ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2013, том 451, № 5, с. 505-507
МАТЕМАТИКА
УДК 517
ОБОБЩЕННОЕ ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО И КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ © 2013 г. Б. И. Садовников, Н. Г. Иноземцева, Е. Е. Перепёлкин
Представлено академиком В.В. Козловым 19.02.2013 г. Поступило 06.03.2013 г.
БО1: 10.7868/80869565213240080
Проблемы, связанные с изучением иерархии кинетических уравнений, находятся в фокусе внимания в связи с актуальностью описания нелинейных нестационарных процессов [1—7]. В настоящей работе введено обобщенное фазовое пространство, для которого доказана обобщенная теорема Лиувилля о сохранении обобщенного фазового объема, и рассмотрены свойства консервативных систем в таком пространстве.
1. ОБОБЩЕННОЕ ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО
Определение 1. Пусть О — бесконечномерное метрическое пространство, элементами которого являются ^еП, где
2 = {г, V, ...}т еП или
с X у z • X . у . z 1Т
С = {х, у, ,лг ,\т ,у ,...} ей.
Тогда О будем называть обобщенным фазовым пространством.
Определение 2. Добавим к пространству О временную ось Т; полученное пространство ОТ назовем обобщенным фазовым пространство м-в р е м е н е м.
Определение 3. Пусть кинематическая точка характеризуется в некоторый начальный момент времени t0 е Т состоянием 2,0 еП, где
2,0 = {Г0,V0, V0,^0,...}Т .
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Университет "Дубна", Дубна Московской обл.
Обобщенной фазовой траектори-е й точки в пространстве-времени ОТ назовем
< г ^)Л
V ^)
V ^)
* (t) =
(
■v0 (t -10)+ -
i
h- 0 (t -10 )+-
)(( -10)2 + -0 (t -10)3
2! 3!
i(( -10)2 + -0 (t -10)3
2!
■-0 (t -10 )-
-0 (t -10)2 2!
(4) - 0
3!
(t -10 )3
3!
(1)
при условии, что ряды (1) сходятся.
Заметим, что на обобщенной фазовой траектории векторные величины г0,V0,V0,у0,... являются зависимыми, т.е.
-»= 7,
-•= d-
j2 dj dt:
(2)
t=t0
Таким образом, при выполнении условий (2) в выражении (1) будут стоять именно ряды Тейлора, сходящиеся для "достаточно" гладких траекторий.
Сл едствие 1.
1) Из выражений (1) и (2) следует, что не для всех точек пространства О ряды в выражении (1) сходятся. Рассмотрим подпространство О', с элементами ^ей' с О, для которых ряды (1) являются рядами Тейлора.
2) В силу единственности разложения в ряд Тейлора через каждую точку подпространства О' проходит только одна обобщенная фазовая траектория (1).
3) Обобщенные фазовые траектории в подпространстве ОТ не пересекаются.
506
САДОВНИКОВ и др.
4) Выражение (1) ставит в соответствие состоянию £0 = £ ('0) е ОТ состояние £ = £ (') е ОТ, т.е. является отображением, которое назовем отображением Тейлора. Оно взаимно однозначно.
Те о р е м а 1 (обобщенная теорема Лиувилля). Отображение Тейлора, переводящее область ю1 с О' в область ю2 с О', имеет определитель матрицы Якоби, равный единице, т.е.
I =
(2) (2) .(2) ..(2) ч
(1) (1) .(1) ..(1) ч
= 1,
(3)
где £(2) = •(1) ••(1) ,т
= у(2)(у(1) -(1) -(1)
гг(2) v(2) ,,(2) \;(2)
.}Т е щ2, £(1) = {Г(1), У(1),
г (2) = г (2)(г «, .у «, .у (1),л;(1),...), у(2) =
V (1),¥(1),...),...
Следствие 2. Справедливы выражения
I1 =
д(у(2), V (2),.(2),
(1), V (1),.(1),
= 1, 12 =
д(. (2),у(2),
д(. (1),у(1),...)
Определение 4. X-, Y-, Z- проекционными фазовыми пространствами назовем пространства юх, юу, юг соответственно,
состоящие из элементов п(
юх
п(*) = {х, V(х), V(х(х),...}Т
) = {у,У (у),1/ {У)МУ),
• (г) -{г)
V , V ,
(г) . (х)
V , т/ ,
6 ©г,
е О'.
..}Т е ©у, п(г) = {г, V«, где £ = {х, у, г, Vх», v(y),
Определение 5. Отображение вида
(Ом ^
х' (')
(' ) (' )
4° + V 0х<О) ((- ?0) +
V0хй) (' - Ч) + УГ' (( - '0)
\ 2 ..(х <'■»),
2!
3!
+....
(х<4) + т>(х<°) ( ,) + ^0Х'») ((- к)2 + ^ ((- Ь)3
+ (' 'о) Г""
2!
3!
+ ...
х<'») (х")ь , У^ ( - '0 )2 у0х,) (( - '0 )3
х<'»)
V0х'> + '> (( - 'о)+-
2!
3!
+ ...
назовем X-, Y-, Z-проекционными отображениями Тейлора соответственно для I = 1, 2, 3.
Теорема 2. X-, Y-, Z-проекционные отображения Тейлора имеют определители матрицы Якоби, равные единице, т.е.
I
(х')
5(х:
(О тЛх0)) ■(х{'>) ..Лх{'>)
('Ь
('') (хй) . (х(0) ..(х(0)
= 1,
(1) (2) х = х, х = у,
(3)
ху' = г,
где
П2
( (') (х(0) . (х(0) ..(х(0) ,Т
= {х2 ,^2 ,1/2 ,...},
П1
(х(") _
= {х1('') у|х ' ) Т>(х( ) //(х(0)
1
1
х2
= х2')(х"(хй)
1
.(х(0) ..(х(0) ч (х(°) (х(0Ь (х(0) . (х(0) ..(х(°) ч
Теорем а 3. Справедливы выражения:
I
(х(''»)
д(у2 ,^2 ,^^2 ,...)
0(^1 , , V"! ,...)
= 1,
г (х«'5) 12
д( V 2х (0)
5( V (х (0)
= 1,...
Теорема 4. Если в подпространстве О.' сделать над векторами элементарные преобразования вида
% (') = {п(х) ('), п(у) ('), п(г) (' )}Т =
= {х ('), V(х) ('), V(х) ('),..., у ('), V(у) (' ),<?(у) ('),...
..., г (' ),v(г) (' ),v(г) (' ),...}Т, тогда определитель матрицы Якоби (3) примет вид
I
I =
0 I
0
(у)
0 0 I
(г)
= 1, т.е. I = I
(х )
г (у),
г (г)
Рассмотрим обобщенный фазовый объем как континуальный интеграл [8].
Теорема 5. При отображении Тейлора обобщенный фазовый объем сохраняется:
\...\...\... аг«¿V(1).... =
®1
©2
= \...\...\... аг^(2)аv(2).
©2
ОБОБЩЕННОЕ ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО
Следствие 3. При проекционном отображении Тейлора соответствующие фазовые объемы сохраняются.
Определение 6. Обозначим О'' — подпространство пространства й, в котором
2,2 е О''(г = Г2 = г): VI = V2, V1 = V2^ 1 = V2,..м
где 2,1 = {Г1, Vl, V 1,...}T, ^2 = {Г2, V 2, V 2,...}Т.
Теорем а 3. Максимальная размерность подпространства О " равна трем.
507
где B — произвольный вектор; т, q — произвольные константы.
Заключение. Полученные результаты могут быть использованы при построении консервативных конечно-разностных схем для численного моделирования задач молекулярной динамики, гидрогазодинамики и ускорительной физики, а также в моделировании нестационарных временных рядов с помощью эмпирического уравнения Лиувилля.
2. СВОЙСТВО КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
Пусть W(r, v, v,..., t) — гладкая функция в обобщенном фазовом пространстве-времени, которая постоянна при движении по обобщенной фазовой траектории, т.е. W(r(t), v(t), V(t),..., t) = const.
T ~ dW n Тогда вдоль этой траектории-= 0:
dt
dW(r,v,V,..., t) + vdW(r,v,V,..., t) +
= 0.
dt dr
.dW (r, v, v,..., t)
+ v-^-+.
dv
Пример. Рассмотрим
W (r, v) = m |v|2 + U (r).
(4)
(5)
Найдем траекторию, вдоль которой W(r(t), v(t)) = = const. Подставив (5) в (4), получим
(v, VU (r) + mv) = 0. Отсюда следует, что
mv = -VP (r) + q [v, B],
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.; Л.: Гостехиздат, 1946.
2. Власов А.А. Нелокальная статистическая механика. М.: Наука, 1978. 264 с.
3. Козлов В.В. // УМН. 2008. Т. 64. В. 4 (382). С. 93130.
4. Маслов В.П. Уравнение самосогласованного поля. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М., 1978. С. 153-234.
5. Иноземцева Н.Г., Садовников Б.И. // Физика эле-ментар. частиц и атом. ядра. 1987. Т. 18. В. 4. С. 878-903.
6. Власов А.А., Иноземцева Н.Г. // ДАН. 1975. Т. 225. № 2. С. 276-279.
7. Босов А.Д., Орлов Ю.Н. Моделирование нестационарных временных рядов с помощью эмпирического уравнения Лиувилля и уравнений эволюции моментов. Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша. М., 2011. № 52. 28 с. URL: http://library.keldysh.ru/pre-print.asp?id=2011-52
8. Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Континуальные интегралы. М.: Наука, 1990. 150 с.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.