АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2007, том 41, № 5, с. 446-452
УДК 523.24
ОБЛАСТИ ВОЗМОЖНЫХ ДВИЖЕНИИ НОВЫХ СПУТНИКОВ ЮПИТЕРА
© 2007 г. В. А. Авдшшев, М. А. Баньщикова
НИИ прикладной математики и механики при Томском госуниверситете, Томск Поступила в редакцию 26.10.2006 г. После исправления 16.02.2007 г.
В работе представлены полученные авторами результаты моделирования и исследования областей возможных движений для новых открытых 46 спутников Юпитера. Показано, что орбиты некоторых спутников (таких как 8/2003 102, 8/2003 103, 8/2003 104, 8/2003 Л0, 8/2003 Л2, 8/2003 123) в настоящее время еще не могут быть определены с приемлемой для планирования наблюдений точностью ввиду недостаточного количества наблюдательной информации.
РАС8: 95.10.Ce, 96.30.L-95.10.Eg, 91.10.8p
ВВЕДЕНИЕ
С 1999 по 2003 гг. группами астрономов Ари-зонского, Гавайского и Кембриджского университетов были открыты 46 новых спутников Юпитера (http://cfa-www.harvard.edu/iau/mpc.html; http:// cfa-www.harvard.edu/iau/cbat.html). Все спутники являются далекими и условно распределены по 6 группам: Фемисто, Гималии, Карпо (прямое движение) и Ананке, Карме и Пасифе (обратное движение). Орбиты спутников нерегулярные (с большими эксцентриситетами и наклонениями) и ввиду существенной удаленности от планеты сильно возмущаются Солнцем.
Уже в 2002 г. Marsden и Jacobson (Sheppard и др., 2002) представили для первых 11 открытых спутников орбитальные параметры, уточненные по имеющимся на то время наблюдениям; и только в 2005 г. вышла работа (Emelyanov, 2005), где были определены орбиты всех известных на настоящий момент спутников. В своих работах для уточнения орбитальных параметров по совокупности наблюдений авторы прибегают к известному методу наименьших квадратов (МНК), где традиционно оценивают качество орбитальных параметров по величине среднеквадратической ошибки, получаемой из отклонений вычисленных и наблюденных положений небесного тела.
Однако, вообще говоря, среднеквадратическая ошибка не может являться достаточной характеристикой качества, в особенности для тех спутников, у которых моменты наблюдений распределены на малом временном интервале, а сами наблюдения покрывают короткую дугу орбиты.
Дело в том, что в таких задачах близость истинных и вычисленных орбитальных параметров определяется не столько среднеквадратической ошибкой, сколько соответствующей ковариационной матрицей, которая зависит не только от вели-
чины среднеквадратической ошибки, но и, главным образом, от особенностей в распределении наблюдений.
В связи с этим для более содержательного изучения проблемы качества МНК-оценок обычно прибегают к моделированию так называемых областей возможных движений (Мйаш, 1999; Бог-dovitsyna и др., 2001; Мшпопеп и др., 2006), где исследуется не одна МНК-орбита, а целое семейство наиболее вероятных орбит, которые строятся с привлечением ковариационной матрицы ошибок.
В данной работе мы представляем результаты моделирования и исследования областей возможных движений для всех новых спутников Юпитера.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ
Движение спутников рассматривалось в поле тяготения Юпитера под влиянием притяжения от Солнца, планет-гигантов и галилеевых спутников. Орбиты спутников моделировались численно на основе уравнений движения в прямоугольных координатах (Баньщикова, Авдюшев, 2006), которые интегрировались методом Эверхарта (Eveг-Каг!, 1974; Авдюшев, 2006) с координатной точностью порядка 10-12 а. е.
В качестве оцениваемых параметров взяты прямоугольные координаты х0 и скорости х0 в начальную эпоху t0, которые предварительно определялись из наблюдений методом Лапласа. Процесс улучшения начального вектора динамического состояния = (х0, х0) выполнялся по всем имеющимся наземным ПЗС-наблюдениям (http://Infm1.sai.msu.ru/neb/nss/index.htm) с использованием метода наименьших квадратов. Изохронные производные, необходимые для исправления орбиты, вычислялись путем численного
л
x2-x02> a. e. (а) (•)
-4E-006 -2E-006 0 2E-006 4E-006-4E-006 -2E-006 0 2E-006 4E-006
л
Xi—Х01, a. e.
Рис. 1. (а) Распределение МНК-решений при различных выборках модельных наблюдений (спутник Фемисто). (б) Вероятностная область, построенная для одного из МНК-решений (в центре серого кольца) по ковариационной матрице (спутник Фемисто).
интегрирования уравнений в вариациях совместно с уравнениями движения.
Процесс определения орбитальных параметров q0 формально состоял в минимизации среднеквад-ратической величины а2, получаемой по невязкам модели pC = pC(q0) относительно наблюдательных данных pO на соответствующие моменты наблюдений; алгоритмически он сводился к решению методом наименьших квадратов системы так называемых условных уравнений: pO - pC = JAq0, где J = = 3pC/3q0 - матрица условных уравнений, а Aq0 -поправки к параметрам q0.
После определения орбит для каждого спутника были получены ковариационные матрицы (Эльясберг, 1976; Montenbruck, Gill, 2005):
C0 = а 0 (JJ)-1 (а о = min а2),
характеризующие вероятностный разброс случайных ошибок оцениваемых параметров q0. По ковариационным матрицам затем моделировались начальные области возможных орбитальных параметров.
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ ВОЗМОЖНЫХ ОРБИТАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Начальная область возможных решений q0 для каждого спутника строилась относительно МНК-
оценки С0 с использованием ковариационной матрицы С0 по формуле (Вогёоу^упа и др., 2001)
q0 = Ал+ 4о (I = 1, N), (1)
где Ц - 6-мерный вектор случайных чисел, распределенных по нормальному закону, А - такая треугольная матрица, для которой АТА = С0, а N -число рассматриваемых решений. Заметим, что разложение ковариационной матрицы С0 = АТА выполнимо и единственно, поскольку она симметрична и положительно определена1. В фазовом пространстве координат и скоростей решения (1) будут заполнять гиперэллипсоид, задаваемый ковариационной матрицей С0 (см., например, рис. 16).
Изложенный выше алгоритм был оттестирован на модельных задачах для двух спутников: Фемисто и 8/2003 104. Используя реальные наблюдения спутников, мы получили МНК-решения С0. Затем по этим решениям, рассматривая их как истинные, на реальные моменты наблюдений мы моделировали фиктивные наблюдения, внося в них случайную ошибку, распределенную по нормальному закону с дисперсией 0.2'' (предельная
точность ПЗС-наблюдений)2; и по 1000 выборкам наблюдений получили множество МНК-решений (рис. 1а и 2а).
1 См., например, (Вержбицкий, 2005).
2 Впрочем, такой выбор дисперсии в данном случае не принципиален.
х2-х02' а е. 0.04
(а)
(б)
0.02
-0.02
\
\
ч
\
\
-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 -0.04 -0.02 0
Рис. 2. То же, что и на рис. 1, но для спутника 8/2003 104.
0.02 0.04
л
Х1-х01, а. е.
1.0
С 0.8
а
а ю а
I 0.6
м а
а
О 0.4
0.2
§0
駧
О^ОсЗ
сЗ^Г
Спутник
Рис. 3. Среднеквадратические ошибки.
Наконец, для некоторых произвольных из этих решений с использованием соответствующих ковариационных матриц мы строили области возможных начальных параметров (рис. 16 и 26) . Во всех случаях истинные решения (на рисунках начала координат) попали внутрь построенных вероятностных областей. Этот факт, очевидно, служит экспериментальным обоснованием для использо-
На рисунках приведены области решений только в проекции на плоскость (х1, х^). Проекции областей на другие плоскости выглядят подобным образом: малые компактные для Фемисто и протяженные сигарообразные для 8/2003 104. заметим также, что рис. 1 и 2, а в дальнейшем 4 и 6, представлены в экваториальной координатной системе 12000.
вания вероятностных областей с целью качественного анализа определяемых орбит.
ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В результате улучшения орбит среднеквадратические ошибки а0 для всех спутников составили меньше 1" (рис. 3). Однако, несмотря на их малость, соответствующие им области возможных начальных параметров оказались весьма разнообразными не только по размеру, но и форме.
Для большинства спутников, открытых в 2003 г. (8/2003), вероятностные области довольно большие и сильно вытянутые (например, рис. 4; 8/2003 104), что, главным образом, связано с малым числом наблюдений, моменты которых сконцентриро-
0
х2-х02' а е 4Е-005
Фемисто х2-Х02> а е. S/2003J04
4Е-005-
2Е-005
-2Е-005
2Е-005
-2Е-005
0
0
-4Е-005 -2Е-005 0 2Е-005 4Е-005 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04
л л
X—Х01, а. е. X:—а. е.
Рис. 4. Вероятностные области, полученные по ковариационным матрицам на основе реальных спутниковых наблюдений.
10000
т с
ч
сЗ М
а е т
и
и
э5
и и
е м е а РЭ
1000
100
йсо ар
С
£8
8§зз
10
Спутник
Рис. 5. Временные интервалы, покрывающие моменты всех имеющихся спутниковых наблюдений.
ваны на коротком временном интервале, до 100 суток (рис. 5). В таких задачах ковариационные матрицы имеют большие числа обусловленности; и это непосредственно приводит к сильной вытяну-тости вероятностных областей. Для спутников, у которых моменты наблюдений покрывают довольно большие интервалы времени, вероятностные области существенно меньше (например, рис. 4; Фемисто).
Большие начальные вероятностные области вообще говорят о том, что наблюдений для соответствующих спутников пока не достаточно для уверенного прогноза спутникового движения, например, с целью планирования наблюдений в бу-
дущем. На рис. 6 на примере 8/2003 Л0 показано, насколько обширным может быть разброс прогнозируемых по с 0 возможных положений спутника х 1 = х(/0 + т, с 0) уже через один оборот (т = = 716 сут) при большой начальной вероятностной
области с0. То есть на самом деле спутник может оказаться где угодно в большой окрестности, соизмеримой с самой орбитой.
Кстати, интересно заметить, что начальная вероятностная область на рис. 6 вытянута вдоль направления к Земле, поэтому ее проекция на геоцентрическую небесную сферу не выявляет про-
x2, a. e. 0.2
0.1
-0.1
-0.2 -0.3
ч \ Юпитер )
\ ^ X /L 1 к / ■
-0.2
-0.1
0.1 0.2 xi, a. e.
Рис. 6. Вероятностные области 8/2003 Л0 относительно номинальной орбиты: в начальный момент времени - 1; и через один оборот спутника - 2.
тяженный размер области. Как видно из рис. 7а, спроецир
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.