ОБОБЩЕНИЕ МОДЕЛИ МНОГОКРАТНОГО ЗАХВАТА
В. П. Шкилев*
Институт химии поверхности Национальной академии наук Украины. 03164, Киев. Украина
Поступила в редакцию 17 января 2012 г.
Рассматривается прыжковый перенос заряда в неупорядоченных полупроводниках. С использованием концепции транспортного энергетического уровня выводятся макроскопические уравнения, являющиеся обобщением модели многократного захвата на тот случай, когда в полупроводнике присутствуют как энергетическая, так и пространственная неупорядоченности. Показано, что хотя оба вида неупорядоченности могут быть причиной дисперсионного переноса, частотная зависимость проводимости обусловливается исключительно пространственной неупорядоченностью.
1. ВВЕДЕНИЕ
Конструирование транспортных моделей, описывающих процессы переноса заряда в неупорядоченных полупроводниках, является актуальной теоретической задачей [1 3], имеющей важное практическое значение. Аналитические транспортные модели используются как при изучении свойств материалов, в частности, при нахождении энергетического распределения локализованных состояний [4,5], так и при проектировании конкретных полупроводниковых приборов [6, 7].
В органических полупроводниках, а также в неорганических полупроводниках при низких температурах перенос заряда осуществляется посредством прыжков носителей заряда между локализованными состояниями [8]. Соответствующее кинетическое уравнение, описывающее процесс переноса на микроскопическом уровне, в пределе малых концентраций имеет следующий вид:
Ц^ = и-„тр„(*)+х и-т„рт(*), (1)
т т
где P„(t) вероятность того, что в момент времени t частица (носитель заряда) находится в узле (в состоянии локализации) п; Wnm = f(Em — En,rnm) вероятность перехода частицы из узла п в узел т в единицу времени; Ет энергия частицы в узле т; гпт расстояние между узлами п и т. Конкретный вид функции / определяется тем, какое возмущение ответственно за переходы, определяющие
E-mail: shkilovv'fflukr.npt
данный процесс [8]. Степень неупорядоченности полупроводника и ее характер определяются распределениями случайных величин Ет и гпт. В реальных полупроводниках, как правило, присутствуют оба вида неупорядоченности энергетическая неупорядоченность, характеризуемая распределением энергий узлов, и пространственная неупорядоченность, характеризуемая распределением межузельных расстояний.
Для того чтобы получить описание процесса переноса на макроскопическом уровне, необходимо провести усреднение уравнения (1) по ансамблю конфигураций. Строгое решение этой задачи невозможно, поэтому были предложены различные упрощенные подходы [9 11]. Широкое признание получил подход, основанный на концепции транспортного энергетического уровня [12,13]. В этом подходе к описанию прыжкового переноса применяется модель многократного захвата. Роль транспортных узлов при этом играют узлы с энергиями вблизи некоторого уровня энергии, называемого транспортным, а роль ловушек узлы с более низкими значениями энергии. Этот подход использовался как для вычисления равновесных коэффициентов переноса [14,15], так и для описания неравновесных процессов [16]. В некоторых работах на основе такого подхода решались обратные задачи, в частности, по данным времяпролетного эксперимента вычислялось энергетическое распределение ловушек [17].
Модель многократного захвата является базовой аналитической моделью для описания процессов переноса заряда в неупорядоченных полупроводниках.
Она основана на феноменологической системе уравнений, описывающей перенос заряда через зону проводимости с одновременным захватом носителей на локализованные состояния. Было показано, что при определенных условиях эта же система уравнений может описывать и прыжковый перепое [8,18]. Линейный вариант модели многократного захвата формально эквивалентен модели случайных блужданий с непрерывным временем [18,19]. Однако, в отличие от последней, модель многократного захвата существует также и в нелинейном варианте, что позволяет использовать ее при конечных концентрациях. Существенный недостаток этой модели состоит в том, что она предсказывает отсутствие зависимости проводимости от частоты [19], а это находится в явном противоречии с результатами экспериментов [8]. Объясняется этот недостаток тем, что в модели многократного захвата учитывается энергетическая неупорядоченность полупроводника, но полностью игнорируется пространственная неупорядоченность.
В экспериментах неупорядоченность полупроводника проявляется в так называемом дисперсионном переносе, т.е. в аномальной зависимости переходных характеристик от времени. Дисперсионный перенос может быть обусловлен как энергетической неупорядоченностью, так и пространственной неупорядоченностью [1,8]. Если полупроводник содержит оба вида неупорядоченности, то оба они будут давать вклад в дисперсионный перенос. Адекватная математическая модель должна учитывать этот факт, иначе информация, извлекаемая при помощи этой модели из экспериментальных данных, будет искажаться. Так, по-видимому, происходит, когда энергетическое распределение ловушек вычисляется из данных времяпролетного эксперимента с использованием модели многократного захвата.
В данной работе предлагается модель, учитывающая вклад обоих видов неупорядоченности в дисперсионный перенос. Предположения, сделанные при выводе уравнений модели, аналогичны предположениям, используемым в работе [18] при выводе уравнений модели многократного захвата. Единственное существенное отличие состоит в том, что в данной работе учитывается разброс расстояний между транспортными узлами. Из полученных уравнений следует, что в переменном внешнем поле два вида неупорядоченности проявляют себя по-разному. В частности, зависимость проводимости полупроводника от частоты приложенного напряжения обусловливается исключительно пространственной неупорядоченностью: если пространственная неупорядочен-
ность отсутствует, то отсутствует и зависимость проводимости от частоты. Этот факт, в принципе, может использоваться для разделения вкладов разных видов неупорядоченности в дисперсионный перенос.
2. УСРЕДНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Как и при выводе уравнений модели многократного захвата, будем предполагать, что все узлы делятся на транспортные узлы, которые образуют связную сеть и дают основной вклад в перенос, и на ловушки, которые изолированы друг от друга и вклад которых в перенос пренебрежимо мал. В соответствии с концепцией транспортного энергетического уровня энергии всех транспортных узлов будем считать одинаковыми и равными Ед. Вероятности переходов зададим в форме Миллера Абрахамса:
1Г,„„ = щ охр [-2-/гп 1
кТ
(Еп
х Н(Е„
' I*1п{'
Еп —
,)]. (2)
где щ частотный множитель, 7 обратный радиус локализации, ¥ПЦ) значение силы в узле п в момент времени I, гпт радиус-вектор, соединяющий узел п с узлом т, к постоянная Больцмана, Т температура, Н функция Хевисайда. Будем рассматривать случай слабого поля: \¥п\/~/кТ -С 1.
Вначале получим уравнения для ловушек. Поскольку поле мало и вклад ловушек в перенос мал, влияние поля на вероятности перехода в этих уравнениях можно не учитывать. Разделим все ловушки па типы. К одному типу отнесем ловушки с одинаковыми значениями энергии. Усредним уравнение (1) по таким конфигурациям, для которых в точке г находится ловушка ¿-го типа. Среднее значение произведения положим равным произведению средних. Усредненное уравнение запишем в виде
ЭР/(г, О
т
= —г/о охр
Ер — Р; кТ
х ! охр (—27|г' - г|) Кг ([г' - г|) (1г'Р{ (гА) -+ Щ I охр ( —27'|г'—г|) к.г (|г'—г|) Рт(г\
(3)
Здесь Р/(т,1) усредненная по конфигурациям вероятность того, что в точке г в ловушке ¿-го типа в момент времени I находится частица, Р, значение энергии в ловушке ¿-го типа, «.¿(|г' — г|) вероятность нахождения транспортного узла в точке г'
при условии, что в точке г находится ловушка /-го типа, Рт(г' Л) усредненная по конфигурациям вероятность того, что в точке г' в транспортном узле в момент времени I находится частица.
Разлагая функцию Р'"(г' Л) в ряд в окрестности точки г' = г и подставляя разложение под знак интеграла, получим
I охр(-27|г'-г\)Кг (|г' -г|) Рт(г'л)(1г' =
= I ехр (—27|г' - г|) к, (|г' - г|) (1г' х
х [Рт(г,0 + «?АРт(г,0 + ...] , где Л оператор Лапласа,
!(х'—х)2 ехр (—27|г'—г|) к, (|г'—г|) <1г'
«.; =
2 I ехр ( -27|г'-г| ) ^ (|г'-г|) йт'
У (г' — г)2 ехр (—27|г' — г|) к, (|г' — г|) йт'
6 I ехр (—27|г' — г|) к, (|г' — г|) йт'
Члены с производными первого порядка, а также со смешанными производными второго порядка исчезают в силу симметрии функции ехр (—27|г' — г|) к, ([г' — г|). Радиус локализации является микроскопической величиной, поэтому параметр и2 также будет микроскопической величиной, следовательно, член и2АР'п(г, #) будет пренебрежимо мал по сравнению с Рт(г,£), если усредненные вероятности заметно изменяются только на макроскопических расстояниях. Малыми будут и члены с производными более высокого порядка. Таким образом, уравнение для ловушек /'-го типа можно записать в виде
ар/(г, о
т
= ('г
/""(г./) — ехр
Ер — Ег кТ
Р/М)
(4)
где
("г = Щ ! ехр (—27'|г' — г|) Кг ([г' — г|) (1т1.
Данный вывод уравнения (4) по существу совпадает с выводом аналогичного уравнения в работе [18]. Различия сводятся к тому, что, во-первых, в [18] не использовалась концепция транспортного уровня и, во-вторых, ловушки были иначе разбиты
на типы. Но эти различия несущественны, поскольку они сказываются лишь на выражениях для коэффициентов. Существенным ингредиентом этого вывода, от которого зависит вид полученного уравнения, является использование приближения среднего поля, т. е. представление среднего значения произведения в виде произведения средних.
При выводе уравнения для транспортных узлов будем использовать тот же подход, что и при выводе уравнения для ловушек. Все транспортные узлы разделим па типы в соответствии с величиной среднего времени пребывания
= £»'
Уравнение для данного типа узлов получим посредством усреднения по конфигурациям с использованием приближения среднего поля.
В исходном уравнении, подлежащем усреднению, выделим члены, описывающие о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.