АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 5, с. 645-652
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 621.515:534
ОБОБЩЕННЫЕ РАДИАЛЬНЫЕ МОДЫ КОЛЕБАНИЙ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ В ЦИЛИНДРЕ АКУСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ
© 2007 г. А. А. Сокольский, В. И. Садчиков
Белорусский государственный университет 220030 Минск, пр-т Независимости, 4 E-mail: sokolan@tut.by
Объединённый институт энергетических и ядерных исследований - "Сосны" НАН Беларуси
220109 Минск, ул. акад. А.К. Красина, 99 E-mail: jinpr@sosny.bas-net.by Поступила в редакцию 10.03.06 г.
Представлены варианты замкнутых волновых уравнений для возмущений скорости во вращающейся сжимаемой среде (жидкости, газе). В уравнениях учтено влияние как неидеальности уравнения состояния среды, так и характера ее невозмущенного состояния. Для идеального газа при изотермическом фоновом состоянии найдены точные аналитические решения этих уравнений, описывающие обобщенные радиальные моды колебаний. Сделан вывод о существовании сдвига резонансных частот этих мод, вызванного вращением среды. Рассчитана величина сдвига как функция скорости вращения газа и радиуса цилиндра.
PACS: 43.20.Bi, 43.20.Ks
Влияние вращения на волновые процессы рассматривалось еще в классических работах, посвященных теории волн в океане и атмосфере [1-3]. Однако учету этого влияния для волн в сжимаемых средах до последнего времени уделялось недостаточно внимания. В настоящий период интерес к этой проблематике непрерывно растет. Так, в работах [4-6] подчеркнута необходимость учета влияния вращения на мощные акустические поля для широкого класса технических устройств с быстро вращающейся рабочей средой. В работе [6] рассмотрен ряд существенных вопросов акустики вращающегося газа: поведение фазовой и групповой скорости волн, амплитуды, спектральных характеристик и т.п. В настоящей работе выведена замкнутая система уравнений для возмущений скорости в равномерно вращающейся сжимаемой среде (жидкости, газе), характеризуемой произвольным двухпараметрическим уравнением состояния. Эта система описывает в линейном приближении волновые процессы, имеющие характер адиабатических отклонений от фонового состояния среды, которое является состоянием механического, но не обязательно теплового равновесия. Так, фоновое состояние может быть адиабатическим, изотермическим или обладающим иным распределением температуры. На основе полученной системы уравнений для идеального газа при изотермическом фоновом состоянии получены аналитические решения, описывающие "обобщенные радиальные моды" колебаний вращающейся среды, ограниченной
цилиндрической стенкой. Под обобщенной радиальной модой понимается решение с взаимосвязанными ненулевыми радиальной и угловой компонентами скорости, переходящее при "выключении" вращения в соответствующую радиальную моду. Сделан вывод о существовании сдвига резонансных частот обобщенных радиальных мод, вызванного вращением газа. Для идеального газа рассчитана величина этого сдвига как функция скорости вращения газа и радиуса цилиндрической стенки.
1. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СЖИМАЕМОЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СРЕДЫ
Рассмотрим сжимаемую гидродинамическую среду (жидкость, газ), вращающуюся с постоянной угловой скоростью Й. Введем вращающуюся вместе с ней систему отсчета 2 и все последующее рассмотрение будем проводить в этой системе. В ней на элемент среды (в расчете на единицу массы) действует сумма гравитационной и центробежной сил
С = ^гаа(Ф - ПУ/2) = g + П2г, (1)
а также сила Кориолиса 2[У х й], где Ф - гравитационный потенциал, г - расстояние от оси вращения, У - скорость элемента среды относительно 2.
Процессы, в которых вязкостью и теплопроводностью среды можно пренебречь, описываются в X системой гидродинамических уравнений:
V + (V • V)V = - р^гаар + С + 2[V х О], (2)
р + ^) = 0, р + V • Vр = с2(р + V • —р), (3)
где / = с2 = (Эр/ЭрХ, 5 - энтропия. Согласно (2), в состоянии механического (но не обязательно теплового) равновесия относительно X, невозмущенные (фоновые) давление р0 и плотность р0 среды удовлетворяют соотношению
8гаа ро = ро С.
(4)
Ро V = -вгаа р + ро С + 2ро[ V х О ],
р = - ро<^у V - Vегааро,
2
р = - ро(V • С) - рос^^,
(5)
(6)
роV = 8гаа[ро(V • С) + росоахуV] -- С(роа1у V + V 8гаа ро) + 2ро[ V х О ].
(7)
V - вгаа(c2diуV) = вгаа(V • С) + + (ро1 ^гааро - С)ау"V + 2 [V х О].
(8)
раметров. Так, при использовании (8) достаточно знать равновесные пространственные распреде-
2
ления двух величин: со и р0. В то же время, после очевидных преобразований, (8) можно записать так, чтобы градиент фоновой температуры Т0 вошел явным образом:
V - вгаа(c0divV) = вгаа(V • С) + + [(уо - 1)С - с2аро8гааТо]^ + 2[V х О],
(9)
Для адиабатических отклонений от фонового состояния, в линейном приближении по скорости V и по возмущениям давления р = р - р0 и плотности р = р - р0, соотношения (2)-(4) дают систему уравнений для V, р и р :
где а ро = ар(р0, р0), У0 = У(Л), р0), ар = -р-1(Эр/ЭТ)р, У = СР/СУ.
С другой стороны, используя коллинеарность векторов grad р0, gradр0 и G, можно представить
йро йро grad р0 в виде grad р0 = -г— gradр0 = -т— рoG, где
аро иро
й ро
---полная производная, взятая в соответствии
аро
с зависимостью р0 = р0(р0) для фонового состояния, и получить из (8)
(10)
где со = с2(р0, р0). Дифференцируя (5) по времени и используя (6), получаем уравнение для скорости V:
Для рассматриваемых фоновых состояний векторы grad р0, gradр0 (и градиент любой функции от р0 и р0) коллинеарны вектору G, в чем легко убедиться с помощью равенств (1) и (4). Это позволяет преобразовать уравнение (7) к виду:
Таким образом, получена замкнутая система уравнений для компонент скорости, которая полностью описывает в линейном приближении динамику недиссипативных волновых процессов, происходящих на фоне произвольного равновесного состояния равномерно вращающейся сжимаемой жидкости (газа) с любым двухпараметри-ческим уравнением состояния.
Поскольку, как правило, уравнение состояния среды неизвестно, целесообразно представить несколько вариантов записи системы (8), позволяющих учесть влияние термодинамических свойств среды и характера фонового состояния на волновые процессы с помощью различных наборов эмпирически и/или теоретически определяемых па-
V-grad(с2аХу V) = вгаа(V • С) + (у о* - 1) С аХу V + 2 [ V х О ],
& 2а ро ™ где, по определению, у * = со-— [7].
Легко проверить, что для любой двухпарамет-рической среды при пространственно-адиабатическом (grad 50 = 0) фоновом состоянии параметр
у * равен единице, а при изотермическом - совпадает с у0 = у(р0, р0). Таким образом, для использования уравнения (10) при grad 50 = 0 достаточно знать пространственное распределение лишь для
с2, а при grad Т0 = 0 - для с2 и у0.
Отметим, что в уравнении (10) при grad Т0 = 0 слагаемым (у * - div V (которое отсутствует для процессов на пространственно-адиабатическом фоне) нельзя пренебрегать, а для случаев, когда grad Т0 Ф 0 и направлен противоположно
вектору G, параметр у * может в несколько раз превзойти у0. Наконец, от (10) легко перейти к уравнению
V - ^гаа (аХу V) = grad (V • С)
+
а(росо)
-1
Саху V + 2[ V х о ].
(11)
Уравнения (8)-(11) могут быть полезны для расчетов параметров волновых процессов в быстро вращающихся технических устройствах при
о
о
больших перепадах давления, температуры и плотности рабочей среды.
В качестве базового примера рассмотрим вращающийся вокруг вертикальной оси идеальный газ при изотермическом фоновом состоянии. Для
этого случая с^ = Y0P0/P0 = YtRT) = const, у * = Yo = = const и непосредственно из (10) или (11) следует:
альных волн из (13) можно получить систему для V(r, t) и V/r, t):
V ^ ^
Vr - Co
Y o П2-^ + (-0
dr2
Y o Q r)|
Vr + 2 QV
(14a)
V - cOgraddivV = grad (V • G) + (у 0 - 1) Gdiv V + 2[ V x W ].
(12)
Введем связанные с системой 2 цилиндрические координаты r, ф, z таким образом, чтобы W = = (0, 0, П), g = (0, 0, gz). Тогда из (12) при gz = const для функций Vr(r, ф, z, t), Уф(г, ф, z, t) и Vz(r, ф, z, t) получится система уравнений:
= -2QVr, а затем и уравнение для Vr(r, t):
Vr - C
2дЧг
dr2
(у 0-4 )Q2--2 + Г + у o Q2 r ц.
Vr
(14b)
(15)
^r - c
itfVr д r2
у o Q2--2 + Г-°
у o^2r) i
Vr
+
r ityir
+
'(уo- 1 )П2- f
дф
д zi r
(у o-1 ^ t
2 Q i
д t
z д r
V ф + (13a)
V,.
Vp -
co í2v,
22 r дф
ф
r дrдф
+
2
^ + Q2
2
r
y
дф дt
V, - c
+-
2 д 2 V, o д,2
2 + д_ o д,дф ^дф]
V
д r Íz
+
+ (У o-1 > «=(1+l
2
^ + Q2
Vr +
Э
r bz
1
+
r
L oдфд,
+(у o-1 дф.
Vr + (13b)
(13c)
Vф + у o gz ^.
2. ОБОБЩЕННЫЕ РАДИАЛЬНЫЕ МОДЫ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА В ЦИЛИНДРЕ
Рассмотрим стоячие гармонические обобщенные радиальные колебания - обобщенные радиальные моды - в находящемся внутри цилиндрического сосуда идеальном газе при его установившемся вращении вместе со стенками сосуда вокруг оси симметрии цилиндра. Для таких колебаний самые общие выражения для Уг и Уф имеют вид:
Vr(r, t) = VA(r) sin(юt + a),
(16)
V„( r, t) = О г) sin (ю t + в),
где ю - частота колебаний, измеренная во вращающейся системе отсчета 2. Однако, поскольку из соотношений (16) и (14b) следует, что
wVA( r) = 2 Q VA (r), roVф(r, t) = 2QVA1 (r)cos(юt + a),
(17)
то компоненты Уг и Уф обобщенных радиальных мод жестко связаны по амплитуде и фазе между
собой. При этом амплитуда УАГ (г) = Ж(г), согласно (15) и (16), удовлетворяет уравнению
d2 W
Здесь, в отличие от невращающегося газа, невозможны чисто радиальные волны, т. е. колебания, для которых У2 = 0, Уф = 0, Уг = Уг(г, I) ф 0. Однако, при g = 0, П ф 0 существует независимая ветвь колебаний, которые можно назвать обобщенными радиальными. Для них У2 = 0, Уг = Уг(г, t) ф 0, Уф = = Уф(г, t) ф 0, а при О —► 0 они переходят в чисто радиальные колебания. Для обобщенных ради-
dr2
+ (у o 02 r +
П dW
+
'к2 + (уo - 4)02-!
r
r ) dr
W = o,
(18)
где к = ю/с0, 0 = П/с0. При жесткой цилиндрической стенке радиуса Я граничные условия имеют вид:
Ж(0) = 0, Ж(Я) = 0. (19)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
2
2
C
2
2
C
2
2
^i, U
Uo
Г0 R г
Рис. 1. Функция и(г) и пробные решения ¥(г).
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.