ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2012, том 443, № 3, с. 283-285
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ПОЛУЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СМОЛУХОВСКОГО И ИХ ПРИБЛИЖЕНИЯ
© 2012 г. В. А. Галкин
Представлено академиком В.А. Ильиным 28.11.2011 г. Поступило 06.12.2011 г.
Рассматривается бесконечномерная система полулинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка относительно неизвестных и(х, 0 = {ик(х, 0}Г= 1 (задача Коши для пространственно неоднородного уравнения Смолуховского [1, 2]):
д ик (х, г) д ик (х, г)
д г
+ V,
дх
= Бк(и(х, г)), г > 0,
(1)
с постоянными коэффициентами V-, где оператор Смолуховского
к - 1
к(и(л г)) = 2 £ фк -иик -и - ик£ Фк,;иР
] = 1
] = 1
(2)
к е
Уравнение (1) дополняется начальными данными
ик(х, 0) = ик0)(х)> 0, к
(3)
дом компакте в П =
измеримых функций,
Обнинский институт атомной энергетики Национального исследовательского ядерного университета МИФИ
удовлетворяющий при любых у е С (П) и I е интегральному соотношению
Я['
¿У + V. ^ щ + у и)
дг 1 дх) 1 у Л .
йхйг +
|у(х, 0)и(0)(х)йх = 0.
(4)
Теорема 1. Предположим, что в соотношении (2) величины Фк, у = Фу-, к > 0, начальные данные
и(0) при каждом номере I е N — измеримые неотрицательные функции, ограниченные на каждом компакте в К, и справедливо соотношение
ш(0)(х)йх = М<да.
(5)
11 е N
Следует подчеркнуть, что наличие бесконечного количества различных значений в наборе
коэффициентов {vk }к = 1 может служить причиной возникновения недифференцируемых особенностей решения по пространственно-временным переменным при сколь угодно гладких финитных начальных данных (2) (что не имеет места для конечномерных задач).
Определение. Назовем обобщенным решением задачи Коши (1), (2) упорядоченный набор и = {и,} е N ограниченных на каж-
Тогда для любого набора скоростей свободного переноса V, , е N, существует функциональное решение [3] задачи (1), (3), неотрицательное в П.
Пусть дополнительно к сформулированным условиям скорости свободного переноса V, при достаточно больших значениях номера I сохраняют свой знак, а функция Ф,,у- = а,у| V, — где а,у (,, у е N — симметричная неотрицательная функция, которая удовлетворяет неравенству
/ -У .У\~
а]I +] )
и е N
< да
при некотором 0 < у < 1.
Тогда при этих условиях существует обобщенное решение задачи (1), (2), неотрицательное в П.
Доказательство существования функционального неотрицательного решения задачи Коши (1)—(3) основано на свойстве слабой компактности семейства решений конечномерных полулинейных систем
дик(х, г) дик(х, г)
+ vk ■
М„
дг
дх
к - 1 М0 = 2 X Фк -]]и] - икX Фk,]u],
=1
хе
г > 0, 1 < к < М0
(6)
0
п
+
х
со
X
284
ГАЛКИН
удовлетворяющих начальным условиям (3). Правую часть уравнения (6) обозначим . Существование и единственность гладкого решения задачи Коши (6), (3) в П устанавливается методом характеристик на основе равномерной относительно п оценки неотрицательных функций ы^ на компактах в П. Подпоследовательность решений задачи (6), (3) сходится к функциональному решению [3] задачи Коши (1), (3).
Теорема существования обобщенных решений задачи Коши (1)—(3) доказывается на основе равномерных оценок в Ь1 п Ьх нормы Ы1 в сочетании с методом компенсированной компактности Л. Тартара [1] для последовательности (по номеру М0) гладких неотрицательных решений конечномерных задач (6), (3). Отметим, что открытым остается вопрос о единственности указанных в теореме решений бесконечномерной задачи Ко-ши (1), (3).
Для построения приближенного решения задачи Коши (1), (3) используется имитационный метод, соответствующий физике процесса [2], описываемого уравнениями Смолуховского (1), (2). Множество пространственных координат Ох разобьем на ячейки Д = [х, х1+1), х1 = ¡к, I е Ж, к > 0, среди которых размещены частицы, занумерованные натуральными числами 1 < I < N N > 1. Каждому номеру I соответствует величина т(;) (?), которая равна массе 1-й частицы, если она находится в момент времени ? в ячейке Д, и т(;) (?) = 0
в противном случае. Если т(;) (?) = 0 для всех ячеек, то частица с номером I отсутствует в системе. Условимся, если частица присутствует в системе, то она может находиться в данный момент времени только в одной ячейке. Таким образом, в каждый момент времени состояние системы задается распределением масс М(?) = {т(1)(?)}1 е Ж, где т(1)(?) =
= (т/> (?), т^ (?), ..., тN (?)).
Пусть значения времени ? принимают дискретные значения ?п = пт, п е Ж+, т > 0.
Частицы, помещенные в ячейку Д в момент времени ?п, могут участвовать в парных взаимодействиях, приводящих к их слиянию. Акты выбора взаимодействующих пар частиц и их слияния разыгрываются следующим образом.
Рассмотрим множество А, состоящее из пар номеров (/, у), 1 < I < у < N. В каждой ячейке Д в момент времени ?п разыгрываются независимые случайные величины п(5) (?п) со значениями в А так,
что Р{л(') (гп) = (/, у)} = — , 1 < « < 0(Я). Возмож-
C
N
{Я; (?п) ^ =1 , накладывая дополнительное ограничение: если хотя бы один из номеров, входящих в пару п(5) (?п) при ж > 2, входит в одну из пар
я(1) (?п), ..., я(*-(?п), то для пары л(5) (?п) слияние в ячейке Д в момент времени ?п не происходит. Тем самым исключаются многократные слияния для каждой частицы внутри ячеек.
Возможность слияния для выбранных вышеуказанным способом пар номеров сталкивающихся частиц определим розыгрышем совокуп-
(0
ности независимых случайных величин п (г,у)(<),
I е Ж, (/,у) е А, принимающих два значения: 0 и 1. Значение 0 означает запрет слияния, а 1 — наличие слияния пары частиц с номерами (/, у) в ячейке Д в момент времени ?п. Розыгрыш этих значений подчиним следующим правилам. Положим,
что п(шп = 0, если т(;) (О т);) (О = 0, т.е. при отсутствии по крайней мере одной из частиц в паре слияние не происходит. Если т(;) (?п) т);) (?п) > 0, то
(I)
значения случайной величины п(¡,/)(1) задаются условной функцией распределения
PÄ n = 1} = ф
m{'>(tn), mf (tn)'
Р {п( Чш = 0 } = 1 - фи<0 (^ )(,,),
где 0 < Ф^, к2 = Ф^, к < 1 — вероятность слияния сталкивающейся пары частиц с массами к1 и к2.
Если пара (/,у) е А выбрана и значение п^,;)^) =
= 1, то значение вектора состояния т(1)(?п) преобразуется по следующему правилу:
тО?(tn) ^ та(гп) = т^(гп), а Ф I,
m( l) (t„)
m(l) (t„) = m(l) (tn) + mf (tn),
mjl) (tn)
Щ (tn) = 0.
ные пары сталкивающихся частиц в ячейке Д в момент времени ?п выберем как значения набора
Если же n('j) (tn) = 0, то значения m^) (tn), 1 < а < N, остаются неизменными. Указанная процедура выполняется для всех пар выбранных номеров последовательным перебором я((tn), ..., n(Q(N)) (tn).
После проведения перечисленн^тх розыгрышей во всех ячейках, содержащих частицы, переходим к выборочному вероятностному пространству [4, 5], в котором все построенные выше случайные величины являются независимыми без изменения их функций распределения.
Обозначим F,'! (tn) = P{ m(l) (tn) = к}. Для пары п = (i, j) е А положим minп = i, maxп = j.
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ПОЛУЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ
285
Рассмотрим числа заполнения ячейки частицами массы к е N
N
№ (tn) =f X 8
k, mf (tn)'
i = 1'
Вышеуказанной процедуре розыгрыша актов слияния сталкивающихся частиц в ячейке Б1 соответствует следующее преобразование чисел за: № ((„) ^ № ((„):
полнения
Q(N)
Nk' (t„) = Nk (tn) + X X 8
nf\tn),(i,j) '
(i,j )eA s = 1
П ( 1 - 8min(tn), i)( 1 - 8maxn<"(tn), i) X
q = 1
X ( 1 - 8minn(q)(tn)j
)( 1 - 8maxn<q)(tn),y)n(ШО X
x j X 8
^ а + ß = k
я
а, mi0(tn) ß, m((tn) '
TO TO
— 8k, m(°(tn) X 8ß, m(°(tn) - 8k, mf (tn) X 8а, mf(tn) ß = 1 а = 1
Теорема 2. Пусть вероятность слияния частиц Ф^,k является финитной функцией, т.е.
Фк,к = 0 пРи k > M0 или k2 > M0, vk e Ж.
Тогда средние концентрации u~k]N (tn) подчиняются разностному уравнению
uk, N(tn + 1) = uk, N (tn) + Т Sk (u., N (tn)) +
+ tO(h~2 (N - 1 )-1), N > 2,
где оценка O(h-2(N — 1)-1) является равномерной относительно tn.
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 1 и существует lim u~k]N(0) = uk (0). Предполо-
N ^ то
жим, что vk e Ж,
QN
N
Тогда при каждом tn > 0 существует lim u~kN (tn) =
^ да при N ^ да.
N ^ то
= ик } (?„), подчиняющийся разностному уравнению
ик (гп + 1) = ик (гп) + тБк (и. (гп)). (7)
Тео р е ма 3. Пусть начальные функции (3) являются гладкими, а начальные значения вразност-ном уравнении (7) согласованы с (3) так, что
Все суммы здесь состоят из конечного числа ненулевых слагаемых.
После завершения розыгрыша актов слияния во всех ячейках, содержащих положительное количество частиц, осуществляется перемещение частиц между ячейками. Положим, что Vк е Ж — скорость пространственного переноса частицы массы к е N. Размер пространственных ячеек к и шаг по времени т подчиним условию т = к. Тогда частицы массы к за время т перемещаются из ячейки Бь в ячейку Б! + . Тем самым определяется состояние системы в момент времени 1п + 1. Очевидно, № (^+1) = N ^ оп).
Далее вновь разыгрываются акты слияния, осуществляется пространственный перенос и т.д. Таким образом, полностью определена эволюция системы для всех 1п > 0.
Обозначим величиной <Ик (?п)) среднее число частиц массы к в ячейке Б1 в момент времени 1п > 0. Положим
< № (гп))
ик, т. гп) = г;
Ип
есть средняя концентрация частиц массы к в ячейке Б1 в момент времени п
и(!(0) = ик'(х,)> 0, 1 < к < М0. (8)
Тогда при условии тк-1 = 1 разностная схема (7), (8) сходится к единственному гладкому неотрицательному решению задачи Коши задачи (6), (3).
Замечание. Методами работ [1, 3] можно показать, что в случае выполнения условий
0 <Фк1, к2 = Фк2, к, < 1, К к2 е N,
Фк, к = 0, к е N,
из последовательности решений задачи Коши (6), (3) можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к обобщенному решению задачи Коши (1)-(3).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 11-01-00548а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Галкин В.А. Уравнение Смолуховского. М.: Физ-матлит, 2001. 336 с.
2. Волощук В.М., Седунов Ю.С. Процессы коагуляции в дисперсных системах. Л.: Гидрометеоиздат, 1975.
3. Галкин В.А. // ДАН. 2010. Т. 431. № 3.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.