ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 4, с. 669-680
УДК 519.633
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ТЕЛ1)
© 2015 г. В. А. Кудинов, И. В. Кудинов, М. П. Скворцова
(443100 Самара, ул. Молодогвардейская, 244, СамГТУ) e-mail: kud-samgtu@yandex.ru Поступила в редакцию 31.07.2014 г.
Приведены основные положения метода получения приближенных аналитических решений нестационарных задач теплопроводности для многослойных конструкций на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий. Использование асимметричной единичной функции позволило представить исходную многослойную систему в виде однослойной с кусочно-однородными свойствами среды. Благодаря разделению процесса теплопроводности на две стадии по времени исходное дифференциальное уравнение в частных производных сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения применительно к каждой стадии процесса, что позволяет получать достаточно простые по форме аналитические решения с точностью, зависящей от числа принятых дополнительных граничных условий (числа приближений). Показано, что с увеличением числа приближений относительно неизвестных функций времени как в первой, так и во второй стадиях процесса получаются однотипные обыкновенные дифференциальные уравнения и в связи с этим имеется возможность нахождения аналитических решений практически с заданной степенью точности, включая малые и сверхмалые значения временной переменной. Библ. 11. Фиг. 4.
Ключевые слова: многослойные конструкции, приближенное аналитическое решение, интегральный метод теплового баланса, фронт температурного возмущения, теория обобщенных функций, дополнительные граничные условия.
Б01: 10.7868/80044466915040080
Использование точных аналитических методов применительно к решению нестационарных задач теплопроводности для многослойных тел затрудняется необходимостью выполнения условий сопряжения, задаваемых в виде равенства температур и тепловых потоков в точках контакта слоев. Их выполнение связано с решением характеристической системы в виде цепочного трансцендентного уравнения относительно собственных значений краевой задачи. Нахождение его решения возможно лишь численными методами. Для таких задач весьма эффективными оказываются методы сведения задач теплопроводности для многослойных конструкций к однослойным с разрывными (кусочно-однородными) физическими свойствами среды. К их числу относится метод, связанный с использованием асимметричной единичной функции (функции Хеви-сайда). Основное преимущество этого метода состоит в значительном упрощении процесса выполнения условий сопряжения — в случае использования асимметричной единичной функции эти условия выполняются точно благодаря особой конструкции основного дифференциального уравнения (см. [1]—[6].
Эффективными методами получения решений при малых значениях временной переменной являются интегральные методы теплового баланса из [1], [5]—[11], согласно которым процесс теплообмена разделяется на две стадии по времени. В результате для каждой стадии процесса исходное дифференциальное уравнение в частных производных сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения. Использование предложенных в [1], [5], [6], [9], [11] допол-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Минобразования и науки РФ в рамках базовой части государственного задания РГБОУ ВПО "СамГТУ" (код проекта 1273).
1.0 ©
хп - 1 хп хп
0 х1 х2
Фиг. 1. Расчетная схема теплообмена.
нительных граничных условий позволяет получать приближенные аналитические решения практически с заданной степенью точности.
Совместное использование теории обобщенных функций и интегрального метода теплового баланса рассмотрим на примере решения нестационарной задачи теплопроводности для многослойной пластины в следующей математической постановке (фиг. 1):
С(х)х»т) _ д х,т)
дт дх дх
, т > 0, 0 < х < хп
0 (х,0) = 0, ©(0,т) = 1 д©(х„, т)/дх = 0,
(1)
(2)
(3)
(4)
где © = (Т - Т0)/(Тст - Т0) — относительная избыточная температура; х — координата; Тст — температура стенки при х = 0; Т0 — начальная температура; т — время; п — число слоев; 5,- — толщина - -го слоя; X (х) — коэффициент теплопроводности; С(х) = с (х) р(х) — объемная теплоемкость; с (х) — теплоемкость; р(х) — плотность.
Характеристики X (х) и С (х) многослойного тела, представленного в виде одного слоя с переменными (кусочно-однородными) свойствами среды, с помощью асимметричной единичной функции описываются следующими зависимостями:
п-1
А(х) = А.1 + ^(А,+1 - Х,)И(х - х),
¡=1
п-1
С(х) = С1 + £(С;-+1 - С )Н(х - х),
(5)
(6)
=1
где Н(х - х) — функция Хевисайда (асимметричная единичная функция), определяемая формулой
ш \ I0, х <х"
Н(х - х) = -!
[1, х > х ¡.
Для упрощения уравнения (1) введем новую независимую переменную г = г (х):
(7)
г(х) = [ 1 йх, I = 0, п,
•Щх)
х
где —— по аналогии с (5) определяется в виде X (х)
1 1
п-1
X + -±| Я(х - х,).
Х(х) X,
Подставляя (9) в (8), получаем
х х п-1 -ч
7(х) = ^ + ( 1 1
х0
,=1
Определяя интегралы в (10), находим
7(х) = +
1 и
-Г (х - х)Н(х - х,).
Н(х — х) с1х.
,=1
Из соотношения (11) следует, что
п-1
х п хп 7 = —п-0 +
^П • 1
я— - 1 к - х) = У^^ = У ^, К 1=11л,+1 к/п ~ К ~к
(9)
(10)
(11)
(12)
где 8, — толщина , -го слоя. Из (12) будем иметь
(13)
7 _ х_х0 _ §1 ^ _ х1_х0 + _х1 _ у
Следовательно, новая независимая переменная по физическому смыслу представляет терми ческое сопротивление К = 8/X соответствующего участка стенки.
Чтобы представить задачу (1)—(4) в новой независимой переменной, продифференцируем со отношение (8) по переменной х:
dz(х) = 1 йх X (х)
Учитывая, что переменная 7 является функцией х, можно записать
(14)
X (х)дЭ( х ■ т) = X (х)дЭ( 7, т) = х (х) дЭ^^ = .
дх д7 йх д7 X (х) д7
(15)
д7 X(х)
Отсюда следует, что производная от температуры по переменной 7 равна тепловому потоку
д®( 7, т) = х (х) д®( х, т). д7 дх
С учетом (14), (16) правая часть уравнения (1) принимает вид
А.
дх
X (х)
д0(х, т)"
дх
= д_ 'д&(7, т)"
д7 _ д7 _
= д20(г, т) 1 йх д72 Х(г)
Математическая постановка задачи (1)—(4) в переменной 7 приводится к виду
т> 0, 0 < 7 < 7.
дт Х(7) д7
(16)
(17)
(18)
© (7,0) = 0, (19)
0(0,т) = 1, (20)
50(7., т)/д7 = 0. (21)
Отметим, что уравнение (18) является более простым для его интегрирования по сравнению с уравнением (1).
п-1
Для решения задачи (18)—(21) используем интегральный метод теплового баланса с использованием дополнительных граничных условий (см. [1], [5], [6], [9], [11]). Процесс нагрева в этом случае разделяется на две стадии по времени: 0 <т<т1 и т1 < т < да. При этом вводится движущаяся во времени граница (фронт температурного возмущения), разделяющая исходную область 0 < г < гп на две подобласти 0 < г < ^(т) и q1(x) < г < гп, где q1(x) — функция, определяющая продвижение границы раздела во времени (фиг. 1). Отметим, что в области, расположенной за фронтом температурного возмущения, сохраняется начальная температура. Первая стадия заканчивается при достижении движущейся границей координаты г = гп, т.е. когда т = т1. Во второй стадии, когда изменение температуры происходит по всему объему тела 0 < г < гп, понятие фронта температурного возмущения теряет смысл. Для этой стадии процесса в качестве дополнительной искомой функции принимается температура в точке г = гп, т.е. ©(г„,т) = ?2(т).
Краевая задача для первой стадии процесса включает уравнение (18) с граничным условием (20), а также следующие граничные условия, которые должны быть выполнены на фронте температурного возмущения:
Соотношения (22), (23) представляют условия сопряжения прогретой и непрогретой зон. Соотношение (22) означает равенство температуры тела в точке г = q1 (т) его начальной температуре. По условию (23) тепловой поток не распространяется за пределы фронта температурного возмущения (условие адиабатной стенки). Математическое доказательство необходимости использования условий (22), (23) на фронте температурного возмущения дано в [10].
Очевидно, что на первой стадии процесса задача (18), (20), (22), (23) за пределами фронта температурного возмущения вообще не определена. Поэтому здесь нет необходимости выполнения начального условия вида (19) по всей толщине пластины — вполне достаточным является выполнение граничного условия (22), согласно которому для всех г = q1 (т) температура тела равна начальной температуре. В данной задаче отсутствует также граничное условие вида (21), как не влияющее на процесс теплообмена в первой его стадии.
Задача (18), (20), (22), (23) не относится к классу задач, в которых учитывается конечная скорость распространения теплоты. Получение решений таких задач сводится к интегрированию гиперболического уравнения теплопроводности. Рассматриваемый в задаче (18), (20), (22), (23) фронт температурного возмущения по физическому смыслу является аналогом движущейся изотермы. Так как на фронте температурного возмущения в течение всего времени первой стадии процесса поддерживается начальная температура &(?ь т) = 0, он является аналогом нулевой изотермы (изотермы начального условия). В [1], [5], [6], [11] показано, что с увеличением числа приближений время т1 продвижения фронта температурного возмущения q1(т) на отрезке 0 < г < гп уменьшается и в пределе при п ^ да имеем т1 ^ 0. Следовательно, скорость движения фронта температурного возмущения с увеличением числа приближений устремляется к бесконечной величине, что полностью согласуется с гипотезой о бесконечной скорости распространения теплового возмущения, описываемой параболическим уравнением вида (1). С увеличением числа приближений существенно возрастает и точность получаемых решений. Исследования, выполненные в [1], показали, что температура в центре пластины во втором, четвертом, седьмом и четырнадцатом приближениях отличается от точного решения соответственно на 0.31%, 0.0028%,
0.26 х 10-5% и 0.28 х 10-12%.
Решение задачи (18), (20), (22), (23) разыскивается в виде ряда
где — неизвестные коэффициен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.