ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2014, том 459, № 3, с. 276-279
МАТЕМАТИКА
УДК 517.984.54
ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ЛЕВИНСОНА НА СЛУЧАЙ ОБЩИХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ © 2014 г. Академик В. А. Садовничий, Я. Т. Султанаев, А. М. Ахтямов
Поступило 26.06.2014 г.
DOI: 10.7868/S0869565214330068
Обозначим через L следующую задачу Штур-ма—Лиувилля:
(2)
ly = - y" + q(x)y = Xy = s y, (1)
ui (y) = an y ( 0) + aiiy' ( 0) + an y(n) + ai4y'(n) = 0, i = 1, 2,
где q(x) — вещественная непрерывная функция на отрезке [0, я], причем q(x) = q(n — x); a у, i = 1, 2, j = 1, 2, 3, 4, — комплексные постоянные.
Обратная задача Штурма—Лиувилля для L в случае распадающихся граничных условий (a13 = = a14 = a21 = a22 = 0) была впервые рассмотрена в работах [1—3] и в настоящее время хорошо изучена (см. [4—6]). Обратная задача с несимметрическим и симметрическим потенциалами и нераспадающимися краевыми условиями изучалась в работах И.В. Станкевича, В.А. Садовничего, В.А. Юрко, В.А. Марченко, О.А. Плаксиной, М.Г. Гасымова, И. М. Гусейнова, И.М. Набиева и других авторов (см. [7—12]).
Для обратной задачи восстановления L, в которой неизвестны все коэффициенты a¡j, i = 1, 2, j = 1, 2, 3, 4, не было получено теорем единственности. Изучались частные случаи задачи L с краевыми условиями
Vi(y) = any ( 0) + y ( 0) + öi3 y (n) = 0,
V2 (y) = Ö2iy ( 0) + Ö23 y (n) + y (n) = 0,
а также с краевыми условиями
Pi(y) = y (0) + ffly(rc) = 0,
P2 (y) = Ю y (0) + y (n) + ay (n) = 0.
(3)
(4)
(5)
(6)
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Институт механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского научного центра Российской Академии наук Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы Башкирский государственный университет, Уфа
Заметим, что общие самосопряженные нераспадающиеся граничные условия (2) приводятся к одному из следующих двух типов: 1) краевые условия (3), (4), где а1Ь а23 — произвольные вещественные числа, а13 Ф 0 — произвольное комплексное число, а21 = — а13; 2) краевые условия (5), (6), где ю Ф 0 — произвольное комплексное число, а — произвольное вещественное число. Для однозначного восстановления этих краевых задач с несимметрическим потенциалом в качестве спектральных данных, помимо спектра самой задачи, использовались спектры еще двух краевых задач, некоторая последовательность знаков и некоторое вещественное число (см., например, [10, 11]).
В настоящей работе получены теоремы об однозначности восстановления задачи Ь с симметрическим потенциалом и общими краевыми условиями (2), которые могут быть и несамосопряженными. В качестве спектральных данных используются только собственные значения трех спектральных задач.
В 1949 г. Г. Левинсон рассмотрел следующую задачу Ь0 Штурма—Лиувилля с симметрическим потенциалом [3].
Задача Ь0.
1у = - у'' + q (х )у = Ху, У(0) - Ну(0) = 0, у'(п) + Ну(п) = 0, Н е К.
Для этой задачи им была доказана следующая
Теорема. Если q(x) = q(x — я), то функция q(x) и число Н однозначно определяются по спектру задачи Ь0.
В настоящей работе приведены обобщения этой теоремы на случай общих краевых условий (2).
Условимся в дальнейшем задачу типа Ь, но с другими коэффициентами в уравнении и с другими параметрами в граничных формах обозначать Ь. Всюду будем считать, что если некоторый символ обозначает объект из задачи Ь, то символ с волной ~
наверху обозначает аналогичный объект задачи Ь.
Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов ак краевых условий (2), через А:
A =
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
(7)
а ее миноры, составленные из i-го иу-го столбцов, через My.
M, =
a1i a1j
aa
2j
i, j = 1, 2, 3, 4.
(10)
Векторы будем выделять жирным шрифтом. Символом т будем обозначать транспонирование. Вектор-строка с этим индексом будет обозначать вектор-столбец. Ранг матрицы А будем обозначать через гапкА.
Рассмотрим наряду с задачами Ь и Ь0 задачи Ц и Ц.
Задача Ц.
1у = - у" + д(х)у = Xу, ии!(у) = у'(0) + Миу(0) = 0, и2,1 (у) = - Ми у(п) + у'(п) = 0.
Задача Ь2.
1у = - у" + д(х)у = Xу, 1 (у) = у' ( 0) + Р0 (X) у ( 0) = 0, и2,1 (у) = у' (п) + м1ъ у(п) = 0.
Здесь в задаче Ь2 полином р0(Х) имеет вид
Р0(Х) = МХ4 + (М14 + М23 )Х2 + М12 X3 +
+ М34X4 + (М14М23 - М13 + М24 - 1 )Х5.
Теорема 1. Если задачи Ь и Ь имеют дискретный спектр, д(х) = д(п — х), д (х) = д (п — х), спектры
задач Ь и Ь, Ь1 и Ь , Ь2 и Ь2 совпадают с учетом их алгебраических кратностей, гапкА = 2, то совпадают и сами краевые задачи, т.е. д(х) = д (х), а матрицы коэффициентов краевых условий А = (а^2 х 4 и
А = (а¡] )2 х 4 совпадают с точностью до линейных преобразований строк.
Схема доказательства теоремы 1. Применив к задаче Ь1 теорему единственности Левинсона [3] для обратной задачи Штурма-Ли-увилля с симметричным потенциалом, получим, что выполняются равенства
д(х) = ~д(х), М14 = М14. (8)
Покажем, что для векторов N = (М12, М13, М14, М32, М42, М34)т и NN = (М12, М13, М14, М32, М42, М34)т, составленных из миноров матриц (а^2 х 4 и (а 1] )2 х 4 соответственно, выполняется равенство
N = NN. (9)
Пусть y1(x, X) и y2(x, X) — линейно независимые решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям
J1 (0, X) = 1, (0, X) = 0,
У2(0, X) = 0, у2(0, X) = 1.
Собственные значения задачи L являются корнями целой функции [4, с. 33—36; 13, с. 29]
A(X) = M12 + M34 + М32У1 (П, X) + М42У1 (П, X) +
+ М1зУ2(я, X) + Ml4y\(n, X), (11)
а собственные значения задачи L2 — корнями целой функции
A2(X) = - у'1 (П, X) - M23У1 (я, X) +
+ M23P0(X)y2(n, X) + P0(X)y2(п, X). (12) Если A(X) Ф 0 (спектр краевой задачи дискретен), то из теоремы Адамара получаем, что функция A(X) (которая является целой порядка 1/2) восстанавливается по своим нулям с точностью до множителя C Ф 0. Следовательно, функции A(X) и
A (X) связаны тождеством
A(X) Ф CA(X), (13)
где C — некоторая константа, отличная от нуля.
Если A(X) ф 0 (каждое значение X задачи L является собственным), то из условия совпадения собственных значений задач L и L также имеем (13)
(A (X) Ф 0).
Аналогично имеем
A2(X) Ф C2A2W, (14)
где C2 — некоторая константа, отличная от нуля.
Справедливы следующие асимптотические формулы.
у1(х, X) = cossx + - u(x) sinsx + O,
y2(x, X) = ^sin sx - 1 u (x) cos sx + O \ 1
y1 (x, X) = - s sin sx + u(x) cos sx + , У2 (x, X) = cos sx + - u (x) sin sx + O,
где
x
/(x) = 1 j"tf (t) dt,
для X е К и X достаточно большого ([13, с. 62-65]).
Из этих соотношений следует, что линейно независимы функции у1 (п, X), у2 (п, X) = у1(п, X), у2(п, X), 1, входящие в разложение функций Д^) и
s
0
278
САДОВНИЧИЙ и др.
Д2(Х) (равенство у1(я, Х) = у2 (я, Х) верно тогда и только тогда, когда q(x) = q(x — я) [14, лемма 3, с. 37]). Отсюда, а также из (11)—(14) получаем
Ии + М34 = С (М12 + М34 ),
М32 + М14 = С (Мз2 + М14), (15)
М42 = СММ42, М13 = СММ13. С2 = 1, М14 - М23 = Ми - М^23,
М12 = М^12, М34 = ^34,
(16)
М14М23 - М13 + М24 - 1 = М^14М^23 - М^13 + М^24 - 1.
Хотя бы одно из чисел М12 + М34, М32 + М14, М42, М13 отлично от нуля. Иначе имели бы Д(Х) = 0, что противоречит условию теоремы, согласно которому задачи Ь и Ь имеют дискретный спектр. Отсюда, а также из (8), (15), (16) следует, что
С = 1, М12 = М^12, М13 = М^13, М14 =
М32 = М32, М42 = М^42, М34 = М34, откуда получаем (9). Из (9) следует (см. [15, теорема 1, с. 119], что матрицы (а^)2 х 4 и (а ^ )2 х 4 совпадают с точностью до линейных преобразований строк. Отсюда и из (8) вытекает, что краевые задачи Ь и Ьа совпадают.
Рассмотрим следующую спектральную задачу.
Задача У1.
1у = - у'' + q(х)у = Ху, ^ 1 (у) = апу(0) + у (0) - ^21 у(я) = 0, и2,1 (у) = а21 у( 0) + а23 у(я) + у' (я) = 0.
Краевые условия задачи У1 совпадают с краевыми условиями (3), (4), где а11, а23, а13, а21 — произвольные вещественные числа, причем а21 = —а13.
Для задачи У1 в работе [12] В.А. Юрко было показано, что У1 однозначно восстанавливается по двум спектрам и некоторой последовательности знаков, а именно, по спектру задачи У1, спектру &„} задачи с уравнением (2) и краевыми условиями У(0) + а11у(0) = у(п) = 0, а также последовательности знаков юи = 81§п(|0'(я, £и)| — |а21|), где 0^, Х) — решение уравнения (2) при краевых условиях 0(0, Х) = 1, 0'(0, Х) = —а11.
Ниже мы покажем, что если потенциал задачи У1 симметричен, то задача У1 восстанавливается по двум спектрам (использование последовательности знаков в этом случае излишне).
Обозначим через У2 следующую спектральную задачу.
Задача У2.
- у' ' + q(х)у = Ху, аиу (0) + у' (0) = 0, - апу (я) + у' (я) = 0.
Теорема 2. Если q(x) = q(я — x), q = q (я — x),
спектры задач У1 и У1, У2 и У2 совпадают с учетом их алгебраических кратностей, то совпадают и сами краевые задачи, т.е. q(x) = q а11 = а11, а21 = а21,
а23 = а23 .
Схема доказательства теоремы 2. Применив к задаче У2 теорему единственности Левинсона [3] для обратной задачи Штурма-Ли-увилля с симметричным потенциалом, получим, что выполняются равенства
q (х) = а (х), а 11 = аи. (18)
Для доказательства теоремы осталось доказать равенства а21 = а21, а23 = а23.
Собственные значения задачи У1 являются корнями целой функции
Д3(Х) = - а21 - а23у1(я, Х) - у1 (я, Х) +
+ (апа23 + а21 )у2(я, Х) + апу2(я, Х). (19)
Из теоремы Адамара получаем, что функция Д(Х) (которая является целой порядка 1/2) восстанавливается по своим нулям с точностью до множителя С Ф 0. Следовательно, функции Д3(Х) и
Да3 (Х) связаны тождеством
Д3 (Х) = С3Д3(Х), (20)
где С — некоторая константа, отличная от нуля.
Как было показано при доказательстве теоремы 1, функции у1 (я, Х), у1(я, Х) = у2 (я, Х), у2(я, Х) и 1 линейно независимы. Поэтому С3 = 1, а11 = а11,
а21 = а21 , а23 = а23 .
З а м е ч а н и е 1. Заметим, что теорема единственности Левинсона является частным случаем доказанных теорем 1 и 2. Действительно, при Ь = Ь,, т.е. в случае, когда а11 = —Н, а12 = 1, а13 = а14 = 0, а21 = а22 = 0, а23 = Н, а24 = 1, получаем, что задачи Ь, Ь1, Ь2 совпадают, а при У1 = Ь0 получаем У1 = У2, поэтому задача идентификации по трем (двум) спектрам превращается в задачу идентификации по одному спектру.
Замечание 2. На основе доказанных теорем легко получить и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.