ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2014, том 458, № 3, с. 264-267
МАТЕМАТИКА
УДК 517.984.54
ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМ ЕДИНСТВЕННОСТИ БОРГА ДЛЯ СИММЕТРИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА НА СЛУЧАЙ ОБЩИХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ © 2014 г. Академик В. А. Садовничий, Я. Т. Султанаев, А. М. Ахтямов
Поступило 23.04.2014 г.
DOI: 10.7868/S0869565214270073
Обозначим через L следующую задачу Штур-ма—Лиувилля:
ly = - y" + q (x )y = Xy = s2y, (1)
U (y) = an y ( 0) + any ( 0) + at3 y(n) + о(-4у'(я) = 0, i = 1, 2, (2) где вещественная функция q(x) e L1(0, я), q(x) = = q(n — x) почти всюду (п.в.); йц, i = 1, 2, j = 1, 2, 3, 4 — комплексные постоянные.
Обратная задача Штурма—Лиувилля для L в случае распадающихся граничных условий (a13 = = a14 = a21 = a22 = 0) была впервые рассмотрена в работах [1—3] и в настоящее время хорошо изучена (см. [4—6]). Обратная задача с несимметрическим и симметрическим потенциалами и нераспадающимися краевыми условиями изучалась в работах И.В. Станкевича, В.А. Садовничего, В.А. Юрко, В.А. Марченко, О.А. Плаксиной, М.Г. Гасымова, И.М. Гусейнова, И.М. Набиева и других авторов (см. [7-9]).
Для обратной задачи восстановления L, в которой неизвестны все коэффициенты йц, i = 1, 2, j = 1, 2, 3, 4, не было получено теорем единственности. Изучались частные случаи задачи L с краевыми условиями
V1(y) = any (0) + y (0) + ai3 y (n) = 0, (3) V2 (y) = a2iy (0) + a23 y (n) + y' (n) = 0, (4) а также с краевыми условиями
Pi(y) = y (0) + ю y(n) = 0,
P2 (y) = ю y'( 0) + y (я) + ay (я) = 0.
(5)
(6)
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Институт механики Уфимского научного центра Российской Академии наук Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы, Уфа Башкирский государственный университет, Уфа
Заметим, что общие самосопряженные нераспадающиеся граничные условия (2) приводятся к одному из следующих двух типов:
1) краевые условия (3), (4), где ап, а23 — произвольные вещественные числа, а13 Ф 0 — произвольное комплексное число, а21 = — а13;
2) краевые условия (5), (6), где ю Ф 0 — произвольное комплексное число, а — произвольное вещественное число. Для однозначного восстановления этих краевых задач с несимметрическим потенциалом в качестве спектральных данных, помимо спектра самой задачи, использовались спектры еще двух краевых задач, некоторая последовательность знаков и некоторое вещественное число (см., например, [10, 11]).
В настоящем сообщении получены теоремы об однозначности восстановления задачи Ь с симметрическим потенциалом и общими краевыми условиями (2), которые могут быть и несамосопряженными. В качестве спектральных данных используются только собственные значения трех спектральных задач.
В 1946 г. Г. Боргом были доказаны несколько теорем единственности решения обратной задачи Штурма—Лиувилля [2, с. 69]. Две из них были посвящены спектральным задачам В1 и В2 с q(x) е е Ь1(0, п).
Задача В1.
1у = - у" + q(х)у = Ху, у(0) = 0, у(п) = 0, q(х) = q(п - х) п.в.
Задача В2.
1у = - у" + q (х) у = Ху, у' (0) = 0, у'(п) = 0, q(х) = q(п -х) п.в.
Для этих задач им были доказаны теоремы Р1 и Р2 (обозначение Г. Борга) [2, с. 69].
Теорема Р1. Функция q(x) из (1) однозначно определяется по спектру задачи В1, если почти всюду выполняется условие q(x) = q(x — п).
ТеоремаР2. Функция д(х) из (1) однозначно определяется по спектру задачи В2, если почти всюду выполняется условие д(х) = д(х — п).
Ниже приводятся обобщения этих теорем на случай общих краевых условий (2).
Условимся в дальнейшем задачу типа Ь, но с другими коэффициентами в уравнении и с другими параметрами в граничных формах обозначать Ь . Всюду будем считать, что если некоторый символ обозначает объект из задачи Ь, то символ с волной
наверху обозначает аналогичный объект задачи Ь .
Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов ак краевых условий (2), через А:
A =
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
(7)
а ее миноры, составленные из i-го иу-го столбцов, через M¡f.
щ =
i, j = 1, 2, 3, 4.
(10)
аи ац Оц ау
Векторы будем выделять жирным шрифтом. Символом т будем обозначать транспонирование. Вектор-строка с этим индексом будет обозначать вектор-столбец. Ранг матрицы А будем обозначать через гапкА.
Рассмотрим наряду с задачами Ь, В1, В2 задачи Ь1 и Ь2.
Задача Ь1.
1у = - у" + д(х)у = Xу, иг, 1 (У) = у(0) -р(X)у'(0) = 0, и2, г (у) = у(п) = 0. Задача Ь2.
1у = - у" + д(х)у = Xу, г (у) = у' ( 0) - р(Х)у( 0) = 0,
и2,1 (у) = у' (п) = 0.
Здесь в задачах Ь1 и Ь2 полином р(Х) имеет следующий вид:
р (X) = Ми + (- М13 + М42 + 1 )Х +
+ М14 X2 + М23Х3 + М34Х4.
Теорема 1. Если задачи Ь и Ь имеют непустой дискретный спектр, спектры задач Ь и
Ь , В1 и В1, Ь1 и ^ совпадают с учетом их алгебраических кратностей, гапкА = 2, то совпадают и сами краевые задачи, т.е. д(х) = д (х) почти всюду и матрицы коэффициентов краевых условий А = (а^2 х 4 и А = (ау )2 х 4 совпадают с точностью до линейных преобразований строк.
Схема доказательства теоремы 1. Применив к задаче B1 теорему единственности Г. Борга Р1 [2, с. 69] для обратной задачи Штурма— Лиувилля с симметричным потенциалом, получим, что почти всюду выполняется равенство
q (x) = q (x). (8)
Покажем, что для векторов N = (M12, M13, M14, M32, M42, M34)T и NN = (M12, M13, M14, M32, M42, M34 )T, составленных из миноров матриц (aiJ)2 х 4 и (a j )2 х 4 соответственно, выполняется следующее равенство
N = . (9)
Пусть у1(х, X) и y2(x, X) — линейно-независимые решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям
J1 (0, X) = 1, У1 (0, X) = 0,
y2(0, X) = 0, y2(о, X) = 1.
Собственные значения задачи L являются корнями следующей целой функции ([4, с. 33—36; 12, с. 29]:
A(X) = M12 + M34 + М32У1 (я, X) + М42У1 (я, X) +
+ М13У2(я, X) + Мму2(я, X), (11)
а собственные значения задачи L1 являются корнями следующей целой функции:
A1 (X) = у2(я, X) -p(X)y1(n,X). (12)
Если A(X) ^ 0 (спектр краевой задачи дискретен), то из теоремы Адамара получаем, что функция A(X) (которая является целой порядка 1/2) восстанавливается по своим нулям с точностью до множителя C Ф 0. Следовательно, функции A(X) и
Aa (X) связаны следующим тождеством:
A(X) = cA (X), (13)
где C — некоторая константа, отличная от нуля.
Если A(X) = 0 (каждое значение X задачи L является собственным), то из условия совпадения собственных значений задач L и La также имеем (13)
(A (X) = 0).
Аналогично имеем
A^X) = C1 a1(X), (14)
где C1 — некоторая константа, отличная от нуля.
Справедливы следующие асимптотические формулы:
y1(x, X) = cossx + - u(x) sinsx + O(--),
s Vs
y2(x, X) = -sinsx- 1 u(x)cossx + Of1),
S a2 V o3/
266
САДОВНИЧИЙ и др.
где
у— (x, X) = - ssinsx + u(x) cossx + ,
y2 (x, X) = cos sx + - u (x) sin sx + ü( —),
s v s
x
u (x) = — J"q (t) dt,
для X е К и X достаточно большого [12, с. 62—65].
Из этих соотношений следует, что линейно независимы функции у1(п, X) и у2(п, X), входящие в разложение функции А1(Х). Следовательно,
Mu = 71/12, - M1з + М42 = - М13 + М42,
_ 13 _ ~ (15)
М14 = М14, М32 = М32, М34 = М34.
Функции у1(я, X) = >>2 (п, X), у1 (п, X), у2(п, X), 1, входящие в разложение функции А^), также линейно независимы (равенство у1(п, X) = >2 (п, X) верно тогда и только тогда, когда q(x) = q(x — п) [13, лемма 3, с. 37]). Отсюда, а также из (11), (13) получаем
М12 + М34 = С (М12 + М34),
м32 + м14 = с (ММ32 + М14), (16)
М42 = СМ42, М13 = СМ13. Хотя бы одно из чисел М12 + М34, М32 + М14, ША2, М13 отлично от нуля. Иначе имели бы А^) = 0, что противоречит условию теоремы, согласно которому задачи Ь и Ь имеют дискретный спектр. Отсюда, а также из (15), (16) следует, что
с = 1, М12 = М12, М13 = М13, М14 = М14,
М32 = М32, М42 = М42, М34 = ММ34, (17)
откуда получаем (9). Из (9) следует (см. [14, теорема 1, с. 119; 15, с. 32]), что матрицы (а;Л
ijJ 2 х 4
и
(а у )2 х 4 совпадают с точностью до линейных преобразований строк. Отсюда и из (8) вытекает, что краевые задачи Ь и Ь совпадают.
Теорем а 2. Если задачи Ь и Ь имеют непустой дискретный спектр, гапкА = 2, спектры задач
Ь и Ь , В2 и В2, Ь2 и ¿2 совпадают с учетом их алгебраических кратностей, то совпадают и сами краевые задачи, т.е. q(x) = q (х) п.в. и матрицы коэффициентов краевых условий А = (а^2 х 4 и А = (а у )2 х 4 совпадают с точностью до линейных преобразований строк.
Схема доказательства теоремы 2. Применив к задаче В2 теорему единственности Г. Борга Р2 [2] для обратной задачи Штурма—Ли-
увилля с симметричным потенциалом, получим равенство (8), которое выполняется почти всюду. Равенство (9) доказывается так же, как и в теореме 1. Надо лишь вместо характеристической функции A1(X) использовать функцию A2(X) =
= — у— (я, X) — p(X)y2 (я, X) и вместо линейной независимости функций y1(n, X) и y2(n, X), входящих в разложение функции A1(X), использовать линейную независимость функций у— (я, X) и у2 (я, X), входящих в разложение функции A2(X).
Замечание 1. На основе доказанных теорем легко получить и процедуру восстановления задачи L. Потенциал q(x) восстанавливается по любому из известных методов восстановления потенциала в задаче Штурма—Лиувилля с распадающимися краевыми условиями [6], а краевые условия восстанавливаются с помощью методов идентификации краевых условий [14, 15].
Замечание 2. При L = B1 получаем L = B1 = = L1, а при L = B2 получаем L = B2 = L2, поэтому теоремы единственности Борга P1 и P2 являются частными случаями доказанных теорем 1 и 2.
Замечание 3. В работе [13] приводятся обобщения теорем Г. Борга P1 и P2 на случай, когда уравнение (1) заменено уравнением
ly = - у" + 2sp(x) + q(x)у = s2y,
гдеp(x) е W2 (0, я), q(x) е L2(0, я) — вещественные функции, причем q(x) = q(n — x) п.в., p(x) = p(n — x). С помощью этих результатов и методов, используемых при доказательстве теорем 1 и 2, можно показать, что в этом случае единственным образом по трем спектрам восстанавливаются не только функция q(x) и краевые условия (2), но и функция p(x).
Работа выполнена при финансовой поддержке Президента РФ (проект НШ-1096.2014.1), Мин-обрнауки Республики Казахстан (проект 2989/ГФ3 МОН PK) и частично РФФИ (проект 14—01— 97010-р_поволжье_а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.