ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 2, с. 166-176
РОБОТОТЕХНИКА И МЕХАТРОНИКА
УДК 681.5:517.9
ОБОБЩЕННАЯ СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ДЛЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НАНО- И МИКРОПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ V. МНОГОМЕРНАЯ СХЕМА
© 2007 г. С. М. Афонин
Москва, Московский государственный ин-т электронной техники (технический ун-т) Поступила в редакцию 25.04.06 г., после доработки 25.08.06 г.
На основе решения волнового уравнения и учета деформаций по координатным осям построены многомерные структурно-параметрическая модель и параметрическая структурная схема электро-магнитоупругого преобразователя, выполненного в виде пьезодвигателя наноперемещений. Определено влияние геометрических и физических параметров пьезодвигателя и внешней нагрузки на его статические и динамические характеристики, передаточные функции. Получены параметрические структурные схемы многокоординатных пьезопреобразователей.
Введение. Для нано- и микроперемещений в на-нотехнологии, нанобиологии, микроэлектронике, адаптивной оптике применяются прецизионные электромеханические приводы с электромагнито-упругими преобразователями на основе пьезоэлектрического, пьезомагнитного, электрострикцион-ного, магнитострикционного эффектов [1-6].
В первой части работы было решено волновое уравнение для деформации электромагнитоупругой пластины, получены передаточные функции и построены обобщенная структурно-параметрическая модель и параметрические структурные схемы электромагнитоупругой пластины [3]. Во второй части приведена обобщенная структурно-параметрическая модель составного электромагнитоупругого преобразователя, являющаяся результатом совместного решения матричного уравнения четырехполюсника составного преобразователя, уравнения электромагнитоупругости и граничных условий на двух нагруженных рабочих поверхностях преобразователя [4]. В третьей части проведен учет граничных условий, нагрузки и параметров электромагнитоупругого преобразователя при трансформации его структурно-параметрической модели и параметрических структурных схем [5]. В четвертой части рассмотрено использование структурно-параметрической модели и параметрических структурных схем преобразователя для расчета шагового пьезодвигателя [6].
В связи с тем, что деформация пьезодвигателя наноперемещений многокомпонентна, т. е. происходит одновременно по различным координатным осям, в настоящей статье предложены для расчета динамики процесса деформации многомерные структурно-параметрическая модель и параметри-
ческая структурная схема электромагнитоупругого преобразователя в виде пьезодвигателя наноперемещений. Для многокоординатного электромагнитоупругого преобразователя с соответствующими преобразователями по каждой координатной оси определены структурно-параметрические модели и параметрические структурные схемы, учитывающие деформации этих преобразователей.
1. Деформация пьезодвигателя наноперемещений. Деформация исполнительного пьезоэлемента пьезодвигателя соответствует его напряженному состоянию. Если в пьезоэлементе создать механическое напряжение Т, то в нем возникнет деформация S. Существует шесть компонент напряжений: Г1, Т2, Т3, Т4, Т5, Т6, из них Т1-Г3 вызваны растяжением-сжатием, Т4-Т6 - сдвигом (рис. 1).
Матричные уравнения состояния [1], связывающие электрические и упругие переменные для поляризованной пьезокерамики, записываются в общем виде
[ D ] = [ d ][ T ] + [ет ][ E ], [ S ] = [ sE ][ T ] + [ d ]1 [ E ]. .
Здесь первое уравнение описывает прямой пье-зоэффект, а второе - обратный; матрицы-столбцы характеризуют: [S] - относительные деформации, [Т] - механические напряжения, [Е] - напряженность электрического поля по координатным осям, [D] - электрическую индукцию по координатным осям; [s£] - матрица упругой податливости при Е = const. Поляризованная керамика представляет собой пьезоэлектрическую текстуру с симметрией <», m, поэтому в матрице упругой податли-
вости для поляризованной пьезокерамики есть
Е Е Е Е Е
пять независимых компонент: , 512, 513, 533, 555.
0 0 0 0 0 0 0 0 0
[ / ] =
E E E
11 512 513
E E E
12 511 S13
E E E
13 513 s33
0 0 0 5 55 0 0
0 0 0 0 Д 0
(1.2)
0 0 0 0 0 2 (4- 5?2)
Транспонированная матрица пьезоэлектрических модулей в данном случае имеет вид
[ d ]' =
0 0 d31
0 0 d31
0 0 d33
0 d15 0
d15 0 0
0 0 0
(1.3)
Матрица диэлектрических ироницаемостей [£T] при T = const заиисывается как
[£T ] =
Е
£ц
0 £22 0 0
0 0 0
-33
(1.4)
Направление оси Р, по которой проведена поляризация, обычно совмещают с ориентацией оси 3. Решение волнового уравнения с учетом соответствующего уравнения пьезоэффекта, граничных условий на нагруженных рабочих поверхностях пье-зодвигателя и деформаций по координатным осям позволяет построить многомерную структурно-параметрическую модель пьезодвигателя. Его передаточные функции и параметрическая структурная схема получаются из системы уравнений, описывающих соответствующую структурно-параметрическую модель пьезодвигателя наноперемещений.
2. Многомерная структурно-параметрическая модель пьезодвигателя наноперемещений. Рассмотрим пьезодвигатель на рис. 2 при продольном пьезоэффекте, представляющий собой пьезопла-стину толщиной 5 с электродами, нанесенными на грани, перпендикулярные оси 3, площадь которых равна 50, причем в общем виде силы F и перемещения Е, по координатам 1, 2, 3 приведены с соответствующими вторыми индексами 1, 2, 3. Уравнение обратного пьезоэффекта [1, 7] для продольной деформации при управлении пьезодвигателя по напряжению имеет вид
S3 = d33 E3 (t) + S33 T3 (х, t),
_ д% ( х, t)
(2.1)
где 53 = "д ' ' - относительное смещение сечения пьезопластины; ё33 - пьезомодуль при продольном
пьезоэффекте; Е3 = - напряженность электрического поля; иф - напряжение на электродах пластины; ^Зз - упругая податливость по оси 3; Т3 - механическое напряжение по оси 3.
Запишем уравнение сил, действующих на пластину
T3S0 = F + M-
д % ( х, t) dt2 '
(2.2)
где F - внешняя сила, приложенная к пластине; М -перемещаемая масса.
Для составления структурно-параметрической модели пьезодвигателя с управлением по напряжению решим совместно волновое уравнение, уравнение обратного продольного пьезоэффекта и уравнения сил на гранях пьезопластины. При расчете пьезодвигателей используется волновое уравнение
»3 T
Рис. 1. Компоненты механических напряжений в пье-зодвигателе наноперемещений.
E
2
1
1
[2, 7], описывающее распространение волны в длинной линии с затуханием без искажений
1 дx, t) , 2adUxJ)
(cE)2 Bt2 2
д
, 2fc, B2E(x, t) + a x, t) = ;
Bx
(2.3)
d 5(x, t)
dx2
1 2,2 a , 2" P + —P + a c
E2
L(c )
Постоянные С и B определим из граничных условий
S(0, p) = Si(p) при х = 0, 5(5, p) = S2(p) при х = 5,
С =
5j g5T - S2 2sh(5y)
5, e 5 - 5.
5 =
2sh(5y) "
где a - коэффициент затухания, учитывающий затухание колебаний из-за рассеивания энергии на тепловые потери при распространении волны, cE - скорость звука при Е = const.
Применим к волновому уравнению (2.3) преобразование Лапласа
5(x, p) = LШx, t)} = x, t)e-ptdt, (2.4)
0
полагая начальные условия нулевыми, т.е.
= 0.
5<x,t)|t.0- ^дг
В результате получим линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка в виде
5(x, p) - 0, (2.5)
решением которого будет функция
5(x, p) - Се~ху + Bexr, (2.6)
где у = p/cE + a.
Тогда решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка запишется как
5( Х'Р) = (Р) [(6 - Х )У] + (2.7)
+ 52 (р) (х у)}.
Уравнения для сил, действующих на гранях пьезопластины, будут
Т з( 0, Р) ^с = ^ (Р) + М р2 51 (р) при х = 0,
(2.8)
Т3 (5, р) ¿0 = -^(р) + М2Р2 51(р) при х = 5,
где Г3(0, р) и Г3(5, р) определяются из уравнения обратного пьезоэффекта.
Следовательно, имеем систему уравнений для механических напряжений в пьезодвигателе при х = 0 и х = 5
Tз(0,p) - Y-^b-Pl
s
>зз
dx
- -33 e3 ( p ),
E^ 3 x = 0 S33
Тз(5, p) - -E-5^
S33
(2.9)
33 r < \
- -T3 E3 ( p ).
E
x - 5 S33
c
t - 0
Из (2.9) найдем следующую систему уравнений для структурно-параметрической модели пьезодвигателя:
5,(p ) =
1
Ml p1
- F1( p )+S [ s33
йъъ E3 ( p ) -
-Shfe) [ СЬ (5У)Н1 ( P ) - 52 ( P )]
(2.10)
52(p ) =
m2 pp
- F2( p ) + %
d33 E3 ( p ) -
-Shfe)[ ch ( p ) - s, ( p )]]|
Система уравнений (2.10) позволяет сформировать параметрическую структурную схему пьезодвигателя с управлением по напряжению, соответствующую фрагменту схемы на рис. 3, и дополненную уравнением внешней цепи U(p) = U0(p)/(RC0p + + 1), где U0(p) - напряжение источника, R - сопротивление внешней цепи, C0 - статическая емкость пьезопластины.
Уравнение обратного пьезоэффекта [1, 7] для поперечной деформации при управлении пьезодвигателя (рис. 2) по напряжению выражается соотношением
S, = d31E3(t) + suT,(x, t),
(2.11)
„ d£( x, t)
где ài = —-=]];—) - относительное смещение сече-dx
ния пьезопластины; d31 - пьезомодуль при поперечном пьезоэффекте; sf, - упругая податливость по оси 1; T1 - механическое напряжение по оси 1.
Решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (2.5) имеет вид (2.6), где постоянные C и B определим из граничных условий
5(0, p) = Si(p) при х = 0,
5(l, p) = 52(p) при х = l,
C =
s, e Y - 52
s, e 11 - s.
B =
2sh(ly)' 2sh(/y) '
Тогда решение (2.5) запишется как
5(X'p) = ^{5i(p)Sh[(l- X)Y] + (2.12) + 52( p ) sh ( X Y)}.
Уравнения для сил, действующих на гранях пьезопластины, будут
T i( 0, p ) S0 = F, ( p ) + M, p2H, (p ) при x = 0, 13) T, (l, p)So = -F2(p) + M2p252(p) при x = l, '
где Tj(0, p) и Tj(l, p) рассчитываются из уравнения обратного пьезоэффекта.
Следовательно, получаем систему уравнений для механических напряжений в пьезопреобразо-вателе при х = 0 и х = l
T, ( 0, p ) =
s,,
dx
--E E3( p ),
E3
x =0 S,,
T,( /, p ) = -i d5ix^
dx
(2.14)
--Er E3 ( p ).
x = l
Из (2.14) для механических напряжений в пьезо-двигателе найдем следующую систему уравнений, описывающую структурно-параметрическую модель пьезодвигателя наноперемещений при поперечном пьезоэффекте и соответствующую фрагменту параметрической структурно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.