ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2004, том 67, № 2, с. 324-331
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ОБОБЩЕННАЯ АМПЛИТУДА п-ВЕРШИННОГО ОДНОПЕТЛЕВОГО ПРОЦЕССА В СИЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
© 2004 г. А. В. Кузнецов*, Н. В. Михеев**, Д. А. Румянцев***
Ярославский государственный университет, Россия Поступила в редакцию 24.07.2002 г.; после доработки 03.02.2003 г.
Проведен общий анализ амплитуды п-вершинного однопетлевого процесса в сильном магнитном поле с использованием асимптотической формы электронного пропагатора в поле. С целью применения полученных результатов рассмотрены фотон-нейтринные процессы, где одна из вершин взята в общем виде (скалярная Б, псевдоскалярная Р, векторная V или аксиальная А), а остальные вершины — векторные. Показано, что для нечетного числа вершин только амплитуда вида Б^... Vг-l линейно растет с ростом напряженности магнитного поля, тогда как для четного числа вершин линейный рост имеет место только в амплитудах PV1... Vг-l, VV1... УГ1-1 и АУ1... УГ1-1. Для процессов 77 — ии (в рамках модели с эффективной скалярной ииее-связью) и 77 — иг>7 (в рамках стандартной модели) получены общие выражения для амплитуд при произвольных значениях энергий частиц. В предельном случае больших энергий фотонов получено выражение для сечения процесса 77 — ^7.
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время не уменьшается интерес к астрофизическим объектам, в которых могут возникать сильные магнитные поля с напряженностью B > Be (Be = m2/e ~ 4.41 х 1013 Гс!) — так называемое критическое значение поля). К таким объектам относится, в частности, определенный класс звезд, так называемые магни-тары — нейтронные звезды с магнитными полями ^4 х 1014 Гс [1, 2]. В литературе обсуждаются также возможные механизмы генерации астрофизических магнитных полей с напряженностью B » Be (до 1017—1018 Гс [3-6]). Имеются основания полагать, что в ранней Вселенной могли существовать поля с напряженностью порядка 1024 Гс, см. [7] и цитированные там работы.
Понимание определяющей роли квантовых процессов в динамике некоторых астрофизических объектов, например сверхновых, стало важнейшим стимулом прогресса в астрофизике элементарных частиц - одной из бурно развивающихся физических наук. Большой интерес представляет исследование влияния сильного внешнего поля на квантовые процессы, поскольку сильное поле может не только катализировать процессы, существенно менять их кинематику, но и индуцировать новые
1)Используется естественная система единиц c = h = 1, m — масса электрона. Везде в работе e > 0 — элементарный заряд.
*E-mail:avkuzn@uniyar.ac.ru
** E-mail: mikheev@uniyar.ac.ru
*** E-mail: rda@uniyar.ac.ru
взаимодействия. Особенно важно учитывать воздействие внешнего поля на петлевые квантовые процессы, где в конечном и начальном состояниях присутствуют только электрически нейтральные частицы, такие, как фотоны, нейтрино, а также гипотетические аксионы, фамилоны и т.д. Воздействие внешнего поля на такие процессы обусловлено как чувствительностью заряженных виртуальных фермионов к влиянию поля, так и тем фактом, что сильное магнитное поле существенно меняет дисперсионные свойства фотонов, а значит, и их кинематику.
Исследование фотон-нейтринных петлевых процессов имеет довольно длинную историю. Двухвершинные петлевые процессы, к которым относятся переход 7 — 7 (поляризационный оператор фотона во внешнем поле), распад 7 — и переход V — (называемый также нейтринным черенковским процессом) и т.д., изучались в сериях работ нескольких авторов, см., например, [8—15] и цитированные там работы. Наиболее общее выражение для двухвершинной петлевой амплитуды вида ^ — // — ^' в постоянном однородном магнитном и скрещенном поле было получено в работе [16], где рассмотрены всевозможные комбинации скалярного, псевдоскалярного, векторного и псевдовекторного взаимодействий обобщенных токов с фермионами.
Петлевой процесс с тремя вершинами, в течение многих лет находящийся в поле внимания теоретиков, — запрещенное в вакууме расщепление фотона на два фотона в магнитном поле, 7 — 77. Этому процессу посвящен обзор [17], где можно найти
подробный список ранних статей, среди относительно недавних работ укажем [18—22]. Еще один трехвершинный петлевой процесс — превращение фотонной пары в нейтринную 77 ^ уу — интересен как возможный канал остывания звезд. Подробный обзор работ, посвященных этому процессу, можно найти, например, в нашей недавней статье [23].
Поскольку, в соответствии с теоремой Гелл-Манна [24], процесс 77 ^ уу сильно подавлен в вакууме, в ряде работ рассматривался четырех-вершинный петлевой процесс с дополнительным фотоном 77 ^ уу7, который, несмотря на лишний фактор а, имеет большую вероятность, чем двух-фотонный процесс. Процесс 77 ^ уу7 изучался как в вакууме [25—30], так и при стимулирующем влиянии сильного магнитного поля, в случае низких энергий фотонов [31—33].
Таким образом, вычисление амплитуды п-вер-шинного однопетлевого квантового процесса в сильном внешнем магнитном поле представляется актуальным, поскольку результаты такого расчета могут быть использованы для анализа интересных с астрофизической точки зрения процессов 77 ^ ^ уу, 77 ^ уу7, а также аксионного и фамилон-ного процессов 77 ^ 7а, 77 ^ ^Ф и т.д.
В разд. 2 проводится общий анализ амплитуды п-вершинного однопетлевого процесса в сильном магнитном поле. В разд. 3 вычислена амплитуда, в которой одна из вершин взята в общем виде (скалярная Б, псевдоскалярная Р, векторная V или аксиальная А), а остальные вершины векторные и связаны с фотонами. Данная амплитуда является основным результатом настоящей работы. В разд. 4 и 5 приводятся явные аналитические выражения для амплитуд процессов 77 ^ уу и 77 ^ уу7 соответственно, которые в пределе низких энергий воспроизводят имеющиеся в литературе формулы. Впервые получено сечение процесса 77 ^ уу7 в предельном случае высоких энергий фотонов. В Заключении перечислены основные результаты статьи.
2. ОБЩИИ АНАЛИЗ п-ВЕРШИННОГО ОДНОПЕТЛЕВОГО ПРОЦЕССА В СИЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Мы будем исходить из эффективного лагранжиана взаимодействия обобщенных токов ^ с электронами следующего вида:
£(%) = ^ д^е (Х)ГгФе(х)}]1 (х), (1)
г
где обобщенный индекс г = Б,Р^,А нумерует матрицы Гг, так что Г^ = 1, ГР = 75, Гу = = 7«, Га = 7а75; ^ — соответствующий квантовый объект, ток , ]р, IVа или ]Аа) или вектор поля фотона; дг — константы связи; фе(х) — точное
решение уравнения Дирака для электрона в постоянном внешнем магнитном поле. В частности, для электрон-фотонного взаимодействия ду = е, Гу = = 7а, а уа(х) имеет смысл векторного потенциала электромагнитного поля фотона.
Пропагатор фермиона в магнитном поле может быть представлен в виде [34]
5(Ж1,Ж2> = еЩх1 X2)S(x 1 - x2),
(2)
Х2
Ф(х1,Х2) = -e J
(3)
где Ац — 4-потенциал, — тензор внешнего постоянного однородного магнитного поля. Трансляционно-инвариантная часть пропагатора §(х1 — х2) имеет несколько представлений. Для наших целей удобно использовать ее асимптотическое выражение в пределе еБ/\ш2 — р|| » 1 [35, 36]:
S(X) с Ц ехр
eBX 2
(4)
[ d2p (т)\\+™ п_с-гыпц
J (2тт)2р2 -т2 + ¿0
где
d2p = dp0dp3, П± = -(1 ± ¿7172),
П
±
П±, [П±, (aY)\\]=0.
Здесь 7а — матрицы Дирака в стандартном представлении; 4-векторы с индексами ± и || относятся к подпространствам Евклида {1, 2} и Минковского {0, 3} соответственно, когда поле В направлено вдоль третьей оси. Для произвольных векторов ам, Ьц имеем
а± = (0, а1 ,а2,0), ау = (ао, 0,0, а3), (5) (аЬ)± = (аЛЬ) = а1 Ь1 + а2Ь2, (аЬ)у = (аЛ Ь) = а0Ь0 — а3Ь3,
где введены матрицы Лaß = (w)aß, Aaß = ((p(p)aß, связанные соотношением Л aß — Лaß = gaß = = diag(1, —1, —1, —1); yaß = Faß/В - обезразме-ренный тензор внешнего магнитного поля; (paß = = ~ дуальный тензор; у 4-векторов
и тензоров, стоящих внутри круглых скобок, тензорные индексы полагаются свернутыми последовательно, например: (аЛЬ) = ааЛaßbß.
Несмотря на то что в пропагаторе (2) присутствует трансляционно- и калибровочно-неинвари-антная фаза Ф(х1,х2), суммарная фаза от n пропа-
х
4
х
2
Чш
Рис. 1. Диаграмма Фейнмана для те-вершинного одно-петлевого процесса в сильном магнитном поле. Двойные линии соответствуют электронным пропагаторам, построенным на основе точных решений уравнения Дирака во внешнем поле.
гаторов в петле трансляционно- и калибровочно-
а2):
инвариантна
еВ
=--'^-^(ХгРХг+г)
е_В_ 2
г=1
п-1 г-1
Хп + 1=Х1
г=2 к=1
= Хг - Х+1, Zп = Хп - Х1, = 0.
г=1
Инвариантная амплитуда п-вершинного одно-петлевого процесса, построенная с помощью эффективного лагранжиана (1), описывается диаграммой Фейнмана, изображенной на рис. 1. С учетом (2), (3), (6) амплитуда может быть представлена в виде
п1
Мп = гп+Ч П d4Zk х
к=1
п1
х ^ Ггjг^(Zг)^ егф^ ехр Zj
к
Як = Е ^ Яп =
г=1
где ]1 — фурье-образ обобщенного тока ]1 (х).
Подставляя пропагатор (4) и суммарную фазу (6) в амплитуду (7) и интегрируя по d4Zi, нахо-
у)
30 20 10 0
300
300
Рис. 2. Результат численного расчета функции J(х, у), определенной в формуле (36) и входящей в сечение процесса 77 ^ ии^ (35).
дим:
(6)
г(-1)п еВ ( Е±,, Мп ^ „Л, ехр -
2еВ
(2п)3
х I d2pTrj [] [дк Г к ]к Бу (р - Як)]
(8)
(7)
к=1
где Бу(р) = П_((р7)у + т)/(р| - т2 + г0); Е±п -билинейная комбинация поперечных компонент внешних импульсов, например:
Я±2 = я±1, Я±3 = Я±1 + Я2±2 + (91Л^2) -в общем случае, при п > 3:
п_ 1 п_ 1 к _ 1
Я±п = Е Я2±к - Е Е[(ЯкЛQj) - г(ЯкvQj)]. к=1 к=2 j=1
Как видно из (8), в приближении, когда величина магнитного поля является максимальным физическим параметром, еВ » д^,ду, амплитуда будет зависеть только от продольных компонент импульсов.
3. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ФОТОНОВ Пусть вершины Г1,... ,Гп_1 являются векторными и связаны с фотонами, а вершина Гп остается произвольной. Полная амплитуда будет содержать (п - 1)! диаграмм, соответствующих (п - 1)! перестановкам фотонов. В приближении д2^ ^ еВ амплитуду (8) можно представить в виде
2)В формуле ^.3) статьи [37] выражение для суммарной
фазы через Z^ справедливо только при те = 2, 3.
Мп ^ г(-1)пеп_1дпЗ
еВ_ 12тг
'п_1 п1
. г=1
-(г)
Т
«1 ,...,ап-1 +
(9)
п
п
а
+ все перестановки фо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.