ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 5, 2014
УДК 532.526
© 2014 г. С. В. Мануйлович
ОБЛАСТИ СУЩЕСТВОВАНИЯ МОД ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ БЛАЗИУСА
Исследуется дискретный спектр двумерных возмущений течения в пограничном слое Блазиуса. Показано, что на переднем участке обтекаемой поверхности существуют области течения, где моды дискретного спектра отсутствуют. При перемещении вниз по потоку сначала возникает мода Толлмина—Шлихтинга, а затем, поочередно, — другие моды, появляющиеся из-под разреза комплексной плоскости, соответствующего непрерывному спектру волн завихренности. Определены области существования мод в плоскости параметров задачи.
Считается общепризнанным [1], что ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое на хорошо обтекаемом крыле малой стреловидности инициируется неустойчивостью Толлмина—Шлихтинга (ТШ). Возбуждаясь внешними воздействиями на естественной продольной неоднородности пограничного слоя и распространяясь вниз по потоку, волны неустойчивости усиливаются и, по достижении некоторого порогового значения инициируют нелинейные процессы, приводящие в конечном итоге к разрушению ламинарного течения.
Многочисленные эксперименты показали [2], что область нелинейных процессов, предшествующих полной турбулизации течения, имеет малую протяженность по сравнению с областью линейного роста неустойчивых возмущений. В этой связи был предложен [3] инженерный метод расчета точки перехода — ныне широко используемый е^-метод. Этот метод эвристически определяет местоположние перехода на основе вычислений скорости роста моды ТШ в области неустойчивости, оставляя за рамками анализа причину возбуждения в течении неустойчивых возмущений и величину их начальной амплитуды.
Для корректного предсказания положения ламинарно-турбулентного перехода необходимо определить структуру возмущений набегающего потока и рассчитать процесс их трансформации в волны неустойчивости. Методы расчета, используемые в настоящее время, не позволяют количественно верно описать восприимчивость течения в пограничном слое к внешним возмущениям при частотах, характерных для ламинарно-турбулентного перехода. Один из адекватных методов расчета этого процесса — метод вариации постоянных, использующий галёркинское разложение поля возмущений по собственным колебаниям (нормальным модам) течения [4—6]. В этом случае кроме моды ТШ необходимо вычислять и другие моды, причем свойства мод необходимо определять на всем протяжении ламинарного участка течения. Выбор собственных функций в качестве базисных удобен тем, что позволяет достигнуть хорошей точности расчета при сравнительно небольшом количестве членов галёркинского разложения [5, 6].
Заметим, что случай внешнего обтекания [4] — более сложный, чем случай внутренних течений [5, 6], поскольку спектр собственных колебаний содержит моды непрерывного спектра. Более того, в случае возмущенного течения в пограничном слое количество мод дискретного спектра конечно и зависит от участка течения и частоты возмущения.
Ниже на примере пограничного слоя Блазиуса поясняется, как возникают новые моды дискретного спектра, и определяются области их существования.
1. Метод расчета мод дискретного спектра. Будем изучать двумерные возмущения течения в пограничном слое на плоской полубесконечной пластине, обтекаемой равномерным потоком вязкой несжимаемой жидкости под нулевыми углами атаки и скольжения. Введем декартову систему координат с началом в некоторой точке O на пластине на расстоянии L0 от передней кромки (кружками помечены размерные величины), ось абсцисс х8° направим вдоль потока, а ось ординат >8° — перпендикулярно стенке.
В качестве основных единиц измерения будем использовать скорость набегающего
потока и характерную толщину пограничного слоя 5° = — коэффици-
ент кинематической вязкости). В этом случае внутри пограничного слоя у = О (1) что удобно при проведении расчетов. В то же время этот способ масштабирования неудобен при исследовании возмущений фиксированной размерной частоты ю° или волнового
числа АО, поскольку соответствующие безразмерные величины ю = ю°8°/и° и k = к°8° зависят от выбора начала координат. В этой связи наряду с вышеупомянутыми безразмерными параметрами будем использовать параметры / = ю°У°/и°2 и а = к°у°/и°, выбрав в качестве масштаба вязкую длину, не зависящую от системы отсчета. Будем также использовать два числа Рейнольдса: одно, вычисленное по толщине пограничного слоя Я = и°8°/у°, другое — по расстоянию от передней кромки Я* = и°Х°/у°.
Структуру собственных колебаний пограничного слоя в окрестности точки О будем изучать, используя классическое предположение о квазипараллельном, квазиоднородном характере основного течения в ламинарном пограничном слое. Элементарное возмущение у функции тока зададим в виде плоской волны
у (г, х, у) =ф (у) ехр (¡кх - ¡ш) (1.1)
В случае возмущений из класса дискретного спектра комплексная амплитуда ф удовлетворяет краевой задаче на собственные значения для уравнения Орра—Зоммер-фельда (штрих означает дифференцирование)
(и (ф" - к2ф) - и"ф = кя(<р"" - 2кУ + к4ф)
ф (0) =ф' (0) =ф н = 0, ф" (0) = 1 (1.2)
Последнее (неоднородное) краевое условие (1.2) нормирует собственную функцию. Профиль скорости невозмущенного течения и = Ф' (у) определяется из решения краевой задачи Блазиуса
2Ф''' + фф" = 0; Ф (0) =Ф' (0) = 0, Ф' (да) = 1
Для расчета решения задачи (1.2) представим собственную функцию в виде суперпозиции линейно независимых решений
ф = С1Ф1 + С2Ф2 (1.3)
На больших расстояниях от стенки поведение этих решений описывается асимптотическими формулами
Ф1,2 (У) ~ ехр (Ч2У), У
^2 = к2, ^2 = I (к -®)Я + к2, Яе^2 < 0
Функция вида (1.3) автоматически удовлетворяет третьему краевому условию (1.2). Потребуем выполнения второго и четвертого условий. В результате получим линейную систему для определения постоянных С12
ф ' (0) = с1ф; (0) + с2ф2 (0) = о Ф" (о) = С1ф1' (о) + С2ф2' (о) = 1
решение которой при учете первого условия (1.2) дает искомое дисперсионное соотношение (ДС)
Л(К) = ф(0) = Ф1 (0)Ф2(0)-Ф1 (°)Ф2 (0) = о (1.4)
ф1 (о) ф2' (о) -ф1' (о)ф2 (о)
Поскольку невозмущенное течение стационарно, наибольший интерес представляют гармонические по времени возмущения (1.1), эволюционирующие вдоль потока. В этом случае частота ю > 0 считается заданным параметром, а волновое число к — комплексное собственное значение, подлежащее определению. Следуя традиции, будем также изучать эволюционирующие во времени собственные колебания (когда к > 0 — параметр, а ю — искомая комплексная частота).
Опишем используемый здесь метод расчета решения задачи (1.2) для случая мод, эволюционирующих вдоль потока (случай эволюции во времени рассчитывается аналогично). Исследуемая область комплексного к разбивалась на достаточно мелкие квадратные ячейки. Функция В (1.4) рассчитывалась в узлах произведенного разбиения для заданных параметров ю, К: входящие в ее состав функции ф12 вычислялись методом Рунге—Кутты с использованием процедуры ортогонализации [7]. Если значения функции КеВ имели в узлах ячейки разные знаки, это означало, что ячейку пересекает линия КеВ = 0 (то же относится и к линии 1т В = 0). Если расчет показывал, что внутри ячейки проходят обе эти линии, то они с помощью линейной аппроксимации заменялись прямыми, и их пересечение считалось приближенным значением нуля или полюса функции В (при условии, что точка пересечения располагалась внутри ячейки). Предполагаемые полюсы отсеивались, если в рассчитанной точке оказывалось |В| §> 1, а нули уточнялись методом Ньютона.
2. Эволюция возмущений вдоль потока. Рассмотрим сначала случай, когда элементарные возмущения (1.1) — гармонические по времени. Зафиксируем частоту возмущения / = ю/К и число К* = К2 (расстояние до передней кромки пластины, измеренное в вязких длинах) и исследуем свойства функции В как функции комплексного переменного а = к/К. Эта функция имеет полюсы в точках нулей знаменателя в равенстве (1.4), связанных со способом нормировки собственной функции (неоднородное краевое условие (1.2)) и не представляющих интереса для данного исследования. Кроме того, комплексная плоскость а имеет три разреза 1—111, на которых нарушается условие затухания решения (1.3) при у ^ да:
I: а = и, -да < s < +да
II,III: а = -г-(1 + + 4. - М[), . > 0
Эти разрезы соответствуют модам непрерывного спектра [4]: I — волнам давления, а II и III — волнам завихренности. Цель данной работы — нахождение нулей функции В.
Как показали эксперименты Шубауэра и Скрэмстеда по исследованию ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое на плоской пластине [1], последовательное снижение степени турбулентности набегающего потока позволяет увеличивать протяженность ламинарного участка течения не более чем до значения числа Рей-
7.5
5.0
2.5
-2.5
1 I • 1 II
1 •2
3-^10
%
о о о 10 •
•9 • 5 Г4 8 А
о о о о о • 3 7
0 2.5 5.0 7.5 10.0 2.4 2.5 2.6 2.7
4
3
0
2
1
Фиг. 1
нольдса Я* = 2.8 • 106. При этом значении Я* переход к турбулентности вызывается возмущениями с частотами, лежащими в окрестности / = 2.5 • 10-5 [3]. Именно такие значения параметров использовались в данной работе в качестве базовых при расчете дискретного спектра. Всюду далее, если не оговорено иное, результаты расчетов приведены для / = 2.5 • 10-5.
Поиск мод осуществлялся методом, описанным в разд. 1, во всех четырех квадрантах комплексной плоскости а. Было найдено 11 мод, причем все они расположены в первом квадранте справа от разреза II. Положение мод показано маркерами на фиг. 1. Здесь и далее при изображении комплексной плоскости значения действительной и мнимой частей комплексного переменного откладываются вдоль оси абсцисс и ординат соответственно. Численные значения мод приведены в средней колонке табл. 1. Три моды расположены отдельно от других, остальные группируются около разреза (более подробно они показаны на фиг. 1 справа сплошными маркерами). Индексом 0
Таблица 1
п ап 105 Я* • 10-6
0 8.360 - ¿0.363 0.027
1 3.808 + г'6.557 0.371
2 5.224 + ¿3.446 0.933
3 2.534 + г'2.034 2.206
4 2.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.