектор с € Жт. Функция V = V (х) удовлетворяет условиям:
V(0) = 0, V(х) > 0, х = 0; V(гх) = г^(х). Положительное решение уравнения (4) имеет вид
(3.12) V = с'ж[3] + л/ж'ИЖжИ, N = Ь + ее'. Используя свойства степенного преобразования, получим
и
Поскольку х[2] = 0,5х[2]х, то
(1т И
т.
(3.13) = А[3]ЖИ + (В2х И + БЖИ)[3]ЖИ.
(3.14) = А[3]х® + иВ2хт + иГ-:,гл.
где и = 0,5х[3]х[2]. Дифференцируя (3.11) по времени, в силу (3.14) получим
-¿V
(3.15) " М
+г'(А[3] Ь + ЬА[3])г + х' [3]Ьи(В2х[2] + В3х[3])
П I/
IV = 2\/аШх— = 2(с/А[3]ж[3] + с'иВ2х['2] + с'иВ3х[3])У+
Выберем Ь как решение уравнения
(3.16) А[3]Ь + ЬА[3] + + Р = 0,
где Р = Р ' > 0. Как и в (3.6), это решение не обязано быть положительно определенной матрицей, однако можно показать, что х '[3]Ьх[3] > 0, если х = 0. В полярных координатах имеем
W = —г6(г '[3] Рг[3] — 2с'А[3]г[3]^) +
(3.17) + 2г7(г ' [3]Ь#£2г[2] + с'^2г[2] + 2г8(с'В3г[3] ^ + г'Ь#£3г[3]),
Цр = е'у[3] + лЛ/ИлЫ3!, д = 0,БищУ[2].
Из (3.17) опять получаем описание области 9 в виде (2.6), (2.8)-(2.9), где ко
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.